Mecânica - Educacional

Mecânica
(Professor: Sidclei) - UNIDADE 15
FORÇA RESULTANTE CENTRÍPETA
1. Força Resultante Centrípeta (FCP)
A força resultante centrípeta é aquela que garante a existência do movimento circular, ela é responsável
pela variação na direção do vetor velocidade, sendo formada sempre por outras forças como atrito, tração,
normal, peso, elástica, elétrica e magnética. A força resultante centrípeta é perpendicular ao vetor
velocidade e dirigida para o centro do movimento circular e implica na existência de uma aceleração que
é chamada de aceleração centrípeta.
ACELERAÇÃO CENTRÍPETA (aC)
Na dinâmica dos movimentos curvilíneos sabemos que a velocidade SEMPRE varia em direção e,
portanto, há uma aceleração. Esta aceleração é chamada de aceleração centrípeta.
Se o movimento é circular e uniforme, a força centrípeta é constante, sendo:
Recordando a 2a lei de Newton, temos:
Então teremos:
Exercícios
1. Um carrinho é largado do alto de uma montanha russa, conforme a figura.
Ele se movimenta, sem atrito e sem soltar-se dos trilhos, até atingir o plano horizontal. Sabe-se que os
raios de curvatura da pista em A e B são iguais. Considere as seguintes afirmações:
I . No ponto A, a resultante das forças que agem sobre o carrinho é dirigida para baixo.
II. A intensidade da força centrípeta que age sobre o carrinho é maior em A do que em B.
III. No ponto B, o peso do carrinho é maior do que a intensidade da força normal que o trilho exerce sobre
ele.
Está correto apenas o que se afirma:
a) I
b) II
c) III
d) I e II
e) II e III
2. Um motoqueiro contou, para o amigo, que subiu em alta velocidade um viaduto e, quando chegou ao
ponto mais alto deste, sentiu-se um pouco mais leve e por pouco não perdeu o contato com o chão.
Podemos afirmar que:
a) isso aconteceu em função de sua alta velocidade, que fez com que seu peso diminuísse um pouco
naquele momento.
b) o fato pode ser mais bem explicado levando-se em consideração que a força normal, exercida pela pista
sobre os pneus da moto, teve intensidade maior que o peso naquele momento.
c) isso aconteceu porque seu peso, mas não sua massa, aumentou um pouco naquele momento.
d) este é o famoso “efeito inercial”, que diz que peso e normal são forças de ação e reação.
e) o motoqueiro se sentiu muito leve, porque a intensidade da força normal exercida sobre ele chegou a
um valor muito pequeno naquele momento.
3. Um corpo de massa 10 kg percorre a trajetória ABC, mostrada em corte por um plano vertical. A
velocidade do corpo é constante 10 m/s.
Determinar a normal trocada entre o corpo e a pista nos seguintes casos:
a) ao passar pelo ponto A.
b) ao passar pelo ponto B.
c) ao passar pelo ponto C.
4. O barco viking é um entretenimento encontrado em diversos parques de diversão. Analisando-se o
movimento de ida e volta do barco somente no ápice do movimento, observa-se que é o movimento de
um pêndulo simples. Em relação ao exposto, a alternativa verdadeira é:
a) as forças que atual sobre o passageiro são a força centrípeta, a força peso e a força normal.
b) O módulo da força normal que o assento exerce sobre o passageiro é maior no ponto mais baixo da
trajetória.
c) O módulo da força-peso do passageiro é maior no ponto mais baixo da trajetória.
d) O módulo da força-peso do passageiro é sempre igual ao módulo da força normal que o assento exerce
sobre ele.
e) A força resultante sobre o passageiro é sempre a força centrípeta .
5. Num parque de diversão, uma das atrações que geram sempre muita expectativa é a da montanharussa, principalmente no momento do loop, em que se percebe que o passageiro não cai quando um
dos carrinhos atinge o ponto mais alto, conforme se observa nas figuras. Considerando-se a
aceleração da gravidade de 10 m/s2 e o raio R de 10 metros, analise as afirmações a seguir:
I - a força centrípeta sobre o conjunto (carrinho-passageiro) no loop é nula.
II - a velocidade mínima do carrinho no loop é de 10 m/s, e independe do peso do passageiro.
