Introdução à Análise Estatística

INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTATÍSTICA
VOLUME II
Patrícia Pinto
EDIÇÃO, DISTRIBUIÇÃO E VENDAS
SÍLABAS & DESAFIOS - UNIPESSOAL LDA.
NIF: 510212891
www.silabas-e-desafios.pt
[email protected]
Sede:
Rua Dorilia Carmona, nº 4, 4 Dt
8000-316 Faro
Telefone: 289805399
Fax: 289805399
Encomendas: [email protected]
TÍTULO
INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTATÍSTICA — Volume II
AUTORA
PATRÍCIA PINTO
1ª edição
Setembro 2015
Sílabas & Desafios, Unipessoal Lda.
ISBN: 978-989-98122-4-6
Depósito legal:
Pré-edição, edição, composição gráfica e revisão: Sílabas & Desafios Unipessoal, Lda.
Pré-impressão, impressão e acabamentos: Gráfica Comercial, Loulé
Capa: Joana Guita Pinto; http://www.ladybug-ctrlc.com/
Reservados todos os direitos. Reprodução proibida. A utilização de todo, ou partes,
do texto, figuras, quadros, ilustrações e gráficos, deverá ter a autorização expressa
do autor.
2
Aos meus filhos, Filipa e João Maria
3
4
AGRADECIMENTOS
Estou imensamente grata ao Prof. Doutor Pedro Pintassilgo pelo seu
interesse e análise crítica relativamente a estes textos. As suas pertinentes
sugestões muito têm contribuído para uma melhoria sucessiva deste
trabalho.
Agradeço também à Fundação para a Ciência e Tecnologia (FCT) que apoia o
meu trabalho de investigação no âmbito do Centro de Investigação sobre
Espaços e Organizações (CIEO), ao abrigo do projeto UID/SOC/04020/2013.
Patrícia Pinto
5
6
Índice
NOTA INTRODUTÓRIA
13
CAPÍTULO 1.
15
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
AMOSTRAGEM
POPULAÇÃO E AMOSTRA. AMOSTRAS ALEATÓRIAS E AMOSTRAS NÃO ALEATÓRIAS.
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DA POPULAÇÃO E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
MÉDIA E DESVIO PADRÃO DA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE 𝐗
FORMA DA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE 𝐗
PROPORÇÃO DA POPULAÇÃO, PROPORÇÃO DA AMOSTRA E DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE
15
18
26
30
UMA PROPORÇÃO
1.6.
1.7.
38
42
43
MÉDIA E DESVIO PADRÃO DA PROPORÇÃO AMOSTRAL
FORMA DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE UMA PROPORÇÃO AMOSTRAL
CAPÍTULO 2.
ESTIMAÇÃO PONTUAL
48
2.1.
ESTIMAÇÃO PONTUAL E ESTIMAÇÃO POR INTERVALOS. PARÂMETRO, ESTIMADOR E
ESTIMATIVA.
2.2.
PROPRIEDADES DESEJÁVEIS NUM ESTIMADOR: NÃO ENVIESAMENTO, EFICIÊNCIA E
CONSISTÊNCIA.
2.2.1.
NÃO ENVIESAMENTO
2.2.2.
EFICIÊNCIA
2.2.3.
CONSISTÊNCIA
2.3.
O MÉTODO DE ESTIMAÇÃO DA MÁXIMA VEROSIMILHANÇA
CAPÍTULO 3.
48
52
52
57
61
68
INTERVALOS DE CONFIANÇA
80
3.1.
O CONCEITO DE INTERVALO DE CONFIANÇA
80
3.2.
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA DA POPULAÇÃO QUANDO O DESVIO PADRÃO É
CONHECIDO.
81
3.3.
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA DA POPULAÇÃO QUANDO O DESVIO PADRÃO É
DESCONHECIDO.
92
3.4.
INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA A DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS
97
3.4.1.
AMOSTRAS INDEPENDENTES
97
3.4.2.
AMOSTRAS EMPARELHADAS
105
3.5.
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA UMA PROPORÇÃO
110
3.6.
