Gabarito 2013/1 - ppgfsc

Gabarito da Prova do Processo Seletivo para ingresso no Programa de Pós-graduação
em Física/UFSC – 2013/1
1A)A característica fundamental das máquinas Otto é a de na admissão (1o tempo)
aspirar uma mistura gasosa de ar e combustível (gasolina, álcool, gás ou outro
combustível). Depois que o cilindro está cheio com esta mistura, a válvula de admissão,
que estava aberta durante o 1o tempo, fecha-se; então a mistura de ar e combustível
sofre a compressão rápida (2o tempo). A seguir uma centelha elétrica na vela de ignição
deflagra a explosão e, consequentemente, a expansão rápida (3o tempo) da mistura
gasosa. Finalmente a válvula de escape abre-se, ocorrendo simultaneamente a descarga
da mistura gasosa para a atmosfera e a exaustão do restante dos gases queimados (4o
tempo). Suponha que um motor opera seguindo o ciclo de Otto com taxa de compressão
igual a 4 (quatro) e tendo um gás ideal monoatômico como substância de trabalho,
calcule a eficiência do ciclo e assinale a resposta correta para seu valor numérico:
a) 100,0%
b) 47,5%
c) 90,1%
d) 60,3%
e) 53,6%.
Resolução:
Desenhar o diagrama p-V, tem que saber que um processo
rápido implica em processo adiabático (pV= TV-1=cte; para gás ideal) ou lembrar do
ciclo de Otto. No diagrama é legal assinalar onde entra e onde sai o calor, os quais
servem pra calcular a eficiência da máquina (e=1- Qsai/Qentra).
Saber que pra um gás ideal vale pV=nRT e que no caso dele ser monoatômico, cv = 3/2
nR; portanto cp = cv+R ; e  = cp/cv = 5/3 = 1,67
Qsai=n cv(Td-Tc);
Qentra=n cv(Tb-Ta)
TaVa-1= TdVd-1;
TcVc-1= TbVb-1;
Onde r é a taxa de compressão = 4
e=1- Qsai/Qentra= 1 – 1/r-1
Va= rVd;
Va= Vb;
Vc= Vd
1B) É possível remover energia da água na forma de calor na temperatura de
congelamento (0,0 oC à pressão atmosférica) ou mesmo abaixo da dessa temperatura
sem que a água congele; quando isso ocorre, dizemos que a água está super-resfriada.
Suponha que uma gota d’água de 1,00 g seja super-resfriada até que a sua temperatura
seja a mesma que a do ar nas vizinhanças, -5,00 oC. Em seguida, a gota congela
bruscamente, transferindo energia para o ar na forma de calor. Calcule a variação da
entropia da gota, justificando a abordagem matemática adotada quanto a
irreversibilidade do processo, e assinale a resposta correspondente ao valor da variação
da entropia da gota. Os calores específico e de fusão do gelo são 2220 J/kg.K e 333 J/g,
respectivamente.
a) -1,21 J/K
b) -1,18 J/K
c) 1,21 J/K
d) 0,12 kJ/K
e) -1,81 J/K
Resolução:
2A)Um acrobata se solta de um dos trapézios
e realiza um salto quádruplo durante o vôo
em direção a seu parceiro no outro trapézio
em 2,50 s. Durante o primeiro e o último
quarto de volta o acrobata fica com o corpo
esticado, implicando em um momento de
inércia I1 = 19,9 kg.m2 ao redor do seu centro
de massa. Durante o restante do vôo ele
permanece encolhido, implicando em um
momento de inércia I2 = 3,93 kg.m2. Calcule
a velocidade angular inicial que o acrobata
deve ter para que possa realizar o salto quádruplo com segurança e assinale a alternativa
correta para o valor numérico dessa grandeza.
a)
b)
c)
d)
e)
3,23 rev/s
0,32 rev/s
1,26 rad/s
6,28 rot/s
16,12 rev/s
Resolução:
Na correção considerei apenas o desenvolvimento matemático, pois com o tempo
dado no enunciado conduz ao resultado 2,76 rev/s. A alternativa (a) continua sendo a
mais próxima da correta.
2B) Um disco uniforme de raio R e massa M está girando com uma velocidade angular
o. Ele é colocado sobre uma superfície horizontal; o coeficiente de atrito cinético é µc.
Encontre o torque promovido pelo atrito sobre o disco e o tempo necessário para que o
disco atinja o repouso, justifique seus cálculos e assinale a resposta correta abaixo.
a)
b)
c)
d)
e)
Torque=(3/2)µcMgR; tempo=(4/3)oR/g
Torque =(1/3)µcMgR; tempo =(3/4)oR/g
Torque =(2/3)µcMgR; tempo =(3/4)oR/µcg
Torque =(2/3)MgR; tempo = oR/µcg
Torque =(1/2)MgR; tempo =(1/4)oR/g
Resolução:
M
R
R
 r3 
2
 atrito   rc dFg  c  rdmg  c  rg 2rHdr  2 c gH     c R 2 H gR
 3 0 3
0
0
  i
o
MR 2o
MR 2o
3Ro
t  f
; atrito  I ; t 