III - o peso do conjunto (carrinho-passageiro) no loop é igual à força centrípeta, para as condições de
velocidade mínima.
IV- o conjunto (carrinho-passageiro) está em equilíbrio dinâmico no instante do loop..
V. Considerando a velocidade do carrinho igual a 108 km/h ao passar pelo ponto mais baixo da
montanha Russa, o que não é um exagero, e o raio da trajetória circular igual a 10m, a força que o a
poltrona do carrinho aplica na pessoa de massa igual a 60 kg, vale 6000N.
Está correto apenas o que se afirma em:
a)I e II
b) I , II e V
c)II , III e IV
d) II,III e V
e)II , IV e V
6. As maiores rodas-gigantes do mundo
No início de 2009, foram inauguradas as duas maiores rodas-gigantes do mundo. Uma em Pequim e a
outra em Berlim. Elas suplantarão a Singapore Flyer, a atual recordista em altura.
Considerando-se que as alturas indicadas no quadro acima correspondem ao diâmetro das rodas, e
sabendo-se que a grande roda de Pequim tem movimento circular e uniforme com velocidade de 36 Km/h
e uma pessoa com 52 kg de massa, sentada em uma poltrona passa pelo ponto mais alto e pelo ponto
mais baixo como mostra as figuras 1 e 2.
Analise as afirmações a seguir:
I - a força centrípeta é a força resultante nos pontos mostrados nas figuras 1 e 2.
II - a força que a pessoa troca com a poltrona no ponto mais alto como mostra a figura 1, vale 470N.
III - a força que a pessoa troca com a poltrona no ponto mais baixo como mostra a figura 2, vale
570N.
Está correto apenas o que se afirma em:
a)I
b)I e II
c)II e III
d)III
e) I, II e III
7. Um motociclista descreve uma circunferência num “globo da morte" de raio 4 m, em movimento
circular uniforme, no sentido indicado pela seta curva, na figura abaixo.
A massa total (motorista + moto) é de 150 kg.
Considere g = 10 m/s2 julgue as afirmações a seguir.
I- A velocidade do motociclista em B é tangente à circunferência e dirigida para baixo ().
II. A força resultante sobre o motociclista no ponto A é dirigida para fora da circunferência e
perpendicular à mesma ( ).
III. Se a velocidade do motociclista no ponto mais alto (A) da circunferência for 12 m/s, a força
exercida sobre o globo nesse ponto será 3900 N.
IV. Se a velocidade do motociclista No ponto mais baixo (C) da circunferência for 20 m/s, a força
exercida sobre o globo nesse ponto será 5000 N
V. Se a velocidade do motociclista no ponto (B) da circunferência for 15 m/s, a força exercida sobre
o globo nesse ponto será 4500 N.
Está correto apenas o que se afirma em:
a) I
b)I e III
c)II e III
d)III e IV
e)II e IV
8. O globo da morte é uma atração circense. O motociclista deve imprimir certa velocidade à moto para
que ela não despenque ao fazer o percurso na parte superior do globo. Supondo que o globo tenha 4,9 m
de raio e que g = 10 m/s², calcule o menor valor da velocidade da moto para que ela passe pela parte
superior do globo sem cair.
9. Um avião mergulha verticalmente com velocidade constante de 200 m/s. Na saída do mergulho, o
avião descreve, no plano vertical, um arco de circunferência de raio 500 m. Sabendo-se que a massa do
piloto é de 60 kg, qual o valor máximo da força que o piloto exerce sobre o assento? Considere g = 10
m/s².
10. A corrida aérea mais loca e perfeita. Pilotos de todo o mundo treinados por instituições militares ou
civis até da RAF, (Royal Air Force) Força Aérea Real. Os pilotos executam manobras fantásticas como o
"looping" com seu avião – manobra acrobática em que a aeronave descreve um arco de circunferência no
plano vertical com uma velocidade constante de 540 km/h. O raio da trajetória é igual a 450 m e a
massa do piloto é 70 kg. Nessas manobras acrobáticas deve-se considerar que a maior aceleração que o
organismo humano pode suportar é 9g , sobre o perigo das fortes acelerações centrípetas que puxam os
pilotos durante as curvas fechadas. A temida "força G" faz o sangue descer do cérebro e pode causar a
perda de consciência - a última coisa que você quer que aconteça quando você está voando a mais de 500
km/h e a 4 metros da água! (g = aceleração da gravidade).
