Matemática para Ciência de Computadores

Matemática para Ciência de Computadores
1 o Ano - LCC & ERSI
Luı́s Antunes
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DCC-FCUP
Luis Antunes DCC-FCUP
Complexidade 2002/03
1
Teoria de Conjuntos
Um conjunto é uma colecção de objectos/elementos/membros. (Cantor 1895)
• lista de elementos entre chavetas:
S = {a, b, c, d} = {b, c, a, d}
• especificado usando predicados
S = {x : P (x)}
•
S = {1, 2, 3, 4, . . .}
• x é um elemento de S (ou x pertence a S) x ∈ S
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Conjuntos: exemplos
• {1, {1}}.
• R = reais.
• R = naturais = {1, 2, 3, 4, . . .}
• Z = inteiros = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
• Z+ = inteiros positivos.
• {x ∈ R : −2 < x < 5}.
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Subconjuntos
Definição: Um conjunto A é um subconjunto do conjunto B (A ⊆ B) sse
∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B)
O conjunto A é um subconjunto de si mesmo.
Definição: O conjunto vazio, ∅, é o único conjunto que não contém elementos.
(x ∈ ∅ é sempre falso!)
∀x(x ∈ ∅ ⇒ x ∈ B)
logo ∅ é um subconjunto de qualquer conjunto.
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Subconjuntos
Definição: Se A ⊆ B e A 6= B então A é um subconjunto próprio de B A ⊂ B.
Definição: o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto A é chamado o
conjunto das partes de A (P (A)).
Exemplo: Se A = {a, b} então P (A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
Exercı́cios: Seja A = {1, 2, 5, 7}, B = {1, 5} e C = {3, 7}.
(a) B ⊆ A?
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(b) C ⊆ A?
(c) B ⊆ B?
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Cardinalidade
Definição: o número de elementos (distintos!) em A, |A|, é chamado a
cardinalidade de A.
Se a cardinalidade de um conjunto é um número natural (N), então o conjunto é
finito caso contrário é infinito.
Exemplo: Se A = {a, b} então |{a, b}| = 2 e |P (A) = 4.
Nota 1: se |A| = n, então |P (A)| = 2n.
Nota 2: Conjuntos podem ser elementos e subconjuntos de outros conjuntos.
Cuidado com o uso de ∈ e ⊆!
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Produto cartesiano de conjuntos
Definição: o produto cartesiano de o conjunto A com o conjunto B, A × B, é o
conjunto de pares ordenados {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}.
Definição: o produto cartesiano dos conjuntos A1, A2, . . . , An, A1 × A2 × . . . An,
é o conjuntos de todos os ntuplos ordenados
{(a1, a2, . . . , an) : a1 ∈ A1, a2 ∈ A2 . . . an ∈ An}.
Exemplo: Seja A = {a, b} e B = {1, 2, 3}.
A × B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}.
(a) Determine B × A e A × B × A.
(b) Determine |A × B|.
Exercı́cio: Se |A| = m e |B| = n, determine |A × B|.
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Operações sobre conjuntos
O cálculo proposicional e a teoria de conjuntos são ambos instâncias de um
sistema algébrico chamado
Álgebra Booleana.
As operações na teoria de conjuntos são definidas em termos do operador
correspondente no calculo proposicional.
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Igualdade
Definição: Dois conjuntos A e B são iguais, A = B, se e só se
∀x(x ∈ A ⇔ x ∈ B)
ou
A = B se e só se ∀x[(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ A)]
ou
A = B se e só se A ⊆ B e B ⊆ A
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Definições (A e B conjuntos)
1. A união entre A e B, A ∪ B, é o conjunto
{x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
2. A intersecção entre A e B, A ∩ B, é o conjunto
{x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
3. O complemento de A, A (Ac), é o conjunto
{x : x 6∈ A
4. A diferença entre A e B (ou complemento de B relativamente a A), A − B, é
o conjunto A ∩ B.
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Exemplo
Seja U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7, 8}.
Então:
• A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
• A ∩ B = {4, 5}.
• A = {0, 6, 7, 8, 9, 10}.
• A − B = {1, 2, 3}.
