RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA UNICAMP– 2008 – 2a

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA
UNICAMP– 2008 – 2a Fase
Professora Maria Antônia Gouveia.
Instruções:
• Indique claramente as respostas dos itens de cada questão, fornecendo as
unidades, se for o caso.
• Apresente de forma clara e ordenada os passos utilizados na resolução das
questões. Expressões incompreensíveis, bem como respostas não
fundamentadas, não serão aceitas.
• Ao apresentar a resolução das questões, evite textos longos e dê preferência às
fórmulas e expressões matemáticas.
• Não use aproximações para os valores de πou e.
• Toda a resolução das questões deve ser a caneta, não apenas as respostas
numéricas.
QUESTÃO 01.
Em uma estrada de ferro, os dormentes e os trilhos são assentados sobre uma base composta
basicamente por brita. Essa base (ou lastro) tem uma seção trapezoidal, conforme representado na
figura abaixo. A base menor do trapézio, que é isósceles, tem 2m, a base maior tem 2,8m e as
arestas laterais têm 50cm de comprimento.
Supondo que um trecho de 10km de estrada deva ser construído, responda às seguintes questões.
a) Que volume de brita será gasto com o lastro nesse trecho de ferrovia?
b) Se a parte interna da caçamba de um caminhão basculante tem 6m de comprimento, 2,5m de
largura e 0,6m de altura, quantas viagens de caminhão serão necessárias para transportar toda a
brita?
RESOLUÇÃO:
a) Representemos a base sobre a qual estão assentados os trilhos e os dormentes, como um
prisma reto e trapezoidal. O volume do prisma, representado acima, será o volume pedido.
A diferença entre as bases do trapézio isósceles, que representa a base do prisma, é: 2,8m – 2m =
0,8m.
Como o trapézio ABCD é isósceles, BE=
0,8
= 0,4 m.
2
A altura h desse trapézio será calculada aplicando-se o Teorema de Pitágoras ao triângulo
retângulo BCE:
h=
(0,5) 2 − (0,4) 2 =
0,25 − 0,16 =
0,09 = 0,3 m.
O volume do prisma é dado por: V = Sbase×Hprisma.
Como a base do prisma é um trapézio e a sua altura H =10km = 10.000m,
V=
(2 + 2,8 ) × 0,3 × 10000 = 7200m
2
3
.
3
RESPOSTA: O volume de brita a ser utilizado nesse trecho da ferrovia é de 7200m .
b) Considerando que a parte interna da caçamba tenha a forma de um paralelepípedo de 6m ×
3
2,5m × 0,6m, o seu volume é: (6 × 2,5 × 0,6) = 9m .
Então para o caminhão transportar toda a brita dará: 7200 : 9 = 800 viagens.
RESPOSTA: 800 viagens.
QUESTÃO 02
Uma passagem de ônibus de Campinas a São Paulo custa R$17,50. O preço da passagem é
composto por R$12,57 de tarifa, R$0,94 de pedágio, R$3,30 de taxa de embarque e R$0,69 de
seguro. Uma empresa realiza viagens a cada 15 minutos, sendo que o primeiro ônibus sai às 5
horas da manhã e o último, à meia-noite. No período entre o meio-dia e as duas horas da tarde, o
intervalo entre viagens sucessivas é de 30 minutos.
a) Suponha que a empresa realiza todas as viagens previstas no enunciado e que os ônibus
transportam, em média, 36 passageiros por viagem. Qual o valor arrecadado pela empresa, por
dia, nas viagens entre Campinas e São Paulo, desconsiderando as viagens de volta?
b) Se a taxa de embarque aumentar 33,33% e esse aumento for integralmente repassado ao preço
da passagem, qual será o aumento percentual total do preço da passagem?
RESOLUÇÃO:
a) HORÁRIOS DE SAÍDA DOS ÔNIBUS:
HORÁRIOS
A
5:00
5:15
5:30
5:45
6:00
.
.
.
11:30
11:45
12:00
B
12:30 13:00 13:30
C
14:00 14:15 14:30 14:45 15:00 .
.
.
23:30
23:45
24:00
Analisando a linha A da tabela, conclui-se que das 5 horas às 12 horas existem (12 – 5) × 4 + 1 =
29 horários de saída de ônibus.
Analisando a linha B, conclui-se que das 12,5 horas às 13,5 horas existem 3 horários de saída de
ônibus.
Analisando a linha C, conclui-se que das 14 horas às 24 horas existem
(24 – 14) × 4 + 1 = 41 horários de saída de ônibus.
Ao todo são (29 + 3 + 41) = 73 horários.
