Lógica Modal

Base Axiomática para o
Cálculo Proposicional
(Sistema PM)
Símbolos:
•Letras romanas minúsculas, com
ou sem índice inferior;
•Os símbolos: ~, ∨, (, )
Qualquer símbolo acima, ou qualquer sequência de símbolos é uma expressão. Chamaremos de fórmula às expressões formadas segundo as seguintes regras:
Regras de Formação:
•Uma letra isolada é uma fórmula;
•Se α é uma fórmula, então ~α é uma fórmula;
•Se α e β são fórmulas, então (α ∨ β) é uma
fórmula.
Lógica Modal 1
Para simplificar a notação, definiremos novos
operadores, a partir dos anteriores:
[Def. ⋅] (α ⋅ β) ≅ ∼(∼α ∨ ∼β)
[Def. ⊃] (α ⊃ β) ≅ (∼α ∨ β)
[Def. ≡] (α ≡ β) ≅ ((α ⊃ β) ⋅ (β ⊃ α))
Do ponto de vista semântico, podemos definir, como anteriormente:
•atribuições de valores-verdade às letras sentenciais
(também chamadas de variáveis proposicionais);
•extensão destas atribuições a todas as fórmulas do
cálculo proposicional, através da definição de uma
semântica para os operadores;
•validade, chegando ao conceito de tautologia
Lógica Modal 2
Sistema Formal:
Axiomas:
A1: (p ∨ p) ⊃ p
A2: q ⊃ (p ∨ q)
A3: (p ∨ q) ⊃ (q ∨ p)
A4: (q ⊃ r) ⊃ ((p ∨ q) ⊃ (p ∨ r))
Chamaremos de tese qualquer axioma ou qualquer fórmula obtida através das seguintes regras:
Regras de Transformação:
TR1: Substituição Uniforme
O resultado de substituir uniformemente
qualquer letra, numa tese, por uma fórmula, é
uma tese;
TR2: Modus Ponens
Se α e (α ⊃ β) são teses então β também é.
Uma derivação é uma sequência de teses
Lógica Modal 3
Sistemas Modais Proposicionais
Vamos inicialmente considerar as seguintes
modalidades, na linguagem natural, segundo
as quais uma proposição pode ser verdadeira
ou falsa: (noções modais)
• necessariamente verdadeira;
• impossível;
• contingente;
• possível.
O desenvolvimento a seguir deverá dar um
sentido lógico a estes termos.
De uma maneira intuitiva, qualquer uma destas noções modais pode ser expressa em função de qualquer uma das outras.
Outra noção modal importante é o conceito
de acarretamento.
Lógica Modal 4
Pode-se associar às noções modais acima
operadores (unários ou binários) modais
Uma característica fundamental destes operadores é o fato de não serem funcionais-veritativos.
Sistemas lógicos que possuam este tipo de
operador são chamados de sistemas modais.
O s sistemas modais que construiremos conterão o CS, mas não serão redutíveis a ele.
A questão crucial é:
Que fórmulas chamaremos de válidas nos
sistemas modais?
Lógica Modal 5
Para a construção dos sistemas modais não
é conveniente partir do conceito de validade
(como fizemos no CS) pois ele não é evidente neste contexto.
Para que o sistema tenha a interpretação desejada, algumas condições (que veremos a seguir)
devem ser preenchidas.
Contudo, contrariamente aos sistema elementares, estas condições nem sempre são consensuais, o que leva à existência de múltiplos sistemas.
O procedimento adotado será:
• estabelecer condições para os sistemas (fórmulas que devem ser válidas);
• definir os sistemas axiomáticos;
• propor definições de validade, comparando-as
com os sistemas definidos.
Lógica Modal 6
Algumas condições a que devem
satisfazer os sistemas modais:
1) Lp ≡ ~M~p
Mp ≡ ~L~p
(das discussões anteriores)
Pode-se escolher apenas
uma delas como primitiva.
