Conjuntos

Conjuntos
Conjunto
é uma colecção de objectos. Os objectos são o elementos do
conjunto.
∅ ou {} - Conjunto vazio
Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, têm os mesmos
elementos.
Conjuntos
Definição por listagem (extensão)
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, ..., 20}
Definição por um predicado (condição)
A cada conjunto A e a cada condição S(x) corresponde um
conjunto B cujos elementos são exactamente os elementos de A
para os quais S(x) acontece.
B = {x|x ∈ A e S(x)} ou B = {x ∈ A|S(x)}
Subconjuntos
Subconjunto
O conjunto A é um subconjunto do conjunto B se todos os
elementos de A forem elementos de B.
A ⊆ B ⇔ ∀x(x ∈ A → x ∈ B)
Todo o conjunto é subconjunto dele próprio
B⊆B
Todos os outros subconjuntos de B são subconjuntos
próprios de B.
A ⊂ B ⇔ A ⊆ B e A 6= B
O vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
∀A(∅ ⊆ A)
Operações entre conjuntos
Intersecção
∩
x ∈ A∩B ⇔x ∈A∧x ∈B
Reunião
∪
x ∈ A∪B ⇔x ∈ A∨x ∈ B
.c
Complementação
Diferença
-
x ∈ Ac ⇔ ¬(x ∈ A)
x ∈ A − B ⇔ x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B)
Dois conjuntos A e B dizem-se disjuntos se A ∩ B = ∅.
Propriedades
A ∪ Ac = E
A ∩ Ac = ∅
Complementação
Exclusão
A∩E = A ; A∪∅ = A
Identidade
A∪E =E ; A∩∅=∅
Absorção
A∪A=A ; A∩A=A
Idempotência
(Ac )c = A
Dupla complementação
A∪B = B ∪A ; A∩B = B ∩A
Comutatividade
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C );
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) Associatividade
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C );
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) Distributividade
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c ; (A ∪ B)c = Ac ∩ B c Leis de De Morgan
Famı́lias de conjuntos
Famı́lia de conjuntos
(Ai )i ∈I = {Ai |i ∈ I } = {A1 , A2 , ..., An }
com I = {1, 2, ..., n} (conjunto de ı́ndices)
Reunião dos conjuntos Ai , i ∈ I
[
Ai
i ∈I
Intersecção dos conjuntos Ai , i ∈ I
\
S
x ∈ i ∈I Ai se e só se xA∈i Ai para algum i ∈ I
i ∈I
x∈
T
i ∈I
Ai se e só se x ∈ Ai para todo o i ∈ I
Cardinal de um conjunto finito
O cardinal de um conjunto finito A ( #A; card(A); |A|) é igual ao
número de elementos do conjunto A.
Sejam A e B conjuntos finitos:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ b|
Sejam A1 , A2 , ..., An conjuntos finitos disjuntos dois a dois:
|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An | = |A1 | + |A2 | + ... + |An |
Conjunto potência
Seja A um conjunto.
O conjunto potência de A (conjunto das partes de A) - ℘(A)
ou 2A - é o conjunto de todos os subconjuntos de A.
Teoremas:
A ⊆ B se e só se ℘(A) ⊆ ℘(B)
℘(A) ∩ ℘(B) = ℘(A ∩ B)
℘(A) ∪ ℘(B) = ℘(A ∪ B)
Se A é um conjunto finito então:
|℘(A)| = 2|A|
Produto cartesiano de conjuntos
Produto Cartesiano
de dois conjuntos A e B é o conjunto A × B cujos elementos são
os pares ordenados (a, b) com a ∈ A e b ∈ B.
A × B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}
Produto cartesiano de n conjuntos:
A1 × A1 × A2 × ... × An = {(a1 , a2 , ..., an )|ai ∈ Ai ∀i = 1, ..., n}
Produto cartesiano de conjuntos
Por definição:
An = A × A × A × ... × A
Se A1 , A1 , A2 , ..., An são conjuntos finitos então
|A1 × A1 × A2 × ... × An | = |A1 | × |A1 | × |A2 | × ... × |An |