V - Professores da UFF
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GEOMETRIA BÁSICA 2010-1 GGM00161-TURMA M1 Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial 15/06/2010 PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é: S (V 2) 4r onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é: S (V 2) 4r onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é: S (V 2) 4r onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . Solução: PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é: S (V 2) 4r onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . Solução: 2880o (V 2)4.90o PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é: S (V 2) 4r onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . Solução: 2880o (V 2)4.90o 2880o (V 2)360o PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é: S (V 2) 4r onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . Solução: 2880o (V 2)4.90o 2880o (V 2)360o 8 (V 2) PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é: S (V 2) 4r onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . Solução: 2880o (V 2)4.90o 2880o (V 2)360o 8 (V 2) V 10 PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é: S (V 2) 4r onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . Solução: 2880o (V 2)4.90o 2880o (V 2)360o 8 (V 2) V 10 Logo o prisma é pentagonal. PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é: S (V 2) 4r onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . Solução: 2880o (V 2)4.90o Lembre que: 2880 (V 2)360 8 (V 2) V 10 o o Logo o prisma é pentagonal. Si (n 2).180o PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é: S (V 2) 4r onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . Solução: 2880o (V 2)4.90o Lembre que: 2880 (V 2)360 8 (V 2) V 10 o o Logo o prisma é pentagonal. Si (n 2).180o Si (5 2).180o 540o Base pentagonal PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é: S (V 2) 4r onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . Solução: 2880o (V 2)4.90o Lembre que: 2880 (V 2)360 8 (V 2) V 10 o o Logo o prisma é pentagonal. Si (n 2).180o Si (5 2).180o 540o Base pentagonal S 2 540o 5 360o 2880o PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício2 : Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Unidade : centímetros. Solução: PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício2 : Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Unidade : centímetros. Solução: São quatro paralelogramos que compõem as arestas laterais, PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício2 : Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Unidade : centímetros. Solução: São quatro paralelogramos que compõem as arestas laterais, cuja base é: 3 cm, a altura corresponde a PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício2 : Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Unidade : centímetros. Solução: São quatro paralelogramos que compõem as arestas laterais, cuja base é: 3 cm, a altura corresponde a h 5 sen 60o PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício2 : Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Unidade : centímetros. Solução: São quatro paralelogramos que compõem as arestas laterais, cuja base é: 3 cm, a altura corresponde a h 5 sen 60 o h 5 3 2 PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício2 : Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Unidade : centímetros. Solução: São quatro paralelogramos que compõem as arestas laterais, cuja base é: 3 cm, a altura corresponde a h 5 sen 60 o h Al 4 Aparalelogramo 5 3 2 PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício2 : Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Unidade : centímetros. Solução: São quatro paralelogramos que compõem as arestas laterais, cuja base é: 3 cm, a altura corresponde a h 5 sen 60 o h 5 3 2 Al 4 Aparalelogramo Al 4 3. 5 3 30 3 cm 2 2 PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício2 : Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Unidade : centímetros. Solução: São quatro paralelogramos que compõem as arestas laterais, cuja base é: 3 cm, a altura corresponde a h 5 sen 60 o h 5 3 2 Al 4 Aparalelogramo Al 4 3. 