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A DIFERENÇA ENTRE DUAS PROPORÇÕES
113
CAPÍTULO 4.
TESTES DE HIPÓTESES
4.1.
GENERALIDADES SOBRE TESTES DE HIPÓTESES
4.1.1.
CONCEITO E OBJETIVOS DE UM TESTE DE HIPÓTESES
4.1.2.
A HIPÓTESE NULA E A HIPÓTESE ALTERNATIVA
4.1.3.
REGIÃO DE REJEIÇÃO E REGIÃO DE NÃO-REJEIÇÃO
116
116
116
117
119
7
4.1.4.
4.1.5.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.6.1.
4.6.2.
4.7.
4.8.
4.8.1.
4.8.2.
TIPOS DE ERROS
TIPOS DE TESTES DE HIPÓTESES
TESTES DE HIPÓTESES SOBRE A MÉDIA DA POPULAÇÃO
CÁLCULO DA PROBABILIDADE DE UM ERRO DO TIPO II
TESTES DE HIPÓTESES ATRAVÉS DO P-VALUE
TESTES DE HIPÓTESES SOBRE A PROPORÇÃO DA POPULAÇÃO
TESTES DE HIPÓTESES SOBRE A DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS
AMOSTRAS INDEPENDENTES
AMOSTRAS EMPARELHADAS
TESTES DE HIPÓTESES SOBRE A DIFERENÇA ENTRE DUAS PROPORÇÕES
ANÁLISE DO PRESSUPOSTO DE NORMALIDADE
TESTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV
O GRÁFICO Q-Q
CAPÍTULO 5.
5.1.
5.2.
5.2.1.
5.2.2.
5.2.3.
5.2.4.
5.3.
5.4.
CAPÍTULO 6.
6.1.
6.2.
6.3.
TESTES DO QUI-QUADRADO
A DISTRIBUIÇÃO DO QUI-QUADRADO
TESTES DE AJUSTAMENTO
TESTES DE INDEPENDÊNCIA
BIBLIOGRAFIA
8
ANÁLISE DE VARIÂNCIA
A DISTRIBUIÇÃO F
ANÁLISE DE VARIÂNCIA COM CLASSIFICAÇÃO SIMPLES
OS OBJETIVOS DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA COM CLASSIFICAÇÃO SIMPLES
OS PRESSUPOSTOS DE APLICAÇÃO DA ANOVA COM CLASSIFICAÇÃO SIMPLES
A ESTATÍSTICA DO TESTE (CASO EM QUE AS AMOSTRAS TÊM A MESMA DIMENSÃO)
A ESTATÍSTICA DO TESTE (CASO EM QUE AS AMOSTRAS NÃO TÊM A MESMA DIMENSÃO)
ANÁLISE DE VARIÂNCIA COM CLASSIFICAÇÃO DUPLA
TESTES À IGUALDADE DE VARIÂNCIAS DE 𝒌 POPULAÇÕES INDEPENDENTES
121
123
129
141
146
152
156
157
162
167
171
172
177
180
180
182
182
188
188
199
204
212
218
218
221
230
238
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1.1. Distribuição de probabilidade da população e distribuição amostral de 𝑋 .............. 31
Figura 1.2. Distribuição de probabilidade da população e distribuição amostral de 𝑋 .............. 35
Figura 2.1. Função de densidade de probabilidade de um estimador 𝑢 não enviesado ............ 53
Figura 2.2. Função de densidade de probabilidade de um estimador v enviesado.................... 53
Figura 2.3. Estimador eficiente e estimador não eficiente ......................................................... 58
Figura 2.4. Distribuição amostral de 𝑋 e distribuição amostral de 𝑋𝑚𝑒𝑑 ................................ 60
Figura 2.5. Evolução da distribuição amostral de S à medida que n aumenta ........................... 63
Figura 2.6. Escolha entre estimadores não enviesados .............................................................. 64
Figura 2.7. Escolha entre um estimador enviesado e outro não enviesado ............................... 64
Figura 2.8. Probabilidade de 𝑋 = 2 para valores distintos de p assumindo que 𝑛 = 8 ............. 70
Figura 2.9. A função de verosimilhança e o logaritmo da função de .......................................... 72
Figura 3.1. Intervalo de confiança para μ................................................................................... 81
Figura 3.2. Intervalo de confiança para μ................................................................................... 83
Figura 3.3. 10 intervalos de confiança μ .................................................................................... 87
Figura 3.4. Relação entre a curva da distribuição t e a curva da distribuição Z .......................... 95
Figura 3.5. Distribuição amostral de Z.......................................................................................100
Figura 4.1. Região de rejeição e região de não rejeição no caso de um julgamento em tribunal
..................................................................................................................................................120
Figura 4.2. Teste bilateral .........................................................................................................125
Figura 4.3. Teste unilateral à direita .........................................................................................127
Figura 4.4. Teste unilateral à esquerda .....................................................................................128
Figura 4.5. Teste bilateral .........................................................................................................132
Figura 4.6. Teste bilateral .........................................................................................................134
Figura 4.7. Teste unilateral à direita .........................................................................................135
Figura 4.8. Teste unilateral à direita .........................................................................................137