Como em cada viagem são transportados 36 passageiros, a arrecadação da empresa ao final do
dia é: 73 × 36 × R$ 17,50 = R$ 45. 990, 00
RESPOSTA: R$ 45.990, 00
b) Se o aumento da taxa de embarque: 0,3333 × R$3,30 = R$ 1,09989 ≈ R$ 1,10 for repassado
integralmente para o preço da passagem, então a razão percentual do aumento é:
1,10
= 0,06285... . ≈ 6,28% .
17,50
RESPOSTA:
6,3%
QUESTÃO 03
Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir. Observe que cada figura é formada por um
conjunto de palitos de fósforo.
a) Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras
que seguem a mesma lei de formação. Suponha também que F1, F2 e F3 indiquem,
respectivamente, o número de palitos usados para produzir as figuras 1, 2 e 3, e que o número de
fósforos utilizados para formar a figura n seja Fn. Calcule F10 e escreva a expressão geral de Fn.
b) Determine o número de fósforos necessários para que seja possível exibir concomitantemente
todas as primeiras 50 figuras.
RESOLUÇÃO:
a) F1= 4, F2 = 12 e F3 = 20, F4 = 28, ....
Observando esta seqüência numérica percebemos que ela constitui uma P.A. cujo primeiro termo é
4 e a razão é r = 8.
Então, a expressão geral de Fn é: Fn = F1 + (n – 1). r = 4 + (n – 1).8 = 8n – 4 ⇒
Fn = 8n – 4 e F10 = 80 – 4 = 76
RESPOSTA: O número de palitos da figura F10 é 76 e a expressão geral de Fn é:
Fn = 8n – 4.
b) F50 = 8.50 – 4 = 400 – 4 = 396.
A soma dos n termos de uma P.A. é:
Então, S50 =
Sn =
(a
1
+ a n )n
.
2
(4 + 396 ).50 = 400.25 = 10000 .
2
RESPOSTA: Para que seja possível exibir concomitantemente todas as primeiras 50 figuras são
necessários 10.000 palitos.
QUESTÃO 04
Dois atletas largaram lado a lado em uma corrida disputada em uma pista de atletismo com 400m
de comprimento.
Os dois atletas correram a velocidades constantes, porém diferentes. O atleta mais rápido
completou cada volta em exatos 66 segundos. Depois de correr 17 voltas e meia, o atleta mais
rápido ultrapassou o atleta mais lento pela primeira vez. Com base nesses dados, pergunta-se:
a) Quanto tempo gastou o atleta mais lento para percorrer cada volta?
b) Em quanto tempo o atleta mais rápido completou a prova, que era de 10.000 metros? No
momento em que o atleta mais rápido cruzou a linha de chegada, que distância o atleta mais lento
havia percorrido?
RESPOSTA:
a) Como os dois atletas largaram juntos com velocidades constantes, e a primeira ultrapassagem
aconteceu depois do mais rápido completar 17,5 voltas, então nesse instante o mais lento
completava 16,5 voltas.
Se o atleta mais rápido completa cada volta em 66 segundos, então 17,5 voltas correspondem a
17,5 × 66 s = 1155 s.
Nesse mesmo tempo o mais lento deu 16,5 voltas, ou seja, levou
1155,0
= 70 segundos em
16,5
cada volta.
RESPOSTA: O atleta mais lento percorreu cada volta em 70 segundos.
b) Se a velocidade dos atletas era constante, e o mais rápido percorria 400m a cada 66 segundos,
isso quer dizer que ele percorreu 10.000 metros em
10000 × 66s
= 25 × 66s = 1650s
400
O mais lento, quando o mais rápido cruzou a linha de chegada (ou seja aos 1650 segundos), tinha
percorrido
x
metros,
logo:
x.70s
= 1650s ⇒ 70 x = 400.1650 ⇒ x = 400.23,57143 = 9428,57 m.
400
RESPOSTA: 1.650 segundos e 9.428,57m aproximadamente.
QUESTÃO 05
Durante um torneio paraolímpico de arremesso de peso, um atleta teve seu arremesso filmado.
Com base na gravação, descobriu-se a altura (y) do peso em função de sua distância horizontal
(x), medida em relação ao ponto de lançamento. Alguns valores da distância e da altura são
fornecidos na tabela abaixo. Seja y(x) = ax2 + bx + c a função que descreve a trajetória (parabólica)
do peso.
Distância(m)
Altura(m)
1
2,0
2
2,7
3
3,2
a) Determine os valores de a, b e c.
b) Calcule a distância total alcançada pelo peso nesse arremesso.
RESOLUÇÃO:
2
a) Na função y = ax + bx + c substituindo x e y pelos valores correspondentes da tabela acima:
a + b + c = 2
a + b + c = 2
a + b + c = 2