5 3 30 3 cm 2 2 Exercício: encontre a área total e o volume do prisma CILINDRO Definição: Considere α e β dois planos paralelos, um círculo Г contido em α e uma reta s que corta α e β. CILINDRO Definição: Considere α e β dois planos paralelos, um círculo Г contido em α e uma reta s que corta α e β. Para cada ponto X de Г, trace uma reta paralela a s e seja X’ tal ponto de interseção com β. CILINDRO Definição: Considere α e β dois planos paralelos, um círculo Г contido em α e uma reta s que corta α e β. Para cada ponto X de Г, trace uma reta paralela a s e seja X’ tal ponto de interseção com β. Chama-se cilindro circular ou cilindro a reunião de todos os segmentos XX’, onde X pertence a Г(região circular). CILINDRO Elementos: i) 2 bases: círculos congruentes situados em planos paralelos. CILINDRO Elementos: i) 2 bases: círculos congruentes situados em planos paralelos. ii) geratrizes: segmentos com uma das extremidades em um ponto da circunferência de centro O e raio r e outra no ponto correspondente da circunferência de centro O’ e raio r. CILINDRO Elementos: i) 2 bases: círculos congruentes situados em planos paralelos. ii) geratrizes: segmentos com uma das extremidades em um ponto da circunferência de centro O e raio r e outra no ponto correspondente da circunferência de centro O’ e raio r. iii) O eixo do cilindro é a reta determinada pelos centros das bases. CILINDRO Elementos: i) 2 bases: círculos congruentes situados em planos paralelos. ii) geratrizes: segmentos com uma das extremidades em um ponto da circunferência de centro O e raio r e outra no ponto correspondente da circunferência de centro O’ e raio r. iii) O eixo do cilindro é a reta determinada pelos centros das bases. - r é o raio da base. CILINDRO Elementos: i) 2 bases: círculos congruentes situados em planos paralelos. ii) geratrizes: segmentos com uma das extremidades em um ponto da circunferência de centro O e raio r e outra no ponto correspondente da circunferência de centro O’ e raio r. iii) O eixo do cilindro é a reta determinada pelos centros das bases. - r é o raio da base. - a altura de um cilindro é a distância h entre os planos das bases. CILINDRO Superfícies: CILINDRO Superfícies: Superfície lateral: Superfície total: CILINDRO Superfícies: Superfície lateral: é a reunião das geratrizes. Superfície total: CILINDRO Superfícies: Superfície lateral: é a reunião das geratrizes. Superfície total: é a reunião da superfície lateral com os círculos das bases. CILINDRO Classificação: CILINDRO Classificação: Cilindro circular obliquo: CILINDRO Classificação: Cilindro circular obliquo: se as geratrizes são obliquas aos planos das bases. CILINDRO Classificação: Cilindro circular obliquo: se as geratrizes são obliquas aos planos das bases. Cilindro circular reto: CILINDRO Classificação: Cilindro circular obliquo: se as geratrizes são obliquas aos planos das bases. Cilindro circular reto: se as geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. CILINDRO Classificação: Cilindro circular obliquo: se as geratrizes são obliquas aos planos das bases. Cilindro circular reto: se as geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Cilindro de revolução : CILINDRO Classificação: Cilindro circular obliquo: se as geratrizes são obliquas aos planos das bases. Cilindro circular reto: se as geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Cilindro de revolução : é o cilindro circular reto e é gerado pela rotação de um retângulo em torno de um eixo, que contém um dos seus lados. CILINDRO Seção Meridiana : CILINDRO Seção Meridiana : É a interseção do cilindro com um plano que contém a reta OO’, denominada pelos centros das bases. CILINDRO Seção Meridiana : É a interseção do cilindro com um plano que contém a reta OO’, denominada pelos centros das bases. A seção meridiana de um cilindro obliquo é um paralelogramo. (Faça um desenho que represente esta seção). CILINDRO Seção Meridiana : É a interseção do cilindro com um plano que contém a reta OO’, denominada pelos centros das bases. A seção meridiana de um cilindro obliquo é um paralelogramo. (Faça um desenho que represente esta seção). CILINDRO Seção Meridiana : É a interseção do cilindro com um plano que contém a reta OO’, denominada pelos centros das bases. A seção meridiana de um cilindro obliquo é um paralelogramo. (Faça um desenho que represente esta seção). A seção meridiana de um cilindro reto é um retângulo. Veja figura ao lado . CILINDRO Cilindro equilátero: CILINDRO Cilindro equilátero: É um cilindro cuja seção meridiana é um quadrado. CILINDRO Cilindro equilátero: É um cilindro cuja seção meridiana é um quadrado. Portanto CILINDRO Cilindro equilátero: É um cilindro cuja seção meridiana é um quadrado. Portanto g = h =2r CILINDRO Área Lateral de um Cilindro circular reto CILINDRO Área Lateral de um Cilindro circular reto A área lateral de um