Figura 4.9. Teste unilateral à esquerda .....................................................................................139
Figura 4.10. Teste unilateral à esquerda ...................................................................................139
Figura 4.11. Teste bilateral .......................................................................................................143
Figura 4.12. Teste bilateral .......................................................................................................144
Figura 4.13. O p-value num teste unilateral à esquerda ...........................................................147
Figura 4.14. O p-value num teste unilateral à esquerda ...........................................................148
Figura 4.15. O p-value num teste bilateral ................................................................................148
Figura 4.16. O p-value num teste unilateral à direita ................................................................150
Figura 4.17. O p-value num teste bilateral ................................................................................151
Figura 4.18. Teste bilateral .......................................................................................................155
Figura 4.19. Teste bilateral .......................................................................................................156
Figura 4.20. Teste unilateral à esquerda ...................................................................................161
Figura 4.21. Teste unilateral à esquerda ...................................................................................162
9
Figura 4.22. Teste unilateral à direita .......................................................................................166
Figura 4.23. Teste unilateral à direita .......................................................................................166
Figura 4.24. Teste unilateral à direita .......................................................................................170
Figura 4.25. Teste unilateral à direita .......................................................................................170
Figura 4.26. Interpretação gráfica da estatística D....................................................................173
Figura 4.27. Gráfico Q-Q ...........................................................................................................179
Figura 5.1. Curva da distribuição F ............................................................................................181
Figura 5.2. Distribuição F ..........................................................................................................182
Figura 5.3. Dados do quadro 5.5 ...............................................................................................191
Figura 5.4. Dados do quadro 5.2 ...............................................................................................192
Figura 5.5. Distribuição F ..........................................................................................................197
Figura 5.6. Distribuição F ..........................................................................................................199
Figura 5.7. Distribuição F ..........................................................................................................201
Figura 5.8. Distribuição F ..........................................................................................................203
Figura 5.9. Distribuição F ..........................................................................................................210
Figura 5.10. Distribuição F ........................................................................................................211
Figura 5.11. Distribuição F ........................................................................................................212
Figura 5.12. Distribuição F ........................................................................................................212
Figura 5.13. Distribuição F ........................................................................................................215
Figura 5.14. Distribuição F ........................................................................................................217
Figura 6.1. Curvas relativas a três distribuições do Qui-quadrado ............................................219
Figura 6.2. Curvas da distribuição do Qui-quadrado .................................................................220
Figura 6.3. Curva da distribuição do Qui-quadrado ..................................................................225
Figura 6.4. Curva da distribuição do Qui-quadrado ..................................................................227