⇒
4a + 2b + c = 2,7 (L 2 − L1 ) ⇒ 3a + b = 0,7 (L 3 − 2L 2 ) ⇒ 
2a = −0,2 ⇒ a = - 0,1
9a + 3b + c = 3,2 (L − L )
8a + 2b = 1,2

3
1

Substituindo este valor sucessivamente nas equações 3a + b = 0,7 e a + b + c = 2, tem-se: –0,3 +
b = 0,7 ⇒ b = 1 e –0,1 + 1 + c = 2 ⇒ c = 1,1.
RESPOSTA: Os valores de a, b e c são, respectivamente, –0,1; 1 e 1,1.
2
b) Na função y = ax + bx + c substituindo x e y por seus valores numéricos determinado no item
2
anterior: y = –0,1x + x + 1,1.
2
Determine-se as raízes da função y = –0,1x + x + 1,1:
2
Multiplica-se todos os termos da equação –0,1x + x + 1,1 = 0 por –10:
2
x – 10x – 11 = 0 ⇒ (x – 11).(x + 1) = 0 ⇒ x = 11 ou x = –-1
A trajetória do peso está representado pela parte da parábola contida no intervalo [0,11] do eixo
dos x.
Resposta: A distância total alcançada pelo peso é medida na horizontal. Essa distância é de
11metros
QUESTÃO 06
Seja C o conjunto dos números (no sistema decimal) formados usando-se apenas o algarismo 1,
ou seja C = {1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, ... }.
a) Verifique se o conjunto C contém números que são divisíveis por 9 e se contém números
divisíveis por 6. Exiba o menor número divisível por 9, se houver. Repita o procedimento em
relação ao 6.
b) Escolhendo ao acaso um número m de C, e sabendo que esse número tem, no máximo, 1000
algarismos, qual a probabilidade de m ser divisível por 9?
RESOLUÇÃO:
a) Como os números que são elementos do conjunto C são representados apenas com o
algarismo 1, e num número divisível por 9, a soma dos valores de seus algarismos é um número
também divisível por 9, o subconjunto de C cujos elementos são números divisíveis por 9 é o
conjunto
A = {111.111.111, 111.111.111.111.111.111, ....} . As quantidades de ordens dos elementos de A
formam a seqüência (9, 18, 27, 36, ......... 9n) que constitui uma P.A. com a1 = 9 e razão 9.
O número 6 é par, então todo múltiplo de 6 é par, logo o conjunto C formado apenas de números
ímpares não possui nenhum elemento divisível por 6.
RESPOSTA:
• O conjunto C contém números divisíveis por 9 e o menor desses números é 111.111.111.
• O conjunto C não possui elemento divisível por 6.
b) No item anterior vimos que as quantidades de ordens dos números pertencente ao conjunto C e
divisíveis por 9 formam a seqüência (9, 18, 27, 36, ......... 9n). Considerando o conjunto E,
subconjunto de C, formado com todos os números cuja quantidade de ordens é menor ou igual a
1.000, n(E) = 1.000.
Considerando B o conjunto formado por todos os elementos de E divisíveis por 9, o maior
elemento
de
B
tem
999
ordens,
o
que
nos
leva
a
deduzir
que
9n = 999 ⇒ n = 111, ou seja, n(B) = 111.
A probabilidade pedida é:
p=
n(B)
111
=
= 0,111= 11,1%.
n(E) 1000
RESPOSTA: 11,1%.
QUESTÃO 07
A escala de um aparelho de medir ruídos é definida como Rβ= 12 + log10 I , em que Rβ é a medida
do ruído, em bels, e I é a intensidade sonora, em W/m2. No Brasil, a unidade mais usada para
medir ruídos é o decibel, que equivale a um décimo do bel. O ruído dos motores de um avião a jato
equivale a 160 decibéis, enquanto o tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade
atinge 80 decibéis, que é o limite a partir do qual o ruído passa a ser nocivo ao ouvido humano.
a) Escreva uma fórmula que relacione a medida do ruído Rd β, em decibéis, com a intensidade
2
sonora I, em W/m . Empregue essa fórmula para determinar a intensidade sonora máxima que o
ouvido humano suporta sem sofrer qualquer dano.
b) Usando a fórmula dada no enunciado ou aquela que você obteve no item (a), calcule a razão
entre as intensidades sonoras do motor de um avião a jato e do tráfego em uma esquina
movimentada de uma grande cidade.
RESOLUÇÃO:
a) Como o decibel equivale a um décimo
Rβ= 12 + log10 I ⇒ Rd β = 10. ( 12 + log10 I ).
10. ( 12 + log10 I ) = 80 ⇒ ( 12 + log10 I ) = 8 ⇒
RESPOSTA: Rd β = 10. ( 12 + log10 I ) e I = 10
do
bel,
1
Rβ=
10
.
Rd
β,
e
como
log10 I = − 4 ⇒ I = 10 −4 .
−4
2
W/m .
b) Intensidade sonora do motor do avião:
10. ( 12 + log10 I ) = 160 ⇒
12 + log10 I = 16 ⇒ log10 I = 4 ⇒ I = 10 4 .
−4
Intensidade sonora do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade: I = 10 .
A razão entre as intensidades sonoras do motor de um avião a jato e do tráfego em uma esquina
movimentada de uma grande cidade é:
8
RESPOSTA: 10 .
10 4
= 10 8 .
−4
10
QUESTÃO 08
Sejam dadas as funções f(x) = px e g(x) = 2x + 5, em que p é um parâmetro real.
a) Supondo que p = –5, determine para quais valores reais
f(x) . g(x) < 0.
b) Determine para quais valores de p temos g(x)≤ f(x) para todo x ∈[– 8, –1].
de
RESOLUÇÃO:
a) f(x) g(x) < 0 ⇒ (2x + 5) (–5x) < 0.
A raiz de 2x + 5 = 0 é x =
−
5
e a de –5x = 0 é x = 0.
2
Estudemos a variação dos sinais do produto (2x + 5) (–5x):
RESPOSTA: f(x) . g(x) < 0 para x ∈
5