cilindro circular reto ou cilindro de revolução é equivalente a um retângulo de dimensões 2 r (comprimento da circunferência da base) e h (altura do cilindro) CILINDRO Área Lateral de um Cilindro circular reto A área lateral de um cilindro circular reto ou cilindro de revolução é equivalente a um retângulo de dimensões 2 r (comprimento da circunferência da base) e h (altura do cilindro) CILINDRO Área Lateral de um Cilindro circular reto A área lateral de um cilindro circular reto ou cilindro de revolução é equivalente a um retângulo de dimensões 2 r (comprimento da circunferência da base) e h (altura do cilindro) Ou seja, a área lateral do cilindro circular reto é: 2 r h CILINDRO Área Total de um Cilindro circular reto CILINDRO Área Total de um Cilindro circular reto É a soma da área lateral Al com as áreas das duas bases B r2 CILINDRO Área Total de um Cilindro circular reto É a soma da área lateral Al com as áreas das duas bases B r2 CILINDRO Área Total de um Cilindro circular reto É a soma da área lateral Al com as áreas das duas bases B r2 A área total do cilindro circular reto é: CILINDRO Área Total de um Cilindro circular reto É a soma da área lateral Al com as áreas das duas bases B r2 A área total do cilindro circular reto é: At 2 r (h r ) CILINDRO Volume do Cilindro CILINDRO Volume do Cilindro O volume de um Cilindro é o produto da área da base pela medida da altura. CILINDRO Volume do Cilindro O volume de um Cilindro é o produto da área da base pela medida da altura. Prova: Considere - um cilindro S1 de altura h e área da base B1 B e um prisma S 2 de altura h e área da base B2 B . CILINDRO Volume do Cilindro O volume de um Cilindro é o produto da área da base pela medida da altura. Prova: Considere - um cilindro S1 de altura h e área da base B1 B e um prisma S 2 de altura h e área da base B2 B . CILINDRO Volume do Cilindro - Suponha que os dois sólidos têm as bases num mesmo plano, α e estão num dos semi-espaços determinados por α. CILINDRO Volume do Cilindro - - Suponha que os dois sólidos têm as bases num mesmo plano, α e estão num dos semi-espaços determinados por α. Qualquer plano β paralelo a α, que secciona o cilindro também secciona o prisma e as seções têm áreas iguais. CILINDRO Volume do Cilindro - - Suponha que os dois sólidos têm as bases num mesmo plano, α e estão num dos semi-espaços determinados por α. Qualquer plano β paralelo a α, que secciona o cilindro também secciona o prisma e as seções têm áreas iguais. B1' B1 , B2' B2 , B1 B2 B B1' B2' CILINDRO Volume do Cilindro Então, pelo Princípio de Cavalieri, CILINDRO Volume do Cilindro Então, pelo Princípio de Cavalieri, o cilindro e o prisma têm volumes iguais. VCilindro VPrisma CILINDRO Volume do Cilindro Então, pelo Princípio de Cavalieri, o cilindro e o prisma têm volumes iguais. VCilindro VPrisma Como VPrisma B2 h B h CILINDRO Volume do Cilindro Então, pelo Princípio de Cavalieri, o cilindro e o prisma têm volumes iguais. VCilindro VPrisma Como VPrisma B2 h B h VCilindro B h CILINDRO Volume do Cilindro Então, pelo Princípio de Cavalieri, o cilindro e o prisma têm volumes iguais. VCilindro VPrisma Como VPrisma B2 h B h VCilindro B h V B h CILINDRO Volume do Cilindro Então, pelo Princípio de Cavalieri, o cilindro e o prisma têm volumes iguais. VCilindro VPrisma Como VPrisma B2 h B h VCilindro B h Se B r 2 V B h CILINDRO Volume do Cilindro Então, pelo Princípio de Cavalieri, o cilindro e o prisma têm volumes iguais. VCilindro VPrisma Como VPrisma B2 h B h VCilindro B h Se B r 2 VCilindro r 2 h V B h CILINDRO Volume do Cilindro Exercício: Um tubo de tinta de uma caneta esferográfica tem 2 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento. Vamos supor que você gasta 2 mm3 de tinta por dia. Nessas condições a tinta de sua caneta esferográfica durará quantos dias? CILINDRO Volume do Cilindro Exercício: Um tubo de tinta de uma caneta esferográfica tem 2 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento. Vamos supor que você gasta 2 mm3 de tinta por dia. Nessas condições a tinta de sua caneta esferográfica durará quantos dias? Solução: Tudo de tinta é um cilindro cujo diâmetro da base é 2 mm e altura 10 cm = 100 mm. CILINDRO Volume do Cilindro Exercício: Um tubo de tinta de uma caneta esferográfica tem 2 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento. Vamos supor que você gasta 2 mm3 de tinta por dia. Nessas condições a tinta de sua caneta esferográfica durará quantos dias? Solução: Tudo de tinta é um cilindro cujo diâmetro da