 atrito
2

2 atrito
2 c MgR 4 c g
I
3
3A) Um cilindro sólido de massa M está ligado a uma mola horizontal, sem massa e
constante de mola k de 2,94 N/cm, de forma que ele possa rolar sem deslizamento sobre
uma superfície horizontal. Se o sistema for liberado de uma posição de
repouso em que a mola esteja distendida de 23,9 cm o centro de massa
do cilindro executa um movimento harmônico simples. Determine uma
expressão para o período desse movimento em termos de M e k; e
calcule a energia cinética translacional do cilindro quando ele passa pela posição de
equilíbrio. Após apresentar seus desenvolvimentos matemáticos assinale a alternativa
correta para as perguntas desse problema.
a)
b)
c)
d)
e)
Período=2(3M/2k)^1/2 ; 2,8 J
Período=2(M/2k)^1/2 ; 5,6 J
Período=2(3M/2k)^1/2 ; 56 mJ
Período=2(3M/k)^1/2 ; 0,6 J
Período=2(3M/k)^1/2 ; 5,6 mJ
Resolução:
1 2 1
N
kx m  2,94 (0,239m ) 2  0,167 J
2
2
m
a energia mecanica total disponível é
pedido
no
enunciado
a
quantidade
1 2 31 2  1
kxm   mvcm   0,167 J
2
22
 2
que
aparece
entre
foi
parenteses
, que é igual a 1/3 dos 0,1679 J totais, ou seja
56mJ. Na correção foram consideradas todas respostas que
Aqui também houve um problema com a unidade da constante de mola, que deveria ser 2,94
N/m e não N/cm, como apareceu no enunciado. Na correção considerei certas as alternativas
(a) e (c). Como nas outras questões, considerei todos desenvolvimentos feitos corretamente,
mesmo que o candidato tenha optado pela alternativa errada.
3B) Considere que você está examinando as características do sistema de suspensão de
um carro de 2000 kg. A suspensão “cede” 10 cm, quando o peso do carro inteiro é
colocado sobre ela. Além disso, a amplitude da oscilação diminui 50 % durante uma
oscilação completa. Estime valor da constante de amortecimento para o sistema de
suspensão de uma única roda, considerando que cada uma suporta 500 kg, e assinale a
resposta correta.
a)
b)
c)
d)
e)
1100 g/s
2300 kg/s
1100 (=1086) kg/s
510 kg/s
4400 kg/s
Resolução:
4A) Um longo solenóide com núcleo de ar de raio R tem n espiras por unidade de
comprimento, onde circula uma corrente dependente do tempo i (t )  I Max cos(t ) , onde
Imax é a corrente máxima e é a freqüência angular da fonte de corrente. Assinale a
opção que indique a expressão da intensidade do campo elétrico do lado de fora do
solenóide para uma distância r>R, medida em algum ponto sobre o circulo de raio r.
cálculos.
A (*) E (r ) 
R2
n 0I o sin(t )
2r
B ( ) E (r ) 
r
n 0I o sin(t )
2
C( )
E (r ) 
R2
n 0I o cos(t )
2r
D( )
E (r ) 
r2
n 0I o sin(t )
2R
E ( ) nenhuma das respostas anteriores.
Resolução:
 
