Números e Funções Complexas

Números e Funções Complexas
Fernando Fernandes
Centro de Ciências Moleculares e Materiais, DQBFCUL
Notas para as aulas de Química-Física II, 2010/11
Um número complexo, z, define-se como:
z=a+ib
onde a e b são números reais, e i é o número imaginário tal que i2 = -1, ou seja,
i  1 . Assim, os números complexos admitem raízes de números negativos, as quais
não estão definidas no campo real.
O número real a designa-se por parte real de z e o número real b por parte imaginária
de z sendo usual denotarem-se por a ≡ Re z, e b ≡ Im z. Se b = 0, então z é um número
real puro; no caso de a = 0, então z é um número imaginário puro. z = 0 se, e só se, a =
b = 0.
A soma dos números complexos z1 e z2 é o complexo:
z1 + z2 = (a1 + i b1) + (a2 + i b2) = (a1 + a2) + i (b1 + b2)
e o seu produto é o complexo:
z1 . z2 = (a1 + i b1) . (a2 + i b2) = (a1a2 – b1b2) + i (a1b2 + b1a2)
O complexo conjugado de z define-se como:
z* = a – i b
Provam-se as seguintes propriedades:
a) Re z = (z + z*) / 2 ; Im Z = (z – z*) / 2 i
b) z é um número real puro se e só se z* = z; é um número imaginário puro se e só se z*
= -z.
c) z** = z;
(z1 + z2)* = z1  z2 ;
(z1 . z2)* = z1 .z2
O quadrado do módulo dum número complexo define-se como:
|z|2 = z*. z
Aplicando a regra de multiplicação:
|z|2 = z*. z = a2 + b2
Assim, o módulo de z é:
|z| = + z z   a 2  b 2
1
Uma função complexa Ψ de variável real x, tem a forma:
Ψ(x) = u(x) + i v(x)
donde o quadrado do seu módulo é:
| Ψ(x)|2 = Ψ*(x) Ψ(x) = u2(x) + v2(x)
As regras de derivação e de integração são semelhantes às do campo real. Por exemplo:
d  x  du  x  dv  x 

i
dx
dx
dx
b
b
b
a
a
a
(uma nova função complexa)
   x  dx   u  x  dx  i  v  x  dx
(um número complexo)
A função exponencial complexa eikx ≡ exp(ikx) onde k é um número real é definida por:
exp(ikx) = cos(kx) + i sen (kx)
e tem as seguintes propriedades:
a) [exp(ikx)]* = exp(-ikx)
b) exp(ik1x) . exp(ik2x) = exp[i(k1+k2)x]
c) |exp(ikx)|* = 1
d exp  ikx 
 ik exp(ikx)
dx
1
e)  exp(ikx) dx  exp(ikx)  cte
ik
d)
Exempos de aplicação
1) Aos números complexos correspondem pontos no espaço bidimensional (plano
complexo) tal como representado na figura seguinte:
O vector de posição do ponto representativo de z, tem o comprimento (módulo) r:
|z| = r =  a 2  b 2
2
Utilizando coordenadas polares, e considerando a definição da função exponencial
complexa, conclui-se da figura que:
z = a + i b = r cos θ + i r sen θ = r exp(iθ)
O ângulo θ designa-se por fase de z.
2) Se na função exponencial exp(ikx) e complexa conjugada, k 
2
:

 i2x 
 2x 
 2x 
exp 
  cos 
  i sen 

  
  
  
 i2x 
 2x 
 2x 
 2x 
 2x 
exp  
  cos  
  i sen  
  cos 
  i sen 

 

  
  
  
  
Quer as partes reais quer as imaginárias representam ondas harmónicas de comprimento
de onda λ conforme a figura seguinte:
As duas situações são distinguíveis. Assim, considera-se que exp(ikx) representa uma
onda a mover-se da esquerda para a direita e exp(-ikx) uma onda a mover-se da direita
para a esquerda.
3) Considere-se a segunda derivada
d 2 exp  ikx  2 2
 i k exp  ikx   k 2 exp  ikx 
2
dx
d2
, com valor
dx 2
próprio –k2, ou seja, que exp(ikx) é uma solução da equação diferencial geral:
Pode concluir-se que exp(ikx) é uma função própria do operador
d 2f  x 
 c 2 f  x  onde c é uma constante.
2
dx
4) Para a função complexa:
  x, t     x  exp(ikt)
o quadrado módulo é:
|Z|2 = Ψ* exp(ikt) Ψ exp(-ikt) = Ψ* Ψ = | Ψ |2, independente de t.
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