Com base nos dados fornecidos, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Se o raio de trajetória fosse menor do que 250 m, o piloto seria submetido a uma aceleração centrípeta
máxima maior do que 9g (nove vezes a aceleração da gravidade).
02. A força centrípeta sobre o piloto, na parte mais baixa da trajetória, é cinco vezes maior do que o seu
peso.
04. O piloto é submetido a uma aceleração centrípeta máxima igual a 5g (cinco vezes a aceleração da
gravidade).
08. A velocidade mínima para que o avião complete a volta, no topo da trajetória, é igual a 270 km/h.
16. A força que o avião faz sobre o piloto, na parte mais baixa da trajetória, é igual a 4200 N.
32. A força que o piloto faz sobre o avião é igual ao seu peso, em toda a trajetória.
64. O piloto é submetido a uma aceleração centrípeta máxima no topo da trajetória, quando a força de
sustentação do avião é mínima.
11. (Vunesp-SP) Uma esfera metálica de massa 0,1 kg, presa à extremidade de um fio leve e inextensível
de 1,0 m de comprimento, é abandonado de certa altura e passa pelo ponto mais baixo da trajetória com
velocidade de 2,0 m/s, como mostra a figura.
Determine, no ponto mais baixo da trajetória. Considere g = 10 m/s²:
a) o valor da força centrípeta sobre aesfera;
b) a tensão no fio.
12. (UFRJ ) Uma caixa é pendurada no teto de um ônibus por meio de fios ideais presos a um
dinamômetro de massa desprezível. A figura mostra esses objetos em equilíbrio em relação ao ônibus,
enquanto ele está percorrendo um trecho circular de raio de 40m numa estrada plana e horizontal, com
velocidade constante de 72 km/h. Nessa situação, o dinamômetro mostra que a tensão no fio é 65 N.
Determine o ângulo formado entre o dinamômetro e a direção vertical do ônibus.
13. (CESUPA-PA) Um corpo de massa 500 g gira num plano horizontal em torno de um ponto fixo,
preso à extremidade de um fio de 1 m de comprimento e massa desprezível.
Se o corpo efetua 60 voltas completas a cada meio minuto, então a força de tração exercida pelo fio, em
Newtons, é: (considere = 10).
a) 10.
b) 80.
c) 30.
d) 160.
e) 50.
14. A figura mostra um sistema de dois corpos de massas iguais a 0,2 kg, ligados por fios inextensíveis,
de 0,3 m cada, girando num plano horizontal sem atrito, com velocidade angular ω = 4 rad/s, em torno do
ponto fixo O.
Determine as intensidades das trações nos fios.
15. Um disco de massa m = 0,5kg desliza em um círculo de raio 20 cm sobre uma mesa sem atrito
enquanto atarraxado a um cilindro de massa M = 2,5kg suspenso por uma corda através de um buraco na
mesa. Veja a Figura para maiores detalhes. Qual é a velocidade do disco que mantém o cilindro em
repouso?
16. (Unicamp) Uma bola de massa igual a 1,0 kg, presa à extremidade livre de uma mola esticada de
constante elástica k = 2000 N/m, descreve um MCU de raio R = 0,50 m com velocidade v = 10 m/s sobre
uma mesa horizontal e sem atrito. A outra extremidade da mola está presa a um pino em O, segundo a
figura a seguir.
a) Determine o valor da força que a mola aplica na bola para que esta realize o movimento descrito.
b) Qual era o comprimento original a mola antes de ter sido esticada?
17. Um corpo de 1 kg, preso a uma mola ideal, pode deslizar sem atrito sobre a haste AC, solidária à haste
AB. A mola tem constante elástica igual a 500N/m e o seu comprimento sem deformação é de 40 cm. A
velocidade angular da haste AB quando o comprimento da mola é 50 cm, vale:
a)5 rad/s.
b) 10 rad/s.
c)15 rad/s.
d) 20 rad/s.
e) 25 rad/s.
