Lista de exercícios: Equações Algébricas – Problemas Gerais – Prof

Lista de exercícios: Equações Algébricas – Problemas Gerais – Prof ºFernandinho
Questões:
01.(IBMEC) Considere o polinômio 𝑃 (𝑥 ) = −𝑥 3 − 4𝑥 + 5𝑥 2 + 20. Determine as três raízes, reais ou
complexas, da equação 𝑃(𝑥 ) = 0.
02.(IBMEC) Resolva a equação: 3𝑥 3 − 𝑥 2 − 18𝑥 + 6 = 0, em ℝ.
03.(UNICAMP) Ache todas as raízes complexas da equação: 𝑥 5 − 𝑥 4 + 𝑥 3 − 𝑥 2 − 2𝑥 + 2 = 0.
04.(GV) A equação polinomial 𝑥 3 − 7𝑥 − 6 = 0 tem como uma das raiz o valor – 1. Quais são as outras duas
raízes?
05.(UNESP) A equação polinomial 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 − 2 = 0 admite 1 como raiz. Quais são as outras duas
raízes?
1
06.(GV) O polinômio 𝑃(𝑥 ) = 3𝑥 4 − 22𝑥 3 + 64𝑥 2 − 58𝑥 + 13 tem 𝑥 = 3 como uma de suas raízes. Encontre
todas as raízes da equação 𝑃(𝑥 ) = 0 no conjunto dos números complexos.
07.(GV) Sabendo que 3 é raiz dupla do polinômio 𝑃 (𝑥 ) = 𝑥 4 − 3𝑥 3 − 7𝑥 2 + 15𝑥 + 18, determine as outras
raízes.
08.(GV) O polinômio 𝑃(𝑥 ) = 𝑥 4 − 5𝑥 3 + 3𝑥 2 + 5𝑥 − 4 tem o número 1 como raiz dupla. Qual é o valor das
outras duas raízes de P(x).
09.(PUC) Sabe-se que a equação 𝑥 4 + 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 1 = 0 admite raízes inteiras. Se “m” é a maior das
raízes não inteiras dessa equação, calcule o valor de “m”.
10.(UNESP) A altura ℎ de um balão em relação ao solo foi observada durante um certo tempo e modelada pela
função ℎ(𝑡) = 𝑡 3 − 30𝑡 2 + 243𝑡 + 24, com ℎ(𝑡) em metros e 𝑡 em minutos. No instante 𝑡 = 3 minutos, o
balão estava a 510 metros de altura. Determine em que outros instantes 𝑡 a altura foi também de 510 metros.
11.(UNESP) Uma raiz da equação 𝑥 3 − (2𝑎 − 1). 𝑥 2 − 𝑎. (𝑎 + 1). 𝑥 + 2. 𝑎2 . (𝑎 − 1) = 0 é 𝑥 = (𝑎 − 1).
Quais são as outras duas raízes dessa equação?
12.(UNESP) Duas raízes 𝑟1 𝑒 𝑟2 de um polinômio 𝑃(𝑥) de grau 3, cujo coeficiente do termo de maior grau é 1,
são tais que 𝑟1 + 𝑟2 = 3 𝑒 𝑟1 . 𝑟2 = 2.
a) Dê as raízes 𝑟1 𝑒 𝑟2 𝑑𝑒 𝑃(𝑥).
b) Sabendo-se que 𝑟3 = 0 é a terceira raiz de 𝑃(𝑥), dê o polinômio 𝑃(𝑥).
13.(FUVEST) A soma e o produto das raízes da equação de segundo grau (4𝑚 + 3𝑛)𝑥 2 − 5𝑛𝑥 + (𝑚 − 2) = 0
5
3
valem, respectivamente, 8 e 32. Calcule o valor de 𝑚 + 𝑛.
1
1
1
14.(MACK) Se 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 são as raízes da equação 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 − 4 = 0, determine o valor de 𝑆 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 .
15.(GV) Responda os dois itens abaixo:
1
1
1
a) Sejam 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 as raízes da equação 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 6𝑥 − 1 = 0. Calcule o valor de 𝐸 = 𝑎.𝑏 + 𝑎.𝑐 + 𝑏.𝑐.
b) Resolva a equação 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0, sabendo que a soma de duas raízes vale 4.