{
2) Quanto ao operador de acarretamento,
há alguma controvérsia; no entanto é consensual:
(p
q) ⊃ ~ M (p ⋅ ~q)
O sentido inverso é polêmico, mas vamos
assumir:
(p
q) ≡ ~ M (p ⋅ ~q)
ou, equivalentemente:
(p
q) ≡ L (p ⊃ q)
Lógica Modal 7
acarretamento
implicação estrita
analogamente à relação entre ( ⊃, ≡ ) podemos
definir o símbolo de equivalência estrita:
(α = β) ≅ ((α
β) ⋅ (β
α))
ou
(α = β) ≅ L(α ≡ β)
3) O operador L não é funcional-veritativo.
Portanto não pode ser tese a fórmula:
Lp ≡ p
4) Axioma da Necessidade
Lp ⊃ p pois aquilo que é necessariamente verdadeiro é verdadeiro
outra versão: p ⊃ Mp (axioma da possibilidade)
(deriváveis um do outro)
Lógica Modal 8
5) Qualquer fórmula válida é necessariamente
verdadeira (se α é válida, Lα também é).
6) Tudo o que “segue logicamente” de uma
verdade necessária é uma verdade necessária.
L(p ⊃ q) ⊃ (Lp ⊃ Lq)
(de outra maneira, o risco de falsear a conclusão seria
maior do que o risco de falsear as premissas)
Terminologia:
Uma tese pertence a um sistema se é derivável nele
Dois sistemas são dedutivamente equivalentes ou equivalentes se contém as mesmas teses (mesmo tendo bases
diferentes)
Se as teses de um sistema A pertencem a um sistema B,
mas nem toda tese de B pertence a A, então:
A é mais fraco que B
B é mais forte que A
B contém A
Lógica Modal 9
Sistema T
É o mais fraco sistema modal que satisfaz às
exigências anteriores.
Símbolos:
letras romanas minúsculas (var. proposicionais)
~, L, ∨, (, )
Regras de Formação:
•Uma variável proposicional isolada é uma
fórmula.
•Se α é uma fórmula, então ~α e Lα são fórmulas.
•Se α e β são fórmulas, então (α ∨ β) é uma
fórmula.
Lógica Modal 10
Definições de outros conectivos:
(⊃, ⋅, ≡) definidos como anteriormente;
Mα ≅ ~L~α
(α
β) ≅ L(α ⊃ β)
(α = β) ≅ ((α β) ⋅ (β
α))
Axiomas:
A1 a A4 do sistema PM e ainda:
A5: (Lp ⊃ p)
A6: L(p ⊃ q) ⊃ (Lp ⊃ Lq)
Regras de Transformação:
TR1: Substituição Uniforme
TR2: Modus Ponens
TR3: Regra da Necessitação:
Se α é uma tese então Lα é uma tese
Lógica Modal 11
obs.: não confundir a regra TR3 com a fórmula não-válida:
p ⊃ Lp
Uma derivação em T é definida de maneira análoga à proposta para o sistema PM
Regra abreviada:
DR1: Se (α ⊃ β) é tese então (Lα ⊃ Lβ) é tese
Algumas teses do sistema modal T:
T1: p ⊃ Mp
T2: (p = q) ⊃ (Lp ≡ Lq)
T3: L(p ⋅ q) ≡ (Lp ⋅ Lq) (lei da L-distribuição)
T4: L(p ≡ q) ≡ (p = q)
T7: M(p ∨ q) ≡ Mp ∨ Mq (lei da M-distribuição)
Regra abreviada:
DR2: Se (α ≡ β) é tese então (Lα ≡ Lβ) é tese
Lógica Modal 12
Regra de Substituição de Equivalentes (Eq):
Se α é uma tese e β difere de α somente pela ocorrência de
uma fórmula δ no lugar de alguma fórmula γ (em todas ou
alguma ocorrências de γ) então, se (γ ≡ δ) é uma tese, β é
uma tese.
T5: Lp ≡ ~M~p
T5a: L~p ≡ ~Mp
T5b: ~Lp ≡ M~p
T5c: LLp ≡ ~MM~p
T5d: LL~p ≡ ~MMp
T5e: MM~p ≡ ~LLp
T5f: LM~p ≡ ~MLp
T5g: ML~p ≡ ~LMp
Regra do intercâmbio LM (LMI):
Em qualquer sequência de L’s e M’s adjacentes, todos os
L’s podem ser substituídos por M’s, e M’s por L’s desde
que o símbolo ~ seja inserido ou apagado imediatamente
antes e imediatamente após a sequência.
