log dicas e propriedades 378,9 kb

Napier desenvolveu uma ferramenta que transforma o produto em soma e a divisão em uma
subtração, isso é logaritmo.
log 𝑏 𝑎 → 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒 𝑏 = 𝑏𝑎𝑠𝑒
Condições de existência:
𝑎>0
𝑏>0
𝑏≠1
Assim, log 𝑏 𝑎 = 𝑥 ↔ 𝑏 𝑥 = 𝑎
Exemplos:
a) log 2 8 =?
log 2 8 = 𝑥 → 2𝑥 = 8 → 2𝑥 = 23 → 𝑥 = 3
b)3𝑥 = 5 → log 3 5 = 𝑥
Casos particulares:
a) log 7 7 = 1
b) log 42 42 = 1
c) log 7 1 = 0
d) log 35 1 = 0
e) log 100 = 2
f) log 0,001 = −3
Dica: Log na base 10, contamos os zeros para a direita, esse será o resultado, quando os zeros
são para a esquerda o resultado é a quantidade de zeros com sinal negativo.
g) 𝑙𝑛1 = log 𝑒 1 = 0
h) 𝑙𝑛𝑒 = 1
Dicas: Se log 𝑒 1 = 0, podemos dizer que 𝑙𝑛1, ou vice versa. Se 𝑙𝑛𝑒 = log 𝑒 𝑒, sabemos que
quando logaritmando e base são iguais, temos como resultado imediato, 1.
log 𝑒 5 = 𝑙𝑛5 (𝑒 ≅ 2,7)
Propriedades:
a) O logaritmo do produto de dois números é igual a soma de seus logaritmos.
log 𝑐 (𝐴. 𝐵) = log 𝑐 𝐴 + log 𝑐 𝐵
Exemplo:
log 15 = log(3.5) = log 3 + log 5
Se posso ir, posso voltar.
log 4 + log 25 = log(4.25) = log 100 = 2
b) O logaritmo do quociente de dois números é igual a diferença entre seus logaritmos.
𝐴
log 𝑐 ( ) = log 𝑐 𝐴 − log 𝑐 𝐵
𝐵
Exemplo:
7
log 2 ( ) = log 2 7 − log 2 5
5
Se posso ir, posso voltar.
8
log 3 8 − log 3 2 = log 3 ( ) = log 3 4
2
Caso do log de 5:
log 5 = log (
10
)
2
Lembre-se: Não existe log da soma!
log 5 = log (
10
) = log 10 − log 2
2
Aplicando o log do primeiro, menos o log do segundo.
log 5 = log (
10
) = log 10 − log 2 = 1 − log 2
2
c) O logaritmo de um número elevado a um exponente é igual ao expoente vezes o logaritmo
deste número.
log 𝑐 𝐴𝑛 = 𝑛. log 𝑐 𝐴
Exemplo:
log 72 = log 23 . 32 = log 23 + log 32 = 3. log 2 + 2 log 3
5. log 3 2 = log 3 25 = log 3 32
Outros casos:
𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏
Exemplos:
a) 5log5 7 = 7
2
b) 4log2 9 = (22 )log2 9 = 22 log2 9 = 2log2 9 = 2log2 81 = 81
Mudança de base:
log 𝑏 𝐴 =
log 𝑐 𝐴
log 𝑐 𝐵
Exemplos:
1) Se log 2 = 𝑎 e log 3 = 𝑏, calcule log 4 9.
log 4 9 =
log 9 log 32 2. log 3 log 3 𝑏
=
=
=
=
log 4 log 22 2 . log 2 log 2 𝑎
2) Simplifique:
1
1
1
log 2 2 log 3 3 log 4 4
+
+
=
+
+
=
log 2 5 log 3 5 log 4 5 log 2 5 log 3 5 log 4 5
Vamos usar a volta da mudança de base.
= log 5 2 + log 5 3 + log 5 4 = log 5 (2.3.4) = log 5 24
Cologaritmo:
colog𝑏 𝑎 = − log 𝑏 𝑎 = log 𝑏
1
𝑎
Exemplo:
log 3 12 + colog 3 4 = log 3 12 − log 3 4 = log 3 (
12
) = log 3 3 = 1
4
Antilogritmo:
Se 𝐾 = log 𝑏 𝑎, com a>0, b>0 e b≠1 então 𝑎 = antilog 𝑏 𝐾
Exemplo:
Calcule o antilog 3(log 5 25)
antilog 3(log 5 25) = antilog 3 2 = 𝑥 → log 3 𝑥 = 2 → 32 = 𝑥 → 𝑥 = 9