Lista 4 - Moodle PROFMAT

MA13 – Exercícios das Unidades 6 e 7
2014
Lista 4
Geometria, Coleção Profmat, SBM.
Problemas selecionados das seções 3.3, 3.4 e 3.5, pág. 112 em diante.
1) São dadas as retas a, b e c com a || b e c concorrente com as outras duas. Descreva
como construir as circunferências tangentes a essas três retas.
2) As retas AP e AQ tangenciam uma circunferência nos pontos P e Q e os segmentos
AP e AQ medem 5cm cada. Os pontos B e C dos segmentos AP e AQ respectivamente
são tais que BC é tangente a essa circunferência. Calcule os valores possíveis para o
perímetro do triângulo ABC.
3) Seja ABCD um quadrado de lado A e seja  a circunferência de centro A e raio a.
Marcamos os pontos M e N sobre BC e CD de forma que MN tangencia  . Quais são
os valores possíveis do ângulo MAN?
4) As cordas AB e CD de uma circunferência são perpendiculares em E, interior à
circunferência. A reta perpendicular a AC por E intersecta o segmento BD em F.
Prove que F é o ponto médio de BD.
5) Sejam A, B e C pontos de uma circunferência  tais que os arcos menores AB, BC
e CD medem todos 120o. Se P é um ponto em  situado no menor arco BC, prove
que PA  PB  PC .
6) Construa o triângulo ABC conhecendo os comprimentos do raio R da
circunferência circunscrita e dos lados BC e AC.
7) Sejam ABC um triângulo qualquer e M e N, respectivamente, os pontos onde as
bissetrizes externa e interna relativas ao vértice A intersectam a circunferência
circunscrita a ABC. Prove que MN é um diâmetro dessa circunferência.
8) Seja ABC um triângulo de ortocentro H e circuncentro O. Prove que a bissetriz
interna relativa ao lado BC também bissecta o ângulo HAO.
9) Prove que em todo triângulo os simétricos do ortocentro em relação às retas
suportes dos lados do triângulo estão situados sobre a circunferência circunscrita ao
triângulo.
10) Sejam ABC um triângulo acutângulo de circuncentro O e H a , H b e H c os pés
das alturas relativas aos lados BC, CA e AB, respectivamente. Prove que:
a) AHˆ b H c  ABˆ C e AHˆ c H b  ACˆ B .
b) OA  H b H c .
11) Seja ABCD um quadrilátero circunscritível. Mostre que os círculos inscritos nos
triângulos ABC e ACD e a diagonal AC têm um ponto comum.
Problemas suplementares
12) No triângulo ABC o lado BC é fixo e o ângulo A é constante e dado. Determine o
LG do ortocentro do triângulo ABC.
13) Duas circunferências cortam-se em A e B. Uma reta variável passa por A corta
uma circunferência em M e a outra em N de forma que A está entre M e N. Mostre que
o ângulo BMN é constante.
14) O ponto A é variável sobre uma circunferência de diâmetro BC. Prolongue CA de
um comprimento AP igual a AB. Determine o LG de P.
15) Construa o triângulo ABC conhecendo a hipotenusa AB  5 cm e sabendo que
AB  AC  6,2 cm.
16) No triângulo o lado BC é fixo e o ângulo A é constante e igual a 50o. Determine o
LG do incentro do triângulo ABC.
17) No triângulo acutângulo ABC, o ângulo A mede 66o. A circunferência de diâmetro
BC corta os lados AB e AC em E e D, respectivamente. Determine, nessa
circunferência, a medida do arco DE.
18) O lados AB, BC, CD, e DA do quadrilátero circunscritível ABCD medem x, x  1 ,
2 x  3 e x  2 , respectivamente. Determine o perímetro desse quadrilátero.
19) Considere o triângulo acutângulo ABC e as alturas AD, BE e CF. O triângulo
DEF chama-se triângulo órtico do triângulo ABC.
L04-1
Seja H o ortocentro do triângulo ABC.
a) Mostre que os quadriláteros BDHF e CDHE são inscritíveis.
ˆ F e HD
ˆ E são ambos iguais a 90o  Â
b) Mostre que os ângulos HD
c) Conclua que H é o incentro do triângulo órtico.