16.(FUVEST) Sabe-se que o produto de duas raízes da equação algébrica 2𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑘. 𝑥 + 4 = 0 é igual a 1.
Calcule o valor de 𝑘.
17.(FUVEST) As três raízes de 9𝑥 3 − 31𝑥 − 10 = 0 são 𝑝, 𝑞 𝑒 2. Qual é o valor de 𝑝2 + 𝑞2 ?
18.(GV) O polinômio 𝑃(𝑥 ) = 𝑥 3 − 5𝑥 2 − 52𝑥 + 224 tem três raízes inteiras. Se a primeira delas é o dobro da
terceira e a soma da primeira com a segunda é 1, calcule o produto da primeira e a segunda.
19.(MACK) Se 𝑃(𝑥 ) = 4𝑥 3 − 16𝑥 2 − 𝑥 + 𝑚, com 𝑚 real, admite duas raízes opostas, calcule o valor de 𝑚.
20.(MACK) Se a equação 𝑥 3 + 𝑚𝑥 2 + 𝑛𝑥 − 8 = 0, com 𝑚 𝑒 𝑛 números reais não nulos, tem uma raiz real de
multiplicidade 3, calcule o valor de 𝑚 − 𝑛.
21.(IBMEC) Uma das raízes do polinômio 𝑃 (𝑥 ) = 16𝑥 3 − 64𝑥 2 + 79𝑥 − 30 é igual à soma das outras duas
raízes. Determine as três raízes da equação 𝑃(𝑥 ) = 0.
22.(MACK) Se 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 são raízes do polinômio 𝑃 (𝑥 ) = 𝑥 3 − 5𝑥 2 + 2𝑥 + 8, tais que 𝑎 = −2𝑏𝑐, calcule o
𝑎
𝑎
valor da expressão 𝐸 = 𝑏 + 𝑐 .
23.(FUVEST) O produto de duas das raízes do polinômio 𝑃(𝑥 ) = 2𝑥 3 − 𝑚. 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 é igual a – 1.
Determinar:
a) o valor de 𝑚.
b) as raízes de 𝑃 (𝑥 ).
24.(ITA) Se 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 são raízes da equação 𝑥 3 − 𝑟. 𝑥 + 20 = 0, onde 𝑟 é real, determine o valor de 𝑎3 + 𝑏3 +
𝑐 3.
25.(MACK) Se as três raízes reais, não necessariamente distintas, do polinômio 𝑃 (𝑥 ) = 𝑥 3 − 𝑎3 . 𝑥 2 + 𝑎. 𝑥 − 1,
com 𝑎 real, formam uma progressão geométrica, calcule o valor de 𝑎 − 𝑎3 .
26.(UNESP) Dado que as raízes da equação 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 𝑥 + 𝑘 = 0, onde 𝑘 é uma constante real, formam uma
progressão aritmética, qual é o valor de 𝑘?
27.(UNICAMP) Considere o polinômio 𝑃(𝑥 ) = 𝑥 2 − 11𝑥 + 𝑘 + 2, em que 𝑥 é uma variável real e 𝑘 um
parâmetro fixo, também real.
a) Para qual valor do parâmetro 𝑘 o resto do quociente de 𝑃(𝑥) por 𝑥 − 1 é igual a 3?
𝜋
𝜋
b) Supondo, agora, 𝑘 = 4, e sabendo que 𝑎 𝑒 𝑏 são raízes de 𝑃 (𝑥 ), calcule o valor de 𝑠𝑒𝑛 (𝑎 + 𝑏 ).
28.(GV) Considere a equação 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 𝑚. 𝑥 + 10 = 0 de incógnita 𝑥 e sendo 𝑚 um coeficiente real.
Sabendo que as raízes da equação formam uma progressão aritmética, qual é o valor de 𝑚?
29.(UNICAMP) As três raízes da equação 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 12𝑥 − 𝑞 = 0, onde 𝑞 é um parâmetro real, formam uma
progressão aritmética.
a) Determine 𝑞.
b) Utilizando o valor de 𝑞 determinado no item anterior, encontre as raízes (reais e complexas) da equação.
30.(FUVEST) As raízes da equação do terceiro grau 𝑥 3 − 14𝑥 2 + 𝑘. 𝑥 − 64 = 0 são todas reais e formam uma
progressão geométrica. Determine:
a) o valor de 𝑘
b) as raízes da equação.