Figura 6.5. Curvas da distribuição do Qui-quadrado .................................................................229
Figura 6.6. Curva da distribuição do Qui-quadrado ..................................................................230
Figura 6.7. Curva da distribuição do Qui-quadrado ..................................................................235
Figura 6.8. Curva de distribuição do Qui-quadrado ..................................................................236
10
ÍNDICE DE QUADROS
Quadro 1.1. Parte da tabela de números aleatórios .................................................................. 18
Quadro 1.2. Quadro de frequências absolutas .......................................................................... 19
Quadro 1.3. Distribuição de probabilidade da população.......................................................... 19
Quadro 1.4. Todas as amostras de dimensão 3 e respetivas médias ......................................... 21
Quadro 1.5. Quadro de frequências absolutas de 𝑿 quando cada amostra tem dimensão 3 .... 21
Quadro 1.6. Distribuição amostral de 𝑿 quando cada amostra tem dimensão 3 ...................... 22
Quadro 1.7. Distribuição de probabilidade de uma observação individual................................ 25
Quadro 1.8. Opinião de 5 funcionários relativamente à política de progressão na carreira ...... 40
Quadro 1.9. Todas as amostras de dimensão 2 e respetivas proporções amostrais .................. 41
Quadro 1.10. Quadro das frequências absolutas de 𝑝 quando a dimensão das amostras é igual a
2 ................................................................................................................................................. 41
Quadro 1.11. Distribuição amostral de 𝑝 quando a dimensão das amostras é 2 ....................... 42
11
12
NOTA INTRODUTÓRIA
Tal como o volume I, o presente manual de Introdução à Análise Estatística
II decorre da prática pedagógica da autora na lecionação de unidades
curriculares de Estatística e de Análise de Dados em cursos de licenciatura
em Economia, Gestão de Empresas e Sociologia na Faculdade de Economia
da Universidade do Algarve. Os textos que agora se apresentam visam
introduzir o leitor na chamada análise estatística inferencial, um ramo da
estatística que procura fazer extrapolações para uma população alvo tendo
por base uma amostra representativa dessa população. Neste contexto, são
abordados conceitos fundamentais no âmbito da teoria da amostragem e
são apresentados alguns instrumentos que permitem fazer essa inferência.
À semelhança da abordagem didática que orientou o volume I, o atual
volume procura articular a necessária formalização matemática com
exemplos práticos de aplicação às Ciências Sociais que permitam a sua fácil
compreensão.
O capítulo 1 é dedicado à amostragem e estuda duas distribuições muito
importantes na análise estatística: a da média e a da proporção amostrais. O
capítulo 2 foca uma das formas de fazer inferência estatística, a chamada
estimação pontual, explicando, nomeadamente, as características
desejáveis num estimador. O capítulo 3 explora a forma mais comum de
inferência que consiste na determinação de intervalos de confiança. Em
estreita articulação com este capítulo, o capítulo 4 introduz o conceito de
teste de hipóteses e aborda os testes paramétricos mais usados na análise
estatística que envolvam uma ou duas variáveis aleatórias. O capítulo 5 dá
continuidade aos testes estudados no capítulo anterior, focando o caso
particular do teste ANOVA. Por último, o capítulo 6 apresenta dois testes de
hipóteses não paramétricos de particular interesse: o teste de ajustamento
e o teste de independência.
13
14
CAPÍTULO 1.
AMOSTRAGEM
A Estatística Indutiva ou Inferência Estatística constitui, talvez, o ramo mais
interessante da Estatística. Em termos gerais, o seu objetivo é generalizar as
conclusões que se obtêm a partir de um pequeno conjunto de elementos
(designado por amostra) a um conjunto mais numeroso (designado por
população).
Numa primeira análise, o sucesso da Inferência Estatística depende da
forma como a amostra é selecionada. Na verdade, de nada adianta aplicar
corretamente as técnicas de Inferência a uma amostra mal escolhida, não
representativa da população que se pretende conhecer. Assim,
apresentaremos neste capítulo as principais características de uma “boa”
amostra, bem como alguns métodos que permitem a sua correta seleção.
Outro aspeto importante é que certas características de uma amostra (tais
como a sua média, a sua variância, etc.) são também variáveis aleatórias e,
como tal, têm uma distribuição de probabilidade. Estas distribuições de
probabilidade designam-se por distribuições amostrais. Neste capítulo
estudaremos os casos particulares das distribuições da média e da
proporção amostrais.
1.1. População e Amostra. Amostras Aleatórias e Amostras Não
Aleatórias.