18.Um piloto de Fórmula 1 (de automóveis), justamente com seu equipamento e mais o carro, totalizavam
a massa de 800 kg. Numa das corridas do campeonato, ele entrou numa curva plana, horizontal, que é um
arco de circunferência de raio R = 100 m, com determinada velocidade escalar.
Sabendo-se que o coeficiente entre os pneus e a pista vale 0,4 e admitindo-se para a aceleração da
gravidade um valor de 10 m/s², calcule a máxima velocidade que ele podia desenvolver para fazer a curva
19. Numa pista inclinada de  em relação à horizontal, um carro de massa 900 kg descreve uma curva
horizontal de raio 40(mostrada em corte na figura) com velocidade constante de 72 km/h. Sabendo-se que
o veículo não tem nenhuma tendência de derrapar, qual o valor de ?
20. (UFTM 10) O limite de velocidade em determinada estrada era pequeno, 20 m/s, e, mesmo assim,
uma de suas curvas, com raio de 80 m e calçamento plano e horizontal, somava um grande número de
acidentes por perda de aderência dos pneus dos carros.
Dados: massa de um veículo = 1000 kg aceleração da gravidade = 10 m/s2
a) Determine a intensidade da força de atrito que um veículo, movendo-se com velocidade máxima, sofre
lateralmente ao realizar essa curva.
b) Uma reforma na estrada fez com que o calçamento da curva ficasse sobrelevado em um ângulo θ de tal
forma que, agora, um veículo movendo-se à velocidade máxima, não precisasse contar com o atrito para
realizar a curva.
Determine o valor da tangente desse ângulo.
21. (UFAM 09) Uma pista de corrida tem o formato de um cone invertido, como indica a figura. Sobre
esta superfície, um carro corre em círculos que são paralelos ao chão. Para uma velocidade constante de
30m/s o valor aproximado da distância d que o motorista deve localizar seu carro, se deseja permanecer
sobre a trajetória circular sem depender de atrito, é:
(Dado: sen 45° = cos 45° = 0,7)
a) 28 m
b) 127 m
c) 104 m
d) 49 m
e) 88 m
22. O Piloto Alexandre Barros foi o vencedor do último GP da Espanha na categoria 250 cc de motovelocidade. Durante os treinos, pilotando sua moto num trecho em curva de raio 180 m, o piloto percebeu
que os pneus perdem a aderência ao solo, quando ele tenta se equilibrar na curva, inclinando a moto com
um ângulo inferior a 27º com a horizontal. Sabendo que a massa total do piloto com a moto vale 600 kg,
determinar:
a) o coeficiente de atrito estático entre os pneus da moto e o asfalto;
b) a máxima velocidade com que o piloto pode descrever essa curva com segurança.
c) a velocidade com que o piloto descreve a curva, quando mantém uma inclinação de 45º com a
horizontal.
d) a intensidade da força de atrito que atua na moto, quando mantém uma inclinação de 45º com a
horizontal.
Dado: tg 27º = 0,5 g = 10 m/s2
23. (UFSC) Rotor é um brinquedo que pode ser visto em parques de diversões. Consiste em um grande
cilindro de raio R que pode girar em torno de seu eixo vertical central. Após a entrada das pessoas no
rotor, elas se encostam às suas paredes e este começa a girar. O rotor aumenta sua velocidade de rotação
até que as pessoas atinjam uma velocidade v, quando, então, o piso é retirado. As pessoas ficam
suspensas, como se estivessem “ligadas” à parede interna do cilindro enquanto o mesmo está girando,
sem nenhum apoio debaixo dos pés e vendo um buraco abaixo delas.
Em relação à situação descrita, é CORRETO afirmar que:
01. A força normal, ou seja, a força que a parede faz sobre uma pessoa encostada na parede do rotor em
movimento, é uma força centrípeta.
02. Se duas pessoas dentro do rotor tiverem massas diferentes, aquela que tiver maior massa será a que
terá maior chance de deslizar e cair no buraco abaixo de seus pés.
04. O coeficiente de atrito estático entre a superfície do rotor e as roupas de cada pessoa dentro dele deve
ser maior ou igual a g R / v2.
08. O coeficiente de atrito estático entre a superfície do rotor e as roupas de cada pessoa dentro dele é
proporcional ao raio do rotor.