31.(FUVEST) Sejam 𝑎 𝑒 𝑏 as raízes da equação 10𝑥 2 + 33𝑥 − 7 = 0. Qual é o número inteiro mais próximo
do número 5𝑎𝑏 + 2. (𝑎 + 𝑏)?
32.(ITA) Quais são os valores de 𝑚 de modo que a equação 𝑥 3 − 6𝑥 2 − 𝑚2 𝑥 + 30 = 0 tenha duas de suas
raízes somando 1?
33.(GV) Qual é a soma das raízes da equação 𝑥 3 − 2𝑥 + 5 = −3𝑥 2 + 2𝑥 + 17?
34.(FUVEST) As raízes do polinômio 𝑃 (𝑥 ) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑚, onde 𝑚 é um número real, estão em progressão
aritmética. Determine:
a) o valor de 𝑚.
b) as raízes desse polinômio.
35.(GV) A equação polinomial 𝑥 3 − 𝑥 2 − 7𝑥 + 15 = 0, apresenta uma raiz igual a 2 + 𝑖. Obtenha as outras
raízes.
36.(MACK) O polinômio 𝑃(𝑥 ) = 𝑥 3 + 𝑎. 𝑥 2 + 𝑏. 𝑥 + 𝑐, com 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 reais, admite as raízes 1 e 𝑖. Determine o
valor da expressão 𝐸 = 𝑎 − 𝑏 + 𝑐.
37.(UNESP) Seja a função polinomial 𝑃(𝑥 ) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 𝑘𝑥 + 𝜃, sendo 𝑘 𝑒 𝜃 constantes reais. Sabendo que
1 + 𝑖 é raiz da função polinomial, calcule os valores de 𝑘 𝑒 𝜃.
38.(UNICAMP) Dada a equação polinomial com coeficientes reais 𝑥 3 − 5𝑥 2 + 9𝑥 − 𝑎 = 0.
a) Encontre o valor numérico de 𝑎 de modo que o número complexo 2 + 𝑖 seja uma das raízes da referida
equação.
b) Para o valor de 𝑎 encontrado no item anterior, determine as outras duas raízes da mesma equação.
39.(FUVEST) A equação 𝑥 3 + 𝑚. 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑛 = 0, onde 𝑚 𝑒 𝑛 são números reais, admite o número complexo
1 + 𝑖 como raiz. Nessas condições, calcule o valor de 𝑚 𝑒 𝑛.
40.(FUVEST) Resolva a equação 𝑥 4 − 5𝑥 3 + 13𝑥 2 − 19𝑥 + 10 = 0, sabendo que o número complexo 1 + 2𝑖
é uma das suas raízes.
41.(UNICAMP) Uma das raízes do polinômio 2𝑥 4 + 3𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑥 + 1 = 0 é o número complexo 𝑖. Qual é
o resultado da soma dos quadrados de todas as raízes desse polinômio?
42.(FUVEST) O polinômio 𝑃(𝑥 ) = 𝑥 4 + 𝑥 2 − 2𝑥 + 6 admite 1 + 𝑖 como raiz. Qual é o número de raízes reais
deste polinômio 𝑃(𝑥 )?
43.(ITA) Seja P um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1 − 𝑖 como raiz de multiplicidade
2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de P são, respectivamente, 10 e – 40. Sendo afirmado que
três raízes de P são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, calcule essas três raízes.
44.(FUVEST)
1
1
a) Sendo 𝑖 a unidade imaginária, determine as partes real e imaginária do número complexo 𝑍 = 1+𝑖 − 2𝑖 + 𝑖.
b) Determine o polinômio de grau 2, com coeficientes reais, que tenha 𝑍 como raiz e que possua coeficiente
dominante igual a 8.
45.(ITA) Sobre a equação polinomial 2𝑥 4 − 2𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 − 1 = 0, sabemos que os coeficientes 𝑏 𝑒 𝑐 são
1
𝑖
reais, duas de suas raízes são inteiras e distintas e 2 − 2 também é sua raiz. Determine os valores de 𝑏 𝑒 𝑐.