Em Estatística, o termo população não se refere apenas a pessoas mas,
também, a objetos e a acontecimentos.
A população pode ser finita ou infinita. Por exemplo, o número de eleitores,
15
{amostragem}
o número de estudantes de uma escola são populações finitas. Já a
temperatura em diversos pontos de um país num dado momento e a idade
dos edifícios constituem exemplos de populações infinitas.
POPULAÇÃO – conjunto de entidades (pessoas, objetos
ou acontecimentos) com qualquer característica em
comum e com interesse para o estudo.
Para tirar conclusões acerca da população, a Inferência Estatística utiliza
uma amostra.
AMOSTRA – subconjunto da população que se supõe
representativo desta.
São vários os motivos que podem explicar o uso de uma amostra ao invés da
população num estudo estatístico. Apontemos alguns:
(a) A população pode ser muito numerosa ou até infinita;
(b) É mais rápido, mais cómodo e mais económico analisar apenas um
número restrito de elementos;
(c) Muitas vezes é necessário fazer testes nocivos e até destrutivos (testes
à resistência de objetos, testes de resistência face a certos
medicamentos, etc.).
Num estudo estatístico, a forma como a amostra é escolhida é de extrema
importância. Uma amostra mal selecionada conduz invariavelmente a
resultados errados, ou seja, invalida a Inferência Estatística que se pretenda
fazer. De um modo geral, a constituição de uma amostra deve atender aos
seguintes princípios:
(1) Imparcialidade: todos os elementos da população devem ter a mesma
oportunidade de fazer parte da amostra;
(2) Representatividade: a amostra deve conter, em proporção, todas as
características da população (qualitativas e quantitativas);
16
{amostragem}
(3) Dimensão: a amostra deve ser tão grande possível, de modo que as
características da amostra se aproximem das características da
população.
Existem técnicas para a escolha correta de uma amostra. Uma das mais
utilizadas é a amostragem aleatória. Defina-se, então, amostra aleatória e
amostra não aleatória.
AMOSTRA ALEATÓRIA e AMOSTRA NÃO ALEATÓRIA
– a amostra é aleatória se todos os elementos da
população tiveram oportunidade dela fazerem parte.
Caso contrário, ou seja, se alguns elementos da
população não tiverem tido qualquer hipótese de
serem escolhidos, a amostra diz-se não aleatória.
Exemplo 1.1. Suponhamos uma população de estudantes universitários da
qual se pretende selecionar uma amostra de dimensão 20. Se escrevermos o
nome de cada estudante num pedaço de papel, colocarmos todos os papéis
num saco escuro, misturarmos e, seguidamente, tirarmos 20 papéis,
obtemos uma amostra aleatória de 20 estudantes. Mas, se em vez disso,
ordenarmos os nomes dos estudantes por ordem alfabética e escolhermos
os 20 primeiros, a amostra resultante será não aleatória uma vez que os
estudantes que não se encontrarem entre os 20 primeiros não terão
qualquer hipótese de serem escolhidos.
Uma amostra aleatória é, em geral, representativa da população.
No exemplo 1.1, vimos uma forma de escolher uma amostra aleatória. O
uso de uma tabela de números aleatórios constitui outra forma de atingir
este objetivo. Vejamos um exemplo.
Exemplo 1.2. Considere-se um grupo de 200 pessoas do qual se pretende
escolher uma amostra aleatória de 20. Para tal, ordenavam-se
alfabeticamente os nomes das 200 pessoas e atribuía-se um número de três
dígitos a cada uma delas (de 001 a 200). Seguidamente, usávamos a tabela
17
{amostragem}
de números aleatórios para selecionar as 20 pessoas. Assim, escolhemos um
número qualquer da tabela (quadro 1.1) e, a partir desse número, seguimos
em qualquer direção (por exemplo, para a direita).
