Algumas propriedades formais da lógica proposicional para muitos

Algumas propriedades formais da lógica proposicional para muitos
João Fernando Montanher, Hércules de Araujo Feitosa
Campus de Bauru – Faculdade de Ciências – Licenciatura em Matemática –
[email protected] – PIBIC/CNPq
Palavras Chave: lógica proposicional para muitos, propriedades formais.
Introdução
Neste trabalho, estudamos a lógica proposicional para “muitos”, denotada por L(▲), introduzida
por Feitosa, Grácio e Nascimento (2009). Esta lógica estende a lógica proposicional clássica através
da introdução do operador ▲ na linguagem da lógica clássica L.
O objetivo principal é verificar a validade de
algumas propriedades formais para esta lógica.
Material e Métodos
O desenvolvimento do trabalho foi possível através de reuniões com o orientador e estudo dos
referenciais teóricos.
Resultados e Discussão
Definição 1: A lógica proposicional para muitos
L(▲), além das tautologias clássicas, possui três
novos axiomas e uma regra de inferência:
(Ax 1) ▲(A ∧ B) → ▲A
(Ax 2) ▲A → A
(Ax 3) ▲(A∨¬A)
(R▲) A ↔ B / ▲A ↔ ▲B.
Os axiomas e a regra de inferência podem ser
entendidos da seguinte maneira:
(Ax 0) Se A e B possuem muitas evidências, então A
possui muitas evidências;
(Ax 1) Se A possui muitas evidências, então não é
uma contradição;
(Ax 2) As tautologias possuem muitas evidências;
(R▲) Se A e B são equivalentes, então ▲A e ▲B
também são equivalentes.
Proposição 2: A lógica L(▲) é consistente.
Demonstração: Ver Feitosa, Grácio e Nascimento
(2009).
Definição 3: Uma lógica L é Halldén completa se
para todas as fórmulas de A e B que não contém
variáveis em comum vale:
A ∨ B ∈ L ⇔ A ∈ L ou B ∈ L.
Proposição 4: A lógica proposicional para muitos é
Halldén completa.
XXIV Congresso de Iniciação Científica
Definição 5: Uma lógica L tem a propriedade da
disjunção se para todas as fórmulas A e B:
A ∨ B ∈ L ⇔ A ∈ L ou B ∈ L.
Proposição 6: A lógica L(▲) não apresenta a propriedade da disjunção.
Definição 7: Seja L uma lógica modal e ▲ um
operador modal de L. Dizemos que L tem a propriedade de disjunção modal se para todas as fórmulas
A1, A2 , ..., An de L:
▲A1 ∨ ▲A2 ∨ ... ∨ ▲An ∈ L ⇔ Ai ∈ L, para algum i
∈ {1, 2, ..., n}.
Proposição 8: A lógica L(▲) tem a propriedade de
disjunção modal.
Conclusões
Com estes resultados pudemos compreender
um pouco melhor a lógica proposicional para muitos
dentro da família de lógicas modais, entender os
seus modelos algébricos e refletir sobre outras propriedades formais, na interação com este sistema
lógico formal. O trabalho trás como novidade a
aplicação ou não dessas propriedades à L(▲).
Agradecimentos
Agradecemos ao PIBIC/ CNPq.
____________________
1
Chagrov, A.; Zakharyaschev, M. Modal logic. Oxford: Clarendon Press,
1997.
2
Feitosa, H. A.; Paulovich, L. Um prelúdio à lógica. São Paulo: Editora
UNESP, 2005.
3
Feitosa, H. A.; Grácio, M. C. C.; Nascimento, M. C. Algebraic elements
for the notion of 'many', 2009.
4
Grácio, M. C. C. Lógicas moduladas e raciocínio sob incerteza. Tese
de Doutorado (Doutorado em Lógica e Filosofia da Ciência) – Instituto de
Filosofia e Ciências Humanas, Universidade Estadual de Campinas,
Campinas, 1999.