 − ∞,− 2  ∪ ]0,+∞[ .


b) g(x) ≤ f(x) ⇒ g(x) – f(x) ≤ 0 ⇒ 2x + 5 – px ≤ 0
A desigualdade 2x + 5 – px ≤ 0 deve ser verdadeira para todo x ∈[– 8, –1].
Fazendo x = –8 tem-se: –16 + 5 + 8p ≤ 0 ⇒ 8p ≤ 11 ⇒
p≤
11
.
8
Fazendo x = –1 tem-se: –2 + 5 + p ≤ 0 ⇒ p ≤ – 3.
Logo [ p
≤
11
e p ≤ – 3] ⇒ p ≤ – 3
8
RESPOSTA: g(x) ≤ f(x) para ∀p ≤ – 3.
x
tem-se
QUESTÃO 09
T
–1
Uma matriz real quadrada P é dita ortogonal se P = P , ou seja, se sua transposta é igual a sua
inversa.
a) Considere a matriz P abaixo. Determine os valores de a e b para que P seja ortogonal. Dica:
você pode usar o fato de que P–1P = I, em que I é a matriz identidade.
 − 1/3 − 2/3 − 2/3

P = − 2/3
a
− 1/3 

− 2/3
b
2/3 
b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A = QR, sendo Q e R as matrizes abaixo.
Sabendo que Q é ortogonal, determine a solução do sistema Ax = b, para o vetor b dado, sem
obter explicitamente a matriz A.
–1
Dica: lembre-se de que x = A b.
 1/2 − 1/2 − 2 /2


− 1/2
2 /2  , R =
Q =  1/2
 2 /2
2 /2
0 

2 0
0 − 2

0 0
0 
0  , b =
2 
6 
 − 2 .
 