Regra abreviada:
DR3: Se (α ⊃ β) é uma tese, então (Mα ⊃ Mβ)
é uma tese.
T9: (Lp ∨ Lq) ⊃ L(p ∨ q)
T10: M(p ⋅ q) ⊃ (Mp ⋅ Mq)
}
Comparar com
T3 e T7
Lógica Modal 13
Sistemas S4 e S5
O sistema T contém teses praticamente
consensuais.
A seguinte fórmula não é tese em T e
sua validade é controversa:
Lp ⊃ LLp
(o que é necessário é necessariamente necessário?)
Se a aceitarmos, estaremos aceitando também:
Lp ≡ LLp
Uma tese deste tipo é chamada de lei de redução pois estabelece a equivalência entre uma
sequência de operadores modais e outra sequência menor.
Lógica Modal 14
Apenas algumas leis de redução são plausíveis
de modo a preservar a interpretação intuitiva
atribuída aos operadores L e M:
R1: Mp ≡ LMp
R2: Lp ≡ MLp
R3: Mp ≡ MMp
R4: Lp ≡ LLp
Nenhuma destas é tese em T, mas todas tem uma
implicação unilateral que é tese em T:
LMp ⊃ Mp
Lp ⊃ MLp
Mp ⊃ MMp
LLp ⊃ Lp
Portanto para ampliarmos o sistema T basta
acrescentar:
R1a: Mp ⊃ LMp
R2a: MLp ⊃ Lp
R3a: MMp ⊃ Mp
R4a: Lp ⊃ LLp
Lógica Modal 15
Contudo, tem-se ainda que:
R1a
R2a
e
R3a
R4a
Portanto, os candidatos a novos axiomas são
p. ex. R1a e R4a. Mas:
R1a
R4a
embora a recíproca não
seja verdadeira
(
)
Concluímos que:
a) Se admitirmos R1a como axioma, teremos
como teses todas as leis de redução R1 a R4;
b) Se admitirmos R4a como axioma, teremos
algumas das leis de redução.
0bs.: A questão pode ser resumida como: uma proposição
com característica modal tem esta característica necessariamente?
Sistema S4: construído acrescentando-se R4a;
Sistema S5: construído acrescentando-se R1a.
É óbvio que:
T ⊂ S4 ⊂ S5
Lógica Modal 16
Sistema S4: O mesmo que T, exceto pelo
acréscimo do axioma:
A7: Lp ⊃ LLp
Teses:
T18: MMP ⊃ Mp
T19: Lp ≡ LLp
T20: Mp ≡ MMp
T21: MLMp ⊃ Mp
T22: LMp ⊃ LMLMp
T23: LMp ≡ LMLMp
T24: MLp ≡ MLMLp
Modalidades em S4: Uma modalidade é uma
sequência unicamente composta de operadores
unários (~, L, M), com zero ou mais termos.
(caso zero representado por -)
Forma padrão: Usando LMI, transformaremos qualquer modalidade em outra sem nenhuma negação ou com apenas uma negação
no começo.
Lógica Modal 17
Modalidade Iterada: É a modalidade que contém dois ou mais operadores modais.
Modalidades Equivalentes: Ae B são modalidades equivalentes num dado sistema se e somente se o resultado da substituição de A por B
ou vice-versa é uma fórmula equivalente á anterior.
Se A e B são modalidades equivalentes (num
sistema) e A contém menos operadores que B
então B é redutível a A (no sistema).
Resultado: Em S4 toda modalidade é equivalente a alguma das seguintes modalidades (ou
às suas negações):
-; L; M; LM; ML; LML; MLM
Prova: usando-se os teoremas de S4.
Existem portanto no máximo 14 modalidades
em S4 (falta provar que são distintas).
Lógica Modal 18
Relações de implicação (em S4):
Lp
LMLp
p
LMp
MLp
MLMp
Mp
É possível a obtenção de interpretações (modelos) para as quais as recíprocas das implicações acima não se verificam. Desta maneira,
fica provado que as 14 modalidades de S4 são
distintas
Em T, devido à total ausência de leis de redução,
o número de modalidades distintas é infinito.
