geometria analitica 1ª lista

Prof. Robson Sousa
Curso: Licenciatura Plena em Matemática
Disciplina: Geometria Analítica – 2011.1
1ª Lista de Exercícios
2
1ª. Determine k de modo que o ponto B(k -1, 2x+1) pertença ao 2º quadrante.
2ª. Sabendo que A(3k-1, 2 - k) pertence à bissetriz dos quadrantes pares. Determine k.
3ª. Para um triângulo ABC temos A(4,-3), B(7,-1) e C(-5,4). Sendo E o ponto médio da mediana
coordenadas de E.
AD , determine as
4ª. Sabendo que D(-1,-3) e E(4,3), encontre as coordenadas do ponto F, simétrico de E em relação a D.
5ª. Num paralelogramo ABCD temos A(-2,1) e B(1,4). Sabendo que as suas diagonais encontram-se no ponto G(3,2),
determine as coordenadas dos vértices C e D.
6ª. Calcule o comprimento da mediana
AM de um triângulo cujos vértices são A(-3,
3
), B(1,5) e C(6,-1).
2
7ª. O centro de uma circunferência está sobre a reta bissetriz dos quadrantes ímpares. Sabendo que a circunferência
passa pelos pontos A(-5, 2) e B(-3,-2), determine o seu raio.
8ª. Sendo A(-2,1), B(3,2) e C(1,-4), determine o circuncentro do triângulo ABC.
9ª. Calcule o valor de a de modo que o triângulo ABC, de vértices A(a,4), B(-7, 2a -1) e C(0,0) seja retângulo em C.
10ª. Num quadrado ABCD, os vértices A(1,2) e C(8,3) são extremos de uma das diagonais. Determine os outros dois
vértices.
11ª. Num quadrilátero ABCD temos A(-2,1), B(2,4), C(7,-8) e D(-1,-2). Determine o perímetro desse quadrilátero.
12ª. Sendo E(-4,-1) e F(5,6), determine as coordenadas dos pontos que dividem o segmento
mesmo comprimento.
EF em três partes de
13ª. Num triângulo ABC é dado o vértice A(4,1), o baricentro G(-2,0) e o ponto M(2,-1) que é o ponto médio do lado
AB . Determine as coordenadas do vértice C.
14ª. Verifique que os pontos A(a -1, a), B(-a, 1-a), C(a - 2, a - 1) estão alinhados
∀ a ∈ IR.
15ª. Determine os pontos onde à reta de equação 2x + 3y – 12 = 0 intercepta os eixos coordenados.
16ª. Uma reta r tem equação 4x – y – 3 = 0 e uma reta s tem equação 3x + y – 11 = 0. Determine o ponto de
interseção dessas retas.
17ª. Consideremos os pontos A(3,4) e B(8,9) e a reta r de equação 3x – y + 1 = 0. Determine o ponto de r que é
eqüidistante de A e B.
18ª. Sabendo que a equação da reta r é x – 4y +17 = 0, determine um ponto de r cuja distância ao ponto A(8, 2) é
igual a
14 .
19ª. Consideremos uma reta r de equação ax + by + c = 0, onde a e b não são simultaneamente nulos. Qual a
condição para que r passe pela origem do sistema de coordenadas?
20ª. Sabendo que A( − 4 , 2) e B(3, 1 ), determine a equação da mediatriz do segmento
3
3
AB .
1
). Determine os valores de a de modo que a reta de equação
5
2
2
(a -1)x + (a +1)y – 1 = 0 tenha o mesmo coeficiente angular da reta AB .
21ª. São dados os pontos A(4, -3) e B(0,
22ª. A reta r tem equação angular igual a 2 e corta o eixo das ordenadas no ponto (0, -5). A reta s tem coeficiente
angular igual a 3 e corta o eixo das ordenadas no ponto (0,4). Determine a interseção de r e s.
2
23ª. Determine K de modo que as retas de equações y = (3k -1)x + 1 e y = (k – 4k + 9)x + 7 sejam paralelas.
24ª. Suponhamos que
 x = at + b
é um par de equações paramétricas de uma reta, tal que a ≠ 0. Mostre que:

 y = a ' t + b'
i) A reta passa pelo ponto (b. b’)
ii) O coeficiente angular m da reta é m’ =
a'
.
a
25ª. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (-5, 3 ) e é paralela à reta de equação -4x + 9y + 1 = 0.
2
26ª. Encontre as coordenadas do ponto A, simétrico de B(3, -2) em relação à reta r de equação 2x -3y + 14 = 0
27ª. Num losango ABCD temos A(11, 4) e B(4, -2). Sabendo que o ponto E(7, 2) pertence à diagonal
as coordenadas de C e D.
28ª. Determine as equações das retas que passam pela origem e que formam um ângulo
equação 4x + 2y – 1 = 0.
θ = 45º
AC , determine
com a reta s de
29ª. Uma reta r de coeficiente angular m = - 4 está a distancia dAr = 5 do ponto A(3, 6). Determine a equação dessa
reta.
30ª. Calcule a distância da origem do sistema de coordenadas à reta r de equação 4x – y + 2 = 0.
31ª. Determine o valor de k de modo que os pontos A(k, 1), B(15, k) e C(7, 0) formem um triângulo de área igual a 1.
32ª. Consideremos duas retas paralelas r e s cujas equações são:
(r): ax + by +c1 = 0
(s): ax + by +c2 = 0
Mostre que
d rs =
c 2 − c1
a2 + b2
.
33ª. Uma reta r de coeficiente angular m = - 4 está à distância d = 5 do ponto A(3; 6). Determine a equação dessa
reta.
34ª. Consideremos o triângulo de vértices A(1, 2), B(3, 7) e C(6,3), calcule:
a) A área do triângulo.
b) A altura relativa ao lado
BC .
5
35ª. Calcule o raio da circunferência inscrita no triângulo de vértices A(-3, 1), B(3, 11 ) e C(9, − ).
2
2
36ª. Calcule a área do polígono de vértices A(2, 1), B(3, 4) e C(5, 5) e D(12, 16).
37ª. Desafios. (Use o sistema de coordenadas, ou seja, demonstre cada alternativa analiticamente)
a) Demonstre que o ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo equidista dos três vértices (ou seja, a
mediana relativa a hipotenusa é exatamente a metade da hipotenusa).
b) Mostre que as diagonais de um retângulo tem mesma medida.
c) Prove que a soma dos quadrados das medidas dos lados de um paralelogramo é igual à soma dos
quadrados das medidas de suas diagonais.
d) Mostre que sendo D o baricentro de um triângulo ABC qualquer, os triângulos ABD, ACD e BCD têm a
mesma área.