46.(FUVEST) O polinômio 𝑃(𝑥 ) = 𝑥 4 + 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 − 8, em que 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 são números reais, tem o
número complexo 1 + 𝑖 como raiz, bem como duas raízes simétricas.
a) Determine 𝑎, 𝑏, 𝑐 e as raízes de 𝑃(𝑥 ) = 0.
b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de 𝑃 (𝑥 ) e determine o polinômio com coeficientes reais, de menor grau,
que tenha coeficiente dominante igual a 1 e possua esses novos valores como raízes.
47.(MP) A equação 𝑥 3 − 15𝑥 2 + 36𝑥 − 130 = 0 admite uma raiz 𝑟, tal que 10 < 𝑟 < 20. Encontre todas as
raízes (reais ou complexas) dessa equação.
48.(MP) Resolver a equação 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 18𝑥 + 5 = 0 em ℝ, sabendo que a equação admite uma raiz
fracionária negativa.
49.(MP) Resolver a equação 2𝑥 3 + 𝑥 2 − 24𝑥 − 14 = 0 sabendo que a equação admite uma raiz fracionária
positiva.
50.(MP) Resolver a equação 2𝑥 4 − 17𝑥 3 + 23𝑥 2 − 17𝑥 + 21 = 0 sabendo que a equação admite uma raiz
inteira maior que 5 e uma raiz fracionária positiva.
Gabarito:
1
01. {5, 2𝑖, −2𝑖 }
02. {3 , √6, −√6}
1
06. { , 1, 3 + 2𝑖, 3 − 2𝑖}
3
10.
𝑡 = 09 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑡 = 18 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
14. 𝑆 =
3
11. {−𝑎, 2𝑎}
15.
4
19. 𝑚 = 4
𝑎) 𝐸 = 4
𝑏) {−2, 1, 3}
20. 𝑚 − 𝑛 = − 18
24. 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐 3 = −60
28. 𝑚 = 3
32.
29.
𝑚=1
𝑚 = −1
36. 𝐸 = −3
3
45.
𝑏 = −1
𝑐=2
5
04. {−2, 3}
05. {1 + 𝑖, 1 − 𝑖 }
07. {−1, −2}
08. {−1, 4}
09. 𝑚 =
12.
𝑎) 𝑟1 = 1 𝑒 𝑟2 = 2
𝑏) 𝑃(𝑥 ) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥
16. 𝑘 = − 8
3 5
17. 𝑝2 + 𝑞 2 =
26
9
𝑎) 𝑚 = 7
23.
25. 𝑎 − 𝑎3 = 0
26. 𝑘 = 3
27.
30.
34.
𝑎) 𝑚 = 2
𝑏) {1, 1 + √3, 1 − √3}
𝑘 = −6
𝜃=8
38.
𝑎) 𝑎 = 5
𝑏) {2 − 𝑖, 1}
39.
2
18. 𝑟1 . 𝑟2 = −56
22. 𝐸 = −2
𝑎) 𝑞 = 10
𝑏) {1, 1 + 3𝑖, 1 − 3𝑖 }
−3+√5
13. 𝑚 + 𝑛 = 9
21. {4 , 4 , 2}
33. 𝑆𝑜𝑚𝑎 = −3
37.
41. 𝑆𝑜𝑚𝑎 = − 4
03. {𝑖 √2, −𝑖√2}
3
𝑏) {2 , 1 + √2, 1 − √2}
𝑎) 𝑘 = 11
𝑎) 𝑘 = 56
𝑏) {2, 4, 8}
1
𝑏) − 2
31. – 10
35. {2 − 𝑖, −3}
𝑚 = −2
𝑛=0
40. {1 + 2𝑖, 1 − 2𝑖, 1, 2}
1
42. 𝑍𝑒𝑟𝑜
46.
48. {− 2 , 2 + √3, 2 − √3}
43. {− 1, 2, 5}
44.
𝑎) 𝑎 = −2, 𝑏 = −2, 𝑐 = 8 𝑒 {1 + 𝑖, 1 − 𝑖, 2, −2}
𝑏) 𝑃(𝑥 ) = (𝑥 − 1). (𝑥 + 3). (𝑥 2 + 1)
7
49. {2 , −2 + √2, −2 − √2}
𝑎) 𝑅𝑒(𝑍) = 2 𝑒 𝐼𝑚(𝑍 ) = 1
𝑏) 𝑃(𝑥) = 8𝑥 2 − 8𝑥 + 10
47. {1 + 3𝑖, 1 − 3𝑖, 13}
3
50. {2 , 7, 𝑖, −𝑖 }