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Conjuntos: propriedades
1. Para todo o conjunto A e B; A ∩ B ⊆ A e A ∩ B ⊆ B.
2. Para todo o conjunto A e B; A ⊆ A ∪ B e B ⊆ A ∪ B.
3. Para todo o conjunto A, B e C; se A ⊆ B e B ⊆ C, então A ⊆ C.
4. Para todo o conjunto A e B; A ∪ B = A ∩ B.
5. Para todo o conjunto A e B; A ∩ B = A ∪ B.
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Conjuntos: propriedades
1. Comutatividade: para todo o conjunto A e B; A ∩ B = B ∩ A e A ∪ B = B ∪ A.
2. Associatividade: para todo o conjunto A, B e C; A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C e
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
3. Distributividade: para todo o conjunto A, B e C; A∪(B ∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
e A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
4. Complemento duplo: para todo o conjunto A, A = A.
5. Idempotência: para todo o conjunto A, A ∪ A = A e A ∩ A = A.
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Provas...
Exercı́cio: Mostre que A ∪ B = A ∩ B.
Prova: Vamos mostrar que
∀x(x ∈ A ∪ B) ⇔ x ∈ A ∩ B
Começamos por aplicar a seguinte regra de inferência
Instanciação Universal
Numa prova podemos eliminar o quantificador universal que afecta uma variável
se assumirmos que a variável é um elemento arbitrario do domı́nio. Tratamos o
predicado resultante como uma proposição.
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Provas...
Assumimos
Seja x um elemento arbitrario do domı́nio
x ∈ A ∪ B ⇔ x 6∈ (A ∪ B)
x 6∈ (A ∪ B) ⇔ ¬(x ∈ (A ∪ B))
¬(x ∈ A ∨ x ∈ B))
¬x ∈ A ∧ ¬x ∈ B
x 6∈ A ∧ x 6∈ B
x∈A∧x∈B
x ∈ (A ∩ B)
Def. de Complemento
Def. de 6∈
Def. de união
Leis de DeMorgan
Def. de 6∈
Def. de complemento
Def. de intersecção
Logo
x∈A∪B ⇔x∈A∩B
é uma tautologia
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Provas...
Como
• x é arbitrario
• usamos equivalências lógicas, asserções e definições
podemos aplicar outra regra de inferência chamada
Generalização Universal
Podemos aplicar um quantificador universal para ligar uma variável se mostramos
que o predicado é válido para todas as variáveis no universo.
e afirmar que a asserção é válida para todo o x, i.e.,
∀x(x ∈ A ∪ B) ⇔ x ∈ A ∩ B
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Conjunto vazio
Definição: O conjunto vazio, ∅, é o único conjunto que não contém elementos.
Nota: para provar que um conjunto A é igual ao conjunto vazio, mostre que A
não contém elementos. Para o fazer, suponha que A contém um elemento e
deduza uma contradição.
Teorema: Para todo o conjunto A, A ∩ ∅ = ∅.
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Prova
Seja A um conjunto (fixo, mas genericamente escolhido), para mostrar que
A ∩ ∅ = ∅ basta mostrar que A ∩ ∅ não contém nenhum elemento.
Suponhamos que x ∈ (A ∩ ∅), por definição de intersecção x ∈ A e x ∈ ∅. Em
particular x ∈ ∅, o que é impossı́vel por definição de ∅.
Esta contradição mostra que a hipótese de existir um x ∈ (A ∩ ∅) é falsa. Logo
A ∩ ∅ não contém elementos e A ∩ ∅ = ∅.
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Exercı́cios
• Das seguintes afirmações idenfifique as verdadeiras:
(a) 2 ∈ {1, 2, 3}
(b) {2} ∈ {1, 2, 3}
(c) 2 ⊆ {1, 2, 3}
(d) {2} ⊆ {1, 2, 3} (e) {2} ⊆ {{1}}, {{2}} (f ) {2} ∈ {{1}}, {{2}}
• Mostre que para todo o conjunto A e B, A ∩ B ⊆ A.
• Mostre que para todo o conjunto A e B, A ∪ B = A ∩ B.
• Mostre que para todo o conjunto A,B e C (A ∪ B) − C = (A − C) ∪ (B − C).
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