Quadro 1.1. Parte da tabela de números aleatórios
13054
85132
32747
17728
96544
92603
74990
98288
67295
00694
97456
38430
53637
28861
59063
72453
Suponhamos que começávamos com o primeiro número do quadro 1.1
(parte da tabela de números aleatórios). Esse número é o 13049. Uma vez
que estamos interessados em números de três dígitos, vamos considerar
apenas os três primeiros dígitos do número 13054: 130. Assim, a pessoa
identificada com o número 130 seria a primeira a fazer parte da amostra. O
número aleatório imediatamente à direita é o número 85132 do qual nos
interessa apenas os três primeiros dígitos: 852. Este número não seria
considerado visto apenas nos interessar números entre 001 e 200. O mesmo
se passa com o número imediatamente à direita, 32747. Passávamos, então,
para o número seguinte, 17728. Os três primeiros dígitos são 177 e,
consequentemente, a pessoa identificada com o número 177 seria a
segunda a fazer parte da amostra. Este processo seria repetido até termos
selecionado as 20 pessoas.
1.2. Distribuição de Probabilidade da População e Distribuições
Amostrais
Nesta secção vamos abordar os conceitos de distribuição de probabilidade
da população e distribuição de probabilidade de uma amostra. Para que seja
clara a distinção entre as duas distribuições, considere-se o seguinte
exemplo:
Exemplo 1.3. Suponhamos uma empresa com 5 funcionários com 7, 8, 12, 7
18
{amostragem}
e 5 anos de experiência profissional, respetivamente. Seja X a variável
aleatória “número de anos de experiência profissional de um funcionário da
empresa”. O quadro 1.2. mostra as frequências absolutas do número de
anos de experiência profissional dos 5 funcionários.
Quadro 1.2. Quadro de frequências absolutas
X
Frequência absoluta
5
1
7
2
8
1
12
1
N=5
Observe-se que, neste caso, a população é constituída pelos números 7, 8,
12, 7 e 5 que correspondem ao número de anos de experiência profissional
dos funcionários da empresa.
Dividindo as frequências absolutas do quadro 1.2 pelo número total de
funcionários, obtemos as frequências relativas, que podem ser usadas como
probabilidades. O quadro 1.3 lista todos os valores que a variável aleatória X
pode assumir e as respetivas probabilidades. Dito de outra forma, o quadro
1.3 apresenta a distribuição de probabilidade da população.
Quadro 1.3. Distribuição de probabilidade da população
X
P(X)
5
1/5 = 0.2
7
2/5 = 0.4
8
1/5 = 0.2
12
1/5 = 0.2
∑=𝟏
19
{amostragem}
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DA POPULAÇÃO – lista de
valores que a população pode assumir e respetivas
probabilidades.
Com base na distribuição de probabilidade da população, podemos calcular
os seus parâmetros, 𝜇 e 𝜎. Assim, vem:
𝜇 = 5 × 0.2 + 7 × 0.4 + … + 12 × 0.2 = 7.8;
𝜎 = √(5 − 7.8)2 × 0.2 + (7 − 7.8)2 × 04 + … + (12 − 7.8)2 × 0.2 =
= 2.32.
Existe uma diferença muito importante entre a média da população, 𝜇, e a
média de uma amostra, 𝑋̅. A média da população é sempre a mesma, isto é,
nunca varia. Pelo contrário, o valor da média da amostra depende dos
elementos que a constituem. De facto, se tivermos várias amostras de igual
dimensão de uma mesma população e calcularmos a média de cada uma
dessas amostras, obtemos diferentes valores para 𝑋̅. Portanto, a média
amostral, 𝑋̅, é uma variável aleatória uma vez que depende da amostra que
é aleatoriamente selecionada. Como qualquer variável aleatória, 𝑋̅ tem uma
distribuição de probabilidade, designada por distribuição amostral de 𝑋̅. O
desvio padrão da amostra, a mediana e outras estatísticas amostrais têm
também uma distribuição de probabilidade.
Voltemos ao exemplo para ilustrar a distribuição de probabilidade de 𝑋̅.
Assim, admita-se que pretendemos formar todas as possíveis amostras de
dimensão 3 (sem reposição) a partir do número de anos de experiência
profissional dos 5 funcionários da empresa. O cálculo combinatório indica
quantas amostras de dimensão 3 é possível formar a partir de 5 elementos.
5
5!
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 = ( ) =
= 10
3
3! (5 − 3)!
20