d
2 dB (t )
E
  dl   dt , E (r )2r  R dt , B(t )   0 ni(t )
E (r )  
R 2 0 n
R2
di(t )
0n
, E (r ) 
sin t
2r
dt
2r
4B) Um campo magnético orientado para dentro da página varia segundo
B(t )  B0 sin(t ) . A região do campo tem seção transversal circular com raio R.
Assinale a resposta que identifique o valor do campo elétrico definidos nos ponto P1 e
P2 respectivamente
A) ( * ) E ( r1 )  
r1
R2
Bo cos(t ),
Bo cos(t ), E (r2 )  
2
2r2
B) ( ) E (r1 )   r1 Bo cos(t ), E (r2 )  r2 Bo cos(t ),
C) ( ) E (r1 )  
R2
r
Bo cos(t ), E (r2 )   2 Bo cos(t ),
2r1
2
D) ( ) E ( r1 )  
r1
r
Bo cos(t ), E ( r2 )   2 Bo cos(t ),
2
2
E) ( ) Nenhuma das respostas anteriores
Resolução:


d  
dB (t ) dB(t )
B  ds , E ( r1 )2r1  r 2
,
  B0 sin(t ) ,

dt
dt
dt
 E  dl

E ( r1 ) 
B0r1
sin(t ) ,
2
E ( r2 ) 2r2  R 2
E (r2 )  
dB (t )
,
dt
B0R 2
sin(t )
2r2
 0 ab
são
d
ligadas a uma fonte de tensão garantindo que as placas tenham uma diferença de
potencial constante V. Um dielétrico de constante dielétrica k é então introduzido na
lateral esquerda como mostrado na figura. Desconsidere forças de atrito mecânico do
conjunto.
5A) As placas de um capacitor de placas paralelas com capacitância C 0 
Marque a opção que indique a força resultante sobre o dielétrico nesta condição.

1
2
a ( ) F   C 0V 2

b ( *) F 

c( ) F 
k 1 
i
a
1
k 1 
C 0V 2
i
2
a

1
(k  1)a
C 0V 2
i
2
((k  1) x  a ) 2
d()
 1

ka
F  C 0V 2
i
2
2
(kx  a )
e()


1
ka
F   C 0V 2
i
2
2
(kx  a )
Resolução:
O capacitor equivalente quando se introduz o dielétrico nas placas de capacitância C0 :
C eq  C1  C 2 
k 0 xb k 0 (a  x)b ba 0 x
x



( (k  1)  1)  C 0  (k  1)  1
d
d
d a
a

A energia armazenada no capacitor equivalente
U
1
1
x

x

C eqV 2  C 0V 2  (k  1)  1  U 0  (k  1)  1
2
2
a

a

A energia armazenada no capacitor aumenta a medida que avança entre as placas do
capacitor, as custas da energia fornecida pela bateria.
A energia potencial elétrica aumenta por duas razões:
1.
2.
Enquanto aumenta a capacitância a carga também aumenta uma vez que o
potencial é mantido constante, a bateria realiza um trabalho o que faz
aumentar a energia do sistema.
O dielétrico experimenta uma polarização adicional

dU
Logo FE 
dx
V
 k  1 
 U 0 
i,
 a 
é positiva enquanto 0< x<a e negativa enquanto a< x<2a ou seja, a força tende a
empurrar o dielétrico para dentro das placas.
5B) Um capacitor de placas paralelas é inicialmente carregado com uma carga Q em
uma fonte de tensão e em seguida é desconectado dela. Uma placa dielétrica é
introduzida até a metade das placas (x=a/2) e então é liberada. Desconsidere efeitos
de força de atrito entre as placas e o dielétrico.
Indique o item que lista as afirmações verdadeiras, justificando.
1) A partir do instante que o dielétrico é liberado este é puxado para dentro das placas
e a energia elétrica armazenada no capacitor diminui. A força tem sentido positivo de x
e tende a diminuir até chegar a zero. Quando x=a a energia potencial apresenta um
mínimo.
2)A energia armazenada aumenta a medida que o dielétrico entra, sendo máximo
quando x=a. A força tende a aumentar expulsando o dielétrico para fora da região de
campo elétrico.
3) O dielétrico ao ser liberado apresenta o comportamento de oscilador harmônico. A
capacitância equivalente tem um máximo quando x=a, e o potencial entre as placas
aumenta a medida que este penetra em seu interior.
4) O dielétrico apresenta um movimento oscilante. O potencial elétrico diminui a
medida que o dielétrico entra no interior do capacitor.
A (*) 1, 4
B ( ) 1, 2
C ( ) 2, 4
D ( ) 3, 4
E ( ) 1, 3
Resolução:
A capacitância equivalente em função da posição do dielétrico dentro das placas do
capacitor:
Ceq  C1  C2 
k 0 xb k 0 (a  x)b ba 0 x
x