base é 2 mm e altura 10 cm = 100 mm. V .12.100 100 mm3 O volume de tinta é: CILINDRO Volume do Cilindro Exercício: Um tubo de tinta de uma caneta esferográfica tem 2 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento. Vamos supor que você gasta 2 mm3 de tinta por dia. Nessas condições a tinta de sua caneta esferográfica durará quantos dias? Solução: Tudo de tinta é um cilindro cujo diâmetro da base é 2 mm e altura 10 cm = 100 mm. V .12.100 100 mm3 O volume de tinta é: 3 Em um dia gasto 2 mm de tinta, então: CILINDRO Volume do Cilindro Exercício: Um tubo de tinta de uma caneta esferográfica tem 2 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento. Vamos supor que você gasta 2 mm3 de tinta por dia. Nessas condições a tinta de sua caneta esferográfica durará quantos dias? Solução: Tudo de tinta é um cilindro cujo diâmetro da base é 2 mm e altura 10 cm = 100 mm. V .12.100 100 mm3 O volume de tinta é: 3 Em um dia gasto 2 mm de tinta, então: 1 dia x 2 mm 3 - 100 mm 3 CILINDRO Volume do Cilindro Exercício: Um tubo de tinta de uma caneta esferográfica tem 2 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento. Vamos supor que você gasta 2 mm3 de tinta por dia. Nessas condições a tinta de sua caneta esferográfica durará quantos dias? Solução: Tudo de tinta é um cilindro cujo diâmetro da base é 2 mm e altura 10 cm = 100 mm. V .12.100 100 mm3 O volume de tinta é: 3 Em um dia gasto 2 mm de tinta, então: 1 dia x 2 mm 3 - 100 mm 3 x 1.100 50 dias 2 CONE Definição: CONE Definição: CONE Definição: Considere um círculo Г contido no plano α e seja V um ponto fora do plano α. Para cada ponto X pertencente a α, trace o segmento VX. CONE Definição: Considere um círculo Г contido no plano α e seja V um ponto fora do plano α. Para cada ponto X pertencente a α, trace o segmento VX. Chama-se cone circular ou cone à reunião dos segmentos VX. CONE Elementos CONE Elementos uma base : círculo de centro O e raio r, CONE Elementos uma base : círculo de centro O e raio r, vértice: o ponto V. CONE Elementos uma base : círculo de centro O e raio r, vértice: o ponto V. geratrizes : segmentos ligando o vértice V a um ponto da circunferência da base. CONE Elementos uma base : círculo de centro O e raio r, vértice: o ponto V. geratrizes : segmentos ligando o vértice V a um ponto da circunferência da base. A altura de um cone é a distância entre o Vértice e o plano da base. CONE Elementos uma base : círculo de centro O e raio r, vértice: o ponto V. geratrizes : segmentos ligando o vértice V a um ponto da circunferência da base. A altura de um cone é a distância entre o Vértice e o plano da base. Superfície lateral: reunião das geratrizes. CONE Elementos uma base : círculo de centro O e raio r, vértice: o ponto V. geratrizes : segmentos ligando o vértice V a um ponto da circunferência da base. A altura de um cone é a distância entre o Vértice e o plano da base. Superfície lateral: reunião das geratrizes. Superfície total : reunião da superfície lateral com o círculo da base. CONE Classificação CONE Classificação Pela posição de VO em relação ao plano da base. CONE Classificação Pela posição de VO em relação ao plano da base. CONE Classificação Pela posição de VO em relação ao plano da base. Cone circular obliquo – Se VO é obliqua ao plano da base. CONE Classificação Pela posição de VO em relação ao plano da base. Cone circular obliquo – Se VO é obliqua ao plano da base. Cone circular reto ou cone de revolução - se VO é perpendicular ao plano da base. CONE Seção meridiana CONE Seção meridiana Interseção do cone com um plano que contém VO. CONE Seção meridiana Interseção do cone com um plano que contém VO. CONE Seção meridiana Interseção do cone com um plano que contém VO. A seção meridiana de um cone circular reto ou cone de revolução é um Triângulo isósceles. CONE Cone equilátero CONE Cone equilátero CONE Cone equilátero Cone cuja seção meridiana é um triângulo equilátero. CONE Áreas Lateral e Total de um cone circular reto CONE Áreas Lateral e Total de um cone circular reto A superfície lateral de um cone circular reto (cone de revolução) de raio da base r e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g e comprimento do arco 2 r. CONE Áreas Lateral e Total de um cone circular reto A superfície lateral de um cone circular reto (cone de revolução) de raio da base r e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g e comprimento do arco 2 r. CONE Áreas Lateral e Total de um cone circular reto A superfície lateral de um cone circular