 0 
RESOLUÇÃO:
T
–1
a) P = P
T
–1
T
⇒P ×P=P ×P⇒P ×P=I⇒
 − 1 / 3 − 2 / 3 − 2 / 3  − 1/3 − 2/3 − 2/3 1 0 0
− 2 / 3
a
b  × − 2/3
a
− 1/3  = 0 1 0 ⇒

− 2 / 3 − 1 / 3 2 / 3  − 2/3
b
2/3  0 0 1
No primeiro membro da equação multiplicando-se a linha 2 da primeira matriz sucessivamente
pelas colunas da segunda matriz, teremos o sistema:
 2 2a 2b
9 − 3 − 3 = 0
2 − 6a − 6b = 0 (L 1 : 2)
3a + 3b = 1


4

2
2
⇒ 3a − 6b = 4 L 1 − L 2 ⇒
 + a + b = 1 ⇒ 4 − 3a + 6b = 0
9
4 + 9a 2 + 9b 2 = 9
9a 2 + 9b 2 = 5


 4 a 2b
−
+
=
0
9 3 3


1
9b = −3 ⇒ b = −
3
2


a=


1
2



3
⇒ RESPOSTA : 
3a + 3 −  = 1 ⇒ 3a = 2 ⇒ a =
3
 3

b = − 1

 4  2 2  1 2 4 4 1
3
 +   +  −  = + + = 1 (VERIFICAÇÃO)
9 9 9
 9  3   3 
b) Se Q é uma Matriz Ortogonal então Q é uma matriz real cuja inversa coincide com a sua
transposta
–1
–1
–1
A = QR e Ax = b ⇒ QR x = b ⇒ Q QR x = Q b ⇒ R x = Q b.
–1
R e Q são de ordem 3 × 3 e b é de ordem 3 × 1 ⇒ x é de ordem 3 × 1.
m
 
Consideremos x = n e sendo R x = Q–1 b ⇒
 
 p 
2 0
0 − 2

0 0
0 
0 
2 
 1

m  2
n =  − 1
   2
 p  
− 2
 2
1
2
1
−
2
2
2
2

2 
2
2 

0 

m = 1
 1
 6   2m   2 
− 2 ⇒ − 2n =  − 2  ⇒ n = 1 x =  1 

 

 
  
p = −4
− 4
 0   2p  − 4 2 

 1
 
RESPOSTA: x = 1
 
− 4
QUESTÃO 10
Uma ponte levadiça, com 50 metros de comprimento, estende-se sobre um rio. Para dar passagem
a algumas embarcações, pode-se abrir a ponte a partir de seu centro, criando um vão AB ,
conforme mostra a figura abaixo. Considerando que os pontos A e B têm alturas iguais, não
importando a posição da ponte, responda
às questões abaixo.
a) Se o tempo gasto para girar a ponte em 1° equivale a 30 segundos, qual será o tempo
necessário para elevar os pontos A e B a uma altura de 12,5m, com relação à posição destes
quando a ponte está abaixada?
b) Se α= 75º, quanto mede AB ?
RESOLUÇÃO:
a) No triângulo retângulo ADE, temos:
senα =
12,5 1
= ⇒ α = 30 o .
25
2
o
Se para girar a ponte em 1 leva-se 30
o
segundos, para girá-la em 30 necessita-se de
30 × 30 segundos =
= 900 segundos = 15 minutos.
RESPOSTA: 15 minutos.
b) No triângulo retângulo ADE, temos:
x
(I).
cos 75 o =
25
3
2
2 1
cos 75 o = cos( 45 o + 30 o ) =
×
−
× ⇒
2
2
2
2
cos 75 o =
6−
2
De (I) e (II), tem-se:
4 x = 25
(
(II)
4
6−
)
x
25
=
2 ⇒x=
25
6−
2
⇒
4
(
6−
4
RESPOSTA: O segmento AB mede
2
) ⇒ AB = 50 − 2  25 (

100 − 25
(
6−
2
2
)
6−
4
)
(
2  100 − 25
6−
=

2
2
)