16. Admita que o rotor possua 4,0 m de raio, que gira em torno do seu eixo vertical. Considere g = 10
m/s² e o coeficiente de atrito entre a roupa da pessoa e a superfície do cilindro igual a 0,4. A mínima
velocidade tangencial que o cilindro deve ter para que, retirado o fundo do mesmo, você fique "preso" à
parede dele, é 10m/s.
24. (UERJ ) O cilindro da máquina de lavar roupas da família mede 50 cm de diâmetro. Durante o ciclo
de centrifugação, o coeficiente de atrito da roupa com a parede do cilindro da máquina é constante e igual
a 0,5. Calcule, em relação a esse ciclo de centrifugação:
a) a velocidade angular de rotação mínima para que a roupa fique grudada à parede do cilindro;
25. (PUC RJ 09) Um brinquedo de parque de diversões consiste (veja as figuras abaixo) de um eixo
vertical girante, duas cabines e um suporte para os cabos que ligam o eixo às cabines. O suporte é uma
forte barra horizontal de aço, de L = 8,0 m de comprimento, colocada de modo simétrico para poder
sustentar as cabines. Cada cabo mede d = 10 m.
Quando as pessoas entram nas cabines, o eixo se põe a girar e as cabines se inclinam formando um ângulo
θ com a vertical. O movimento das cabines é circular uniforme, ambos de raio R. Considere a massa total
da cabine e passageiro como M = 1000 kg. Suponha que θ = 30o. Considere g = 10 m/s2 para a aceleração
gravitacional e despreze todos os efeitos de resistência do ar. Determine:
a) a velocidade angular de rotação das cabines.
b) Sabendo que as forças verticais sobre a cabine se cancelam, calcule a tensão no cabo que sustenta a
cabine.
c) Qual o valor da força centrípeta agindo sobre a cabine?
26. (UNIOESTE 10) Uma criança pendura-se na extremidade livre de uma corda que tem a outra
extremidade presa ao teto de uma sala de ginástica. Ela, então, impulsiona-se e faz uma trajetória circular
cujo diâmetro é 0,8 m. Se a velocidade tangencial da criança, cuja massa é 40 kg, for 2,0 m/s, qual será o
ângulo que a corda faz com uma linha vertical perpendicular ao solo?(Considere a criança como uma
partícula, a massa da corda desprezível e a aceleração gravitacional igual 10 m/s2.)
27. Um corpo de massa 1,2kg, preso por um fio de comprimento 2,0m a um ponto fixo, realiza
movimento circular uniforme de raio 1,6m. (g = 10m/s2)
a) Determinar a intensidade da força de tração no fio.
b) Determinar a intensidade da aceleração centrípeta do corpo.
28. (UFG) O chapéu mexicano representado na figura, gira com velocidade angular constante. Cada
assento é preso por quatro correntes, que formam com a vertical um ângulo de 30°. As correntes estão
presas à borda do círculo superior, cujo diâmetro é de 6,24 m, enquanto o comprimento das correntes é de
6 m. A massa de cada criança é de 34 kg, sendo desprezíveis as massas dos assentos e das correntes.
Dados: g = 10 m/s2.
Calcule:
a) a velocidade delas ao longo da trajetória circular;
b) a tensão em cada corrente.
29. (UFPR 10) Convidado para substituir Felipe Massa, acidentado nos treinos para o grande prêmio da
Hungria, o piloto alemão Michael Schumacker desistiu após a realização de alguns treinos, alegando que
seu pescoço doía como consequência de um acidente sofrido alguns meses antes, e que a dor estava sendo
intensificada pelos treinos. A razão disso é que, ao realizar uma curva, o piloto deve exercer uma força
sobre a sua cabeça, procurando mantê-la alinhada com a vertical.
Considerando que a massa da cabeça de um piloto mais o capacete seja de 6,0 kg e que o carro esteja
fazendo uma curva de raio igual a 72 m a uma velocidade de 216 km/h, assinale a alternativa correta para
a massa que, sujeita à aceleração da gravidade, dá uma força de mesmo módulo.
a) 20 kg.
*b) 30 kg.
c) 40 kg.
d) 50 kg.
e) 60 kg.
