Cevianas: Baricentro, Circuncentro, Incentro e Mediana.

Cevianas:
Baricentro, Circuncentro, Incentro e Mediana.
1. (Ita 2014) Em um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 48cm2 , a razão entre as
medidas da altura AP e da base BC é igual a
2
. Das afirmações abaixo:
3
I. As medianas relativas aos lados AB e AC medem 97 cm;
II. O baricentro dista 4 cm do vértice A;
III. Se α é o ângulo formado pela base BC com a mediana BM, relativa ao lado AC, então
3
cos α 
,
97
é (são) verdadeira(s)
a) Apenas I.
b) Apenas II.
c) Apenas III.
d) Apenas I e III.
e) Apenas II e III.
2. (Ita 2013) Em um triângulo de vértices A, B e C, a altura, a bissetriz e a mediana,
ˆ em quatro ângulos iguais. Se é a medida
relativamente ao vértice C, dividem o ângulo BCA
do lado oposto ao vértice C, calcule:
a) A medida da mediana em função de .
ˆ
ˆ
ˆ e BCA.
ABC
b) Os ângulos CAB,
3. (Uem 2013) Considere um triângulo ABC com medidas AB  5cm, AC  2cm e
BC  4cm. Sejam D o ponto médio de BC e E o ponto médio de AB. Assinale o que for
correto.
01) Os triângulos ABC e EBD são congruentes.
02) A área do triângulo ABC é menor do que 4 cm2.
04) O triângulo EBD é obtusângulo.
08) O centro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC está no interior desse triângulo.
16) A área do quadrilátero AEDC é o triplo da área do triângulo EBD.
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4. (Ufg 2013) Gerard Stenley Hawkins, matemático e físico, nos anos 1980, envolveu-se com o
estudo dos misteriosos círculos que apareceram em plantações na Inglaterra. Ele verificou que
certos círculos seguiam o padrão indicado na figura a seguir, isto é, três círculos congruentes,
com centros nos vértices de um triângulo equilátero, tinham uma reta tangente comum.
Nestas condições, e considerando-se uma circunferência maior que passe pelos centros dos
três círculos congruentes, calcule a razão entre o raio da circunferência maior e o raio dos
círculos menores.
5. (Unesp 2013) Um aluno precisa localizar o centro de uma moeda circular e, para tanto,
dispõe apenas de um lápis, de uma folha de papel, de uma régua não graduada, de um
compasso e da moeda.
Nessas condições, o número mínimo de pontos distintos necessários de serem marcados na
circunferência descrita pela moeda para localizar seu centro é
a) 3.
b) 2.
c) 4.
d) 1.
e) 5.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Considere um triângulo ABC cuja base AB mede 27dm. Traçando-se uma reta “t”, paralela à
base, ela determina sobre os lados AC e BC, respectivamente, os pontos D e E. Sabe-se que
DC mede 14dm, BE mede 8dm e DE mede 18dm.
6. (G1 - ifal 2012) Assinale a alternativa verdadeira.
a) O triângulo ABC é equilátero, logo, ele pode ser inscrito em uma circunferência.
b) O triângulo ABC é um polígono regular, logo, ele pode ser inscrito em uma circunferência.
c) O triângulo ABC é escaleno, mesmo assim ele pode ser inscrito em uma circunferência.
d) O raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede 9 3 dm.
e) O apótema da circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede 4,5 3 dm.
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7. (G1 - col.naval 2011) Em um triângulo acutângulo não equilátero, os três pontos notáveis
(ortocentro, circuncentro e baricentro) estão alinhados. Dado que a distância entre o ortocentro
e o circuncentro é 'k', pode-se concluir que a distância entre o circuncentro e o baricentro será
5k
a)
2
4k
b)
3
4k
c)
5
k
d)
2
k
e)
3
8. (Ufc 2002) Na figura a seguir, temos dois triângulos equiláteros ABC e A'B'C' que possuem
o mesmo baricentro, tais que AB A'B', AC A'C' e BC B'C'. Se a medida dos lados de ABC
é igual a 3 3 cm e a distância entre os lados paralelos mede 2 cm, então a medida das alturas
de A'B'C' é igual a:
a) 11,5 cm
b) 10,5 cm
c) 9,5 cm
d) 8,5 cm
e) 7,5 cm
9. (Ufpi 2000) No triângulo ABC (figura abaixo), os lados AB, AC e BC medem
respectivamente 5 cm, 7 cm e 9 cm. Se P é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos B
e C e PQ//MB, PR//NC e MN//BC, a razão entre os perímetros dos triângulos AMN e PQR é:
a)
10
9
b)
9
8
c)
7
6
d)
4
3
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e)
7
5
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10. (Pucrj 1999) Seja ABC um triângulo equilátero de lado 1cm em que O é o ponto de
encontro das alturas. Quando mede o segmento AO?
11. (Pucmg 1997) Na figura, o triângulo ABC é equilátero e está circunscrito ao círculo de
centro 0 e raio 2 cm. AD é altura do triângulo. Sendo E ponto de tangência, a medida de AE,
em centímetros, é:
a) 2 3
b) 2 5
c) 3
d) 5
e)
26
12. (Ufpe 1996) Na figura a seguir o triângulo ∆ABC é equilátero com lados de comprimento 2
cm. Os três círculos C1, C2 e C3 têm raios de mesmo comprimento igual a 1 cm e seus centros
são os vértices do triângulo ∆ABC. Seja r > 0 o raio do círculo C 4 interior ao triângulo ∆ABC e
simultaneamente tangente aos círculos C1, C2 e C3. Calcule 9(1 + r)2.
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13. (Unirio 1996)
Na figura anterior, o triângulo ABD é equilátero, e seu lado mede 3m.; H é o ortocentro, sendo
que os pontos F e G são os pontos médios dos lados AD e BD , respectivamente. Quantos
rolos de fita adesiva serão necessários, no mínimo, para cobrir todos os segmentos da figura,
se cada rolo possui 1m de fita?
a) 18
b) 20
c) 22
d) 24
e) 26
14. (Ufpe 1995) Seja r o raio, em cm, da circunferência inscrita em um triângulo retângulo com
catetos medindo 6cm e 8cm. Quanto vale 24r?
15. (Unitau 1995) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta
suporte do lado oposto é denominado:
a) mediana.
b) mediatriz.
c) bissetriz.
d) altura.
e) base.
16. (Unicamp 1991) Três canos de forma cilíndrica e de mesmo raio r, dispostos como indica a
figura adiante, devem ser colocados dentro de outro cano cilíndrico de raio R, de modo a
ficarem presos sem folga. Expresse o valor de R em termos de r para que isso seja possível.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
[I] Verdadeira. Sabendo que a área do triângulo ABC mede 48cm2 e que AP 
(ABC) 
2
 BC, vem
3
1
1
2
 BC  AP  48   BC   BC
2
2
3
 BC  32  42
 BC  12cm.
Logo,
AP 
2
 12  8cm.
3
Como P é ponto médio de BC, é imediato, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no
triângulo APC, que AB  AC  10cm.
Portanto, sendo M o pé da mediana relativa ao lado AC, tem-se
2
2
2
1
 2  (AB  BC )  AC
2
1
  2  (102  122 )  102
2
 122  25
BM 
 97 cm .
[II] Falsa. De fato, sendo G o baricentro do triângulo ABC, temos
AG 
2
2
 AP   12  8cm.
3
3
[III] Falsa. Sabendo que BM  97 cm, vem BG 
2
2 97
 BM 
cm. Assim, do triângulo BGP,
3
3
obtemos
cos α 
BP
BG