( (k  1)  1)  C0  (k  1)  1
d
d
d a
a

A capacitância aumenta a medida que o dielétrico entra nas placas tendo o valor
máximo quando x=a.
UE 
1 Q2

2 C
Q2
x

2C0  ( k  1)  1
a

 U0
a
,
x( k  1)  a
a energia potencial elétrica diminui a medida que o dielétrico entra para dentro das
placas
A força elétrica
F 
dU
dx
 U0
Q
(k  1)a
(k  1) x  a2
, a força elétrica tem sentido de evitar o aumento de
energia do conjunto. Logo a tendência é que o dielétrico entre para dentro das placas.
Como a placa ganha energia cinética o sistema se comporta como um oscilador.
Entretanto não é um oscilador harmônico pois a força não é linear com x.
O potencial elétrico é calculado a partir da capacitância:
V
Q

C
Q
x

C0  (k  1)  1
a


Q
a
C0 x(k  1)  a
Logo o potencial diminui a medida que o dielétrico entra nas placas.
6A) Uma corrente i circula no circuito da figura com sentido indicado pela seta.
Marque a opção que indique a magnitude e direção do campo magnético no ponto P.

i
A ( ) B( p)  0
6
a  b 
 ba  k

i
B ( ) B( p)  0
6
 ba  
 b  a  k

i  b  a  
C ( * ) B( p )  0 
k
12  ba 

i  b  
D ( ) B( p)  0   k
12  a 

i  b  
E ( ) B( p)  0   k
4  a 
Resolução:


 i
i  
dB  0 2 ds  r , dB  0 2 dsk
4r
4r
s1
s2


i0  1
1
60
60
B( p) 
, s2  a
 2  ds  2  ds  k , s1  b
180
4  b 0
a 0 
180

i
B( p)  0
4
  
i0
 


 3b 3a  k , B( p )  12

i  b  a  
B( p)  0 
k
12  ba 
 1 1
 b  a  k
6B) A figura representa a sessão transversal de um cabo coaxial longo, com um
condutor externo de raio externo c e raio interno b, separado do condutor central de
raio a, por um material isolante. Em uma particular aplicação uma corrente i1 sai para
fora do plano da página pelo condutor central e uma corrente i2 entra pelo condutor
mais externo.
Marque a opção que represente o campo magnético para r<a, c<r<b e r>c
respectivamente, justificando a escolha
a
i1
b
xi
c
2
A ( ) B(r ) 
B ( ) B( r ) 
0i1
  r 2  b2 

, B (r )  0 i2 2
, B( r )  0 i1  i2 
2
2r
2r
2r  c  b 
0i1

  r 2  b2 
, B (r )  0 i2 2
, B ( r )   0 i2 
2
2r
2r
2r  c  b 
C (*) B ( r )  0i1
r
 
r 2  b2 

, B ( r )  0 i1  i2 2
, B( r )  0 i1  i2 
2
2
2a
2r
2r 
c b 
D ( ) B ( r )  0i1
r
r
0 
r 2  b2 
,
, B (r )  0 2 i2  i1 
B
(
r
)

i

i
1
2 2
2a 2
2c
2r 
c  b 2 
E ( ) Nenhuma das respostas anteriores
Resolução:


