Plano cartesiano, Retas e Circunferência

Plano cartesiano, Retas e
Circunferência
Alex Oliveira
Sistema cartesiano ortogonal
O sistema cartesiano ortogonal é formado
por dois eixos ortogonais(eixo x e eixo y). A
intersecção dos eixos x e y é o ponto O.
chamado de origem do sistema. Há uma
relação entre os pontos de um plano e o
conjunto de pares ordenados, isto é, a cada
ponto
corresponde
um
único
par
ordenado(x, y).
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2
Sistema cartesiano ortogonal
Exemplo:
B
A
D
C
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Sistema cartesiano ortogonal
Os pares ordenados são:
(3, 2) está associado o ponto A;
(-1, -4) está associado o ponto B;
(-2, -3) está associado o ponto C;
(2, -1) está associado o ponto D.
Considerando o ponto A(3, 2), dizemos que o
número 3 é a coordenada x ou a abscissa do
ponto A, e o número 2 é a coordenada y ou a
ordenada do ponto A.
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Sistema cartesiano ortogonal
Os eixos x e y dividem o plano em quatro regiões
chamadas quadrantes. O sinal positivo ou negativo
da abscissa e da ordenada varia de acordo com o
quadrante.
y
2º quadrante
(-, +)
1º quadrante
(+, +)
x
3º quadrante
(-, -)
4º quadrante
(+, -)
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Distância entre dois pontos
Dados dois pontos, A e B, a distância entre
eles, que será indicada por d(A, B), é a medida
do segmento de extremidades A e B.
• Exemplo:
Como em ambos os
pontos, o valor da
ordenada é o mesmo
(y = 1) a distância
será a diferença
entre as ordenadas.
d(A, B) = 3 – 1 = 2
A(1, 1)
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B(3, 1)
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Distância entre dois pontos
• Exemplo:
C(1, 3)
Nesse caso, como nem a
ordenada e nem a
abscissa dos pontos são
iguais, usamos a relação
de Pitágoras para obter
a distância entre os
pontos.
[d(C, D)]2 = 32 + 22 
d(C, D) = 13
2
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D(4, 1)
3
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Distância entre dois pontos
Temos uma fórmula que representa a
distância entre dois pontos independente da
localização deles. Para dois pontos
quaisquer, A e B, tal que A(x1, y1) e B(x2,
y2), teremos:
d(A, B) =
x2 − x1 2 + y2 − y1
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2
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Ponto médio de um segmento
Dado um segmento de reta AB tal que A e B são
distintos, vamos determinar as coordenadas de M, ponto
médio de AB. Considere:
• Um segmente com extremidades A(x1, y1) e B(x2, y2);
• O ponto M(x, y), ponto médio do segmento AB.
B
y2
M
y
y1
A
x1
x
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x2
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Ponto médio de um segmento
Podemos concluir que, dado um segmento de
extremidades A e B:
• A abscissa do ponto médio do segmento é a
média aritmética das abscissas das