30. Um veículo de 1000 kg percorre com velocidade de 90km/ h uma curva de raio 100m. A estrada é
sobrelevada, isto é, sua margem externa é mais elevada em relação à margem interna. Adote g=10m/s2.
Determine o ângulo de superelevação θ da pista para que a segurança do veículo na curva não dependa do
atrito.
31. Antonov, o maior avião do mundo com 84 metros de comprimento e 88,4 metros de envergadura, é
disponível comercialmente para transportar cargas enormes, devido ao tamanho único de seu
compartimento de carga, para se ter noção de seu tamanho, ele comportaria, facilmente, mais de mil e
quinhentas pessoas. Sabendo –se que o avião Antonov descreve uma curva em trajetória circular com
velocidade escalar constante, num plano horizontal, conforme está representado na figura, onde F é a
força de sustentação, perpendicular às asas; P é a força peso; α é o ângulo de inclinação das asas em
relação ao plano horizontal; R é o raio de trajetória.
São conhecidos os valores: α=45°; R=1000 metros; massa do avião=10000 kg. Assinale a(s) proposição
(ões) CORRETA(S), considerando, para efeito de cálculos, apenas as forças indicadas na figura.
01. Se o avião realiza movimento circular uniforme, a resultante das forças que atuam sobre ele é nula.
02. Se o avião descreve uma trajetória curvilínea, a resultante das forças externas que atuam sobre ele é,
necessariamente, diferente de zero.
04. A força centrípeta é, em cada ponto da trajetória, a resultante das forças externas que atuam no avião,
na direção do raio da trajetória.
08. A força centrípeta sobre o avião tem intensidade igual a 100000N.
16. A velocidade do avião tem valor igual a 360km/h.
32. A força resultante que atua sobre o avião não depende do ângulo de inclinação das asas em relação ao
plano horizontal.
32. Um pêndulo simples, de comprimento R = 2 m e massa m = 5 kg, passa pela posição indicada na
figura, com aceleração centrípeta de módulo igual a 50 m/s2.
Considerando g = 10 m/s2, sen 45º = cos 45º = 0,7, é CORRETO afirmar que no ponto indicado
a)o módulo da velocidade é 8 m/s.
b)o módulo da aceleração tangencial é 250 m/s2.
c)o módulo da tração no fio é 200 N.
d)o módulo da resultante da força centrípeta é 250 N.
e)o módulo da força resultante sobre a partícula é 300 N.
33. Um dos fatores que influenciam no desempenho de um carro de fórmula 1 é o “efeito asa”. Esse
efeito, que pode ser mais ou menos acentuado, surge da interação do ar com a geometria do carro.
Quando se altera o ângulo de inclinação dos aerofólios, surge uma força vertical para baixo, de forma que
o carro fica mais preso ao solo.
Considerando um caso com “efeito asa” igual ao seu peso, coeficiente de atrito estático 1,25 entre os
pneus e o asfalto, g = 10 m/s2, esse carro pode fazer uma curva plana e horizontal de raio de curvatura 100
m, sem deslizar, com velocidade máxima de:
a) 50 m/s
b) 180 m/s
c) 120 m/s
d) 100 m/s
e) 80 m/s.
Gabarito:
1.e 2.e
3.a)FN =100N
b)FN= 140N
c)FN = 60N
8. v= 7m/s 9. FN =5400N 10.V( 01,02,04,16)
13.b
11. T =1,4N
14. 1 º bloco T1 = 2,88N ; 2º bloco T2 =1,92N
16. a)200N b) 0,4m
17. b
20. a) Fat = 5000N b) tg = 0,5 21.b
4.b
18. v= 20m/s
5.d
6.e
7.b
12.  = 450
15. V= 3,1m/s
19 . = 450
22. a)0,45 b) 30m/s c) 42m/s d)6000N
23. V (01,04,08,16) 24. ~ 8,9rad/s 25. a)~ 0,8rad/s b)T=11333N c)Fcp=5666N
26 = 450
29.b
27. a)T=20N
b)acp= 13,3m/s2
28.a) v ~5,8m/s b)T= 600N
30. tg  = 0,625 31.V(02,04,08,16) 32.d 33. a