 B  dl   i
0 env
a) r<a,
B(r )2r  0i1
r2
r
, B ( r )  0i1
2
a
2a 2
b) c>r>b
 r 2  b2 
0 
r 2  b2 
,
B ( r ) 2r  0i1   0i2  2
B
(
r
)

i

i
1
2 2
2
2r 
c  b 2 
c  b 
c) r>c
, B( r ) 
0
i1  i2 
2r
7A) Calcule os valores esperados de (
seguir: 100 , 310 , 322 , 32-2 .
A) 0; 0; 2ℏ ; 2ℏ
B) 0; 2ℏ ; 10ℏ ; 10ℏ
C) ℏ ; 2ℏ ; 10ℏ ; 2ℏ
D) 0; 2ℏ ; 2ℏ ; 2ℏ
E) Nenhuma das anteriores
2
x
+
2
y )
para os autoestados do átomo de H a
Resolução:
Letra D. O momento angular total é dado por
= + +
. A quantização do
momento angular porém está expressa em seu módulo e na componente z ( =
( + 1)ℏ ; = ℏ ), podemos portanto escrever os valores esperados solicitados
em função destes e calculando para cada Ψ
.
7B) A função de onda Ψ =
+
√
√
+
√
, representa um estado que é uma
combinação linear dos três autoestados ortonormais do operador Ô. O valor esperado
do operador Ô calculado para os autoestados nos dá os autovalores -1, 1 e 2 conforme
indicado em cada autoestado. Qual o valor esperado de Ô para o estado Ψ?
A) 1
B)
√
C)
√
√
√
√
√
D) zero
E) Nenhuma das anteriores
Resolução:
Letra A. Os estados são ortogonais e normalizados e
,
são autoestados do
operador Ô com autovalores -1, 1 e 2, portanto ao calcular o valor esperado da função
de onda teremos:
<Ψ
1
Ψ >= <
>+ <
>+ <
>= − + + =
8A) Em um experimento de retro espalhamento de Rutherford com partículas alfa
(massa 4u), o feixe de velocidade v (não relativístico) impacta uma superfície de um
certo material e realiza uma colisão elástica com um átomo na primeira monocamada,
sendo espalhado no sentido oposto ao original e com velocidade 0,6v. Que tipo de
átomos compõe esta superfície?
A)
B)
C)
D)
E)
Hidrogênio (massa 1 u)
Hélio (massa 4u)
Carbono (massa 12u)
Oxigênio (massa 16 u)
Silício (massa 28 u)
Resolução:
Letra D. Em uma colisão elástica temos conservação de momentum linear e energia
cinética. Analisando a conservação das duas quantidades antes e depois da colisão e
usando a massa e velocidade dados para a partícula incidente em uma colisão frontal
com o átomo alvo (espalhamento à 180O) encontramos 16u para o átomo alvo.
8B) Considere uma partícula sujeita a um potencial tipo oscilador harmônico simples
unidimensional com energia potencial ( ) =
/2. Caso este potencial seja
alterado, adicionando uma parede impenetrável fazendo com que a partícula nunca
seja encontrada em coordenadas com valores negativos de x, mostre quais serão os
níveis de energia acessíveis a essa partícula.
A) 0; ℏ ; ℏ ; ...
B)
ℏ ; ℏ ;
ℏ ; ...
C)
ℏ ; ℏ ; ℏ ; ...
D) 0; ℏ ; 3ℏ ; ...
E) Nenhuma das anteriores
Resolução:
Letra B. O oscilador harmônico simples quântico tem autovalores dados por
=
+
ℏ ;
= 0,1,2,3 … Como a parede é impenetrável a função de onda
deve se anular em x=0 e para valores negativos de x. Isto elimina todos os autovalores
correspondentes a funções de onda não nulas em x=0, restando somente as funções
de onda de paridade ímpar.
9A) Qual a velocidade com que um disco circular deveria viajar para que parecesse
elíptico com uma razão entre seu semi-eixos maior e menor igual a dois? Como estaria
orientada a elipse?
A.
B.
C.
D.
; com o semieixo maior orientado na direção paralela ao movimento.
√
; com o semieixo maior orientado na direção paralela ao movimento.
; com o semieixo menor orientado na direção perpendicular ao movimento.
; com o semieixo menor orientado na direção perpendicular ao movimento.
E. Nenhuma das anteriores.
Resolução:
Letra E. A contração do espaço na direção do movimento é dada por =
1−
,
onde l0 é o comprimento próprio. Assim sendo, o circulo sofrerá um achatamento na
direção do movimento e portanto, seu semieixo maior estará orientado na direção
perpendicular ao movimento. Sendo a o comprimento próprio (diâmetro do círculo),