6
2 97
3

9
97
.
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Resposta da questão 2:
Considere a figura.
Seja P o ponto diametralmente oposto ao ponto C e H o pé da perpendicular baixada de C
sobre AB. É fácil ver que ACB  BPC e AHC  CBP (pois CP é diâmetro). Logo, ACH  BCP
e, portanto, o diâmetro CP contém a mediana do triângulo ABC relativa ao vértice C e o
circuncentro O do triângulo ABC. Além disso, como O é a interseção da mediana relativa ao
vértice C e da mediatriz de AB, segue que M  O, com M sendo o ponto médio do lado AB.
Por conseguinte, o triângulo ABC é retângulo em C.
a) Como o triângulo ABC é retângulo em C, temos CM 
AB
 .
2
2
b) Sendo I o pé da bissetriz por C, considere a figura.
Sejam ACH  HCI  ICM  MCB  α. Logo, ACB  4α  90  4α  α  2230'. Portanto,
BAC  90  ACH
 90  2230'
 6730'
e
ABC  90  BAC
 90  6730'
 2230'.
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Resposta da questão 3:
02 + 04 + 16 = 22.
[01] Incorreto. Como DE é uma base média do triângulo ABC, é fácil ver que os triângulos
ABC e EBD são semelhantes, com razão de semelhança igual a 2.
[02] Correto. Pela Fórmula de Heron, temos
(ABC) 
 11
 11

11  11
  4   2   5 
22
2
2




11 3 7 1
  
2 2 2 2

231
4
256
4

 4cm2 .
[04] Correto. Como ABC e EBD são semelhantes, basta mostrar que ABC é obtusângulo.
De fato,
2
2
2
AB  BC  AC  52  42  22.
[08] Incorreto. Do item [04] sabemos que ABC é obtusângulo. Portanto, segue-se que o
circuncentro de ABC não está no seu interior.
[16] Correto. Do item [01], temos
(ABC)
 22  4.
(EBD)
Daí, como (ABC)  (EBD)  (AEDC), segue que (AEDC)  3  (EBD).
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Resposta da questão 4:
Na figura abaixo, H1, H2 e H3 são os pontos em que os círculos de centros A, B e C
tangenciam a reta.
Seja O o centro do círculo circunscrito ao triângulo ABC.
É fácil ver que BH1  AH2  2  BH1  AM, com M sendo o ponto médio do lado BC. Logo, pela
propriedade da mediana, obtemos
OA 
2
4
 AM   BH1,
3
3
ou seja, o raio do círculo maior é igual a
4
do raio dos círculos menores.
3
Resposta da questão 5:
[A]
Marcando três pontos na circunferência, determinamos os vértices de um triângulo inscrito na
mesma. O centro da moeda é o circuncentro do triângulo obtido.
Resposta da questão 6:
[C]
O triângulo ABC é escaleno, pois seus lados possuem medidas diferentes e qualquer triângulo
pode ser inscrito numa circunferência. O centro dessa circunferência é o circuncentro do
triângulo, ou seja, o ponto de encontro das mediatrizes dos lados.
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Resposta da questão 7:
[E]
Seja ABC um triângulo acutângulo isósceles.
Sejam O, G e H, respectivamente, o circuncentro, o baricentro e o ortocentro.
Como a distância do baricentro ao ortocentro é o dobro da distância do baricentro ao
circuncentro, segue que
GH  2  OG
k
 3  OG  k  OG  .
3
OH  GH  OG  k
Resposta da questão 8:
[B]
Resposta da questão 9:
[D]
Resposta da questão 10:
AO =
3
cm
3
Resposta da questão 11:
[A]
Resposta da questão 12:
12
Resposta da questão 13:
[E]
Resposta da questão 14:
48
Resposta da questão 15:
[D]
Resposta da questão 16:
R=r
2
33

3
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