Lógica Modal 19
Sistema S5: O mesmo que T, exceto pelo
acréscimo do axioma:
A8: Mp ⊃ LMp
Teses:
T25: MLp ⊃ Lp
T26: Mp ≡ LMp
T27: Lp ≡ MLp
O axioma A7 de S4 pode ser provado como
tese de S5
Modalidades em S5: As quatro leis de redução são teses de S5:
Mp ≡ LMp
Mp ≡ MMp
Lp ≡ MLp
Lp ≡ LLp
Como consequência, em S5 existem no máximo seis modalidades distintas:
-; L; M (e suas negações)
Lógica Modal 20
Validade em T, S4 e S5
Jogo para o cálculo proposicional:
•Cada jogador tem uma folha com um conjunto de letras sentenciais
•Uma fórmula só é chamada se suas “partes
constituintes” tiverem sido chamadas.
• ~α é escrita numa folha se e somente se
a fórmula α não estiver nesta folha.
• (α ∨ β) é escrita numa folha se e somente se
α ou β estiverem nesta folha.
Uma fórmula é dita bem sucedida numa folha
se ela aparece naquela folha.
Uma fórmula é dita bem sucedida no cálculo
proposicional se ela aparece em qualquer folha.
Tautologias = fórmulas bem sucedidas no cálLógica Modal 21
culo proposicional
Jogo para T
• Idêntico ao anterior, com alguns acréscimos
•Alguns jogadores “verão” outros, segundo um
arranjo pré-determinado (todo jogador vê a si
próprio, relação reflexiva)
•Lα é escrita numa folha se α estiver em todas
as folhas visíveis a partir daquela folha.
•Mα é escrita numa folha se α estiver em pelo
menos uma folha visível a partir daquela folha.
Uma fórmula é dita bem sucedida numa folha
se ela aparece naquela folha.
Uma fórmula é dita bem sucedida em T se ela
aparece em qualquer folha, qualquer que seja
o arranjo.
Por definição, uma fórmula é válida em T se
ela é bem sucedida em T.
Lógica Modal 22
Jogo para S4: Impõe-se que a relações entre as folhas sejam reflexivas e transitivas
(todo o resto é idêntico ao sistema T)
Jogo para S5: Impõe-se que a relações entre as folhas sejam reflexivas, transitivas e
simétricas (portanto uma relação de equivalência).
(todo o resto é idêntico aos sistemas T e S4)
Alguns meta-teoremas:
1) Toda tese de T é T-válida e vice-versa
2) Toda tese de S4 é S4-válida e vice-versa
3) Toda tese de S5 é S5-válida e vice-versa
4) T, S4 e S5 são sistemas distintos
Lógica Modal 23
Definição formal de validade
Um modelo para T é definido como uma tripla
ordenada <W, R, V> onde W é um conjunto de
objetos, R é uma relação diádica reflexiva entre
elementos de W e V é uma atribuição de valoresverdade satisfazendo as seguintes condições:
1) Para qualquer variável proposicional pj e para
qualquer wi ∈ W: ou V(pj,wi) = 1 ou V(pj,wi) = 0
2) Para toda fórmula α e para qualquer wi ∈ W:
V(~α, wi) = 1 se V(α, wi) = 0
V(~α, wi) = 0 se V(α, wi) = 1
3) Para quaisquer fórmulas α e β e para qualquer
wi ∈ W:
1 se V(α, wi)=1 ou V(β, wi)=1
V((α ∨ β), wi) =
0 em caso contrário
{
4) Para toda fórmula α e para qualquer wi ∈ W:
V(Lα, wi) = 1 se ∀wj ∈ W tal que wiRwj: V(α,wj)=1
V(Lα, wi) = 0 em caso contrário
Lógica Modal 24
Uma fórmula α é T-válida se e somente se
para qualquer modelo para T: <W, R, V>
e para todo wi ∈ W, V(α, wi) = 1
Modelo para S4: Idêntica à definição de
modelo para T, com a restrição adicional
de que a relação R seja também transitiva
Modelo para S5: Idêntica à definição de
modelo para T, com as restrições adicionais
de que a relação R seja também transitiva e
reflexiva
S4-validade e S5-validade são definidas de
maneira idêntica a T-validade, substituindo-se
“modelo para T” respectivamente por “modelo
para S4” e “modelo para S5”
Lógica Modal 25
≅⊃⋅≅⊃⋅≡∨
Lógica Modal 26