para uma razão a/b = 2 na expressão acima obtemos
=
√
.
9B) Depois de ser produzida em um processo de colisão em um acelerador uma
partícula instável deve se deslocar por uma distância de 2,0 km até atingir o detector.
Com que velocidade essa partícula deve se deslocar para ser detectada antes de decair?
Considere uma vida-média de 2,6x10 -6 s em relação ao seu próprio sistema de
referência.
A.0,67c
B. 0,70c
C. 0,90c
D. 0,93c
E. Nenhuma das anteriores.
Resolução:
Letra D. A vida-média da partícula em seu próprio sistema de referência é o seu tempo
próprio (∆ ). Em relação ao detector, a partícula deverá viajar durante um tempo
∆ = / para ser detectada antes de decair. Levando em conta a relação entre o tempo
observado no referencial do detector e o tempo próprio ∆
u=0,93c.
=∆
1−
, obtemos
10A) Responda se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). Você deve
escrever uma pequena justificativa para cada item. Itens sem justificativa serão
desconsiderados.
(
F
) O modelo de Bohr para o átomo não explicava o espalhamento de partículas alfa, numa
experiência realizada por Rutherford
Resolução: O modelo de Bohr foi concebido após o experimento de Rutherford e
contemplando seus resultados de espalhamento de partículas alfa além de quantizar o
momento angular e as órbitas dos elétrons.
(
F
) A solução da equação de Schroedinger para o átomo de hidrogênio leva em conta os
números quânticos de spin automaticamente, por meio da matrizes de Pauli.
Resolução: A equação de Schrödinger não leva em conta o spin de forma automática. Isto só
for feito posteriormente por Dirac.
(
F
) As partículas mais fundamentais da natureza podem ser classificadas como bósons ou
férmions, sendo os férmions os quanta trocados por todas as interações fundamentais.
Resolução: Os quanta trocados são sempre bósons, já que não podem estar limitados pelo
princípio de Pauli.
(
F
) O sal de cozinha (NaCl) e o diamante apresentam estrutura cristalina, sendo sólidos
iônicos.
Resolução: Ambos apresentam estrutura cristalina, porém o diamante é formado somente
por carbono e não poderia fazer uma ligação iônica. O diamante apresenta ligação covalente
entre os átomos.
10B) Responda se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). Você deve
escrever uma pequena justificativa para cada item. Itens sem justificativa serão
desconsiderados.
( F ) Uma transição eletrônica entre os níveis 6s e 1s em um átomo de hidrogênio não
é observada experimentalmente pois nesta transição não haveria conservação de
energia.
Resolução: Esta transição é proibida através de oscilações tipo dipolo elétrico, o que é
visto através das regras de seleção.
( F ) Um átomo de positrônio – composto por um pósitron e um elétron – pode ser
descrito de maneira similar ao átomo de hidrogênio, mantendo inalterados os valores
dos níveis de energia dos orbitais.
Resolução: Um átomo de positrônio tem solução similar ao hidrogênio porém os níveis
de energia são alterados devido à massa muito menor do pósitron em comparação ao
próton. Isto altera a constante de Rydberg por um fator ½.
( V ) De acordo com o Modelo Padrão da física de partículas, todos os léptons são
considerados partículas fundamentais.
Resolução: No modelo padrão estão incluídos os quarks, léptons e bósons mediadores.
( V ) Ao aumentarmos a temperatura, semicondutores e metais apresentam
comportamento oposto nas suas condutividades elétricas.
Resolução: Com o aumento da temperatura os metais diminuem sua condutividade
elétrica devido ao maior espalhamento das funções de onda eletrônicas devido à
agitação dos núcleos, enquanto que nos semicondutores a condutividade elétrica é
aumentada pois mais elétrons conseguem popular a banda de condução aumentando
o número de pares elétron-buraco.