reto (cone de revolução) de raio da base r e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g e comprimento do arco 2 r. Sendo θ o ângulo do setor, temos que : 2 r 360 r rad ou graus g g CONE Áreas Lateral e Total de um cone circular reto A superfície lateral de um cone circular reto (cone de revolução) de raio da base r e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g e comprimento do arco 2 r. Sendo θ o ângulo do setor, temos que : 2 r 360 r rad ou graus g g CONE Áreas Lateral e Total de um cone circular reto A superfície lateral de um cone circular reto (cone de revolução) de raio da base r e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g e comprimento do arco 2 r. Asetor Sendo θ o ângulo do setor, temos que : 2 r 360 r rad ou graus g g 2 r.g g 2 2 2 CONE Áreas Lateral e Total de um cone circular reto Área lateral do cone: Comprimento do arco 2 g 2 r área do setor ________ ________ g2 Al Al r g 2 r g 2 Al 2 g CONE Áreas Lateral e Total de um cone circular reto Área lateral do cone: Comprimento do arco 2 g 2 r área do setor ________ ________ g2 Al Al r g 2 r g 2 Al 2 g CONE Áreas Lateral e Total de um cone circular reto Área lateral do cone: Comprimento do arco 2 g 2 r área do setor ________ ________ g2 Al Al r g Ou ainda, a área do setor circular é Asetor 2 r.g r g Al 2 2 r g 2 Al 2 g CONE Áreas Lateral e Total de um cone circular reto Área total : At Al B CONE Áreas Lateral e Total de um cone circular reto Área total : At Al B onde a área da base é B r2 CONE Áreas Lateral e Total de um cone circular reto Área total : At Al B onde a área da base é B r2 Logo At r g r 2 CONE Áreas Lateral e Total de um cone circular reto Área total : At Al B onde a área da base é B r2 Logo At r g r 2 At r ( g r ) CONE O volume do Cone CONE O volume do Cone O volume do cone é um terço do produto da área da base pela medida da altura. CONE O volume do Cone O volume do cone é um terço do produto da área da base pela medida da altura. 2 B r , temos que V 1 r 2 h, Se 3 CONE O volume do Cone O volume do cone é um terço do produto da área da base pela medida da altura. 2 B r , temos que V 1 r 2 h, Se 3 Exercício: Use o Princípio de Cavalieri para demonstrar o resultado acima. ESFERA Definição ESFERA Definição Considere um ponto O e r um número real positivo. Denominamos esfera de centro O e raio r o conjunto dos pontos P do espaço cuja distância OP é menor ou igual a r. ESFERA Definição Considere um ponto O e r um número real positivo. Denominamos esfera de centro O e raio r o conjunto dos pontos P do espaço cuja distância OP é menor ou igual a r. ESFERA Definição Considere um ponto O e r um número real positivo. Denominamos esfera de centro O e raio r o conjunto dos pontos P do espaço cuja distância OP é menor ou igual a r. Superfície da esfera de raio r e centro O: ESFERA Definição Considere um ponto O e r um número real positivo. Denominamos esfera de centro O e raio r o conjunto dos pontos P do espaço cuja distância OP é menor ou igual a r. Superfície da esfera de raio r e centro O: ao conjunto dos pontos do espaço cuja distância OP seja igual a r. ESFERA Definição Considere um ponto O e r um número real positivo. Denominamos esfera de centro O e raio r o conjunto dos pontos P do espaço cuja distância OP é menor ou igual a r. Superfície da esfera de raio r e centro O: ao conjunto dos pontos do espaço cuja distância OP seja igual a r. OBS: A superfície da esfera é também superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no eixo. ESFERA Seção plana de uma esfera: ESFERA Seção plana de uma esfera: ESFERA Seção plana de uma esfera: é um círculo. ESFERA Seção plana de uma esfera: é um círculo. Se o plano secante passa pelo centro da esfera, ESFERA Seção plana de uma esfera: é um círculo. Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como seção um círculo máximo da esfera. ESFERA Seção plana de uma esfera: é um círculo. Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como seção um círculo máximo da esfera. Se r é o raio da esfera,d a distância do plano secante ao centro e s=O’A é o raio da seção, vale : ESFERA Seção plana de uma esfera: é um círculo. Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como seção um círculo máximo da esfera. Se r é o raio da esfera,d a distância do plano secante ao centro e s=O’A é o raio da seção, vale : s2 r 2 d 2 ESFERA Área e Volume A área da superfície de uma esfera de raio r é A 4 r 2 Exercício: Deduza a fórmula acima. (pagina 231) O volume da esfera de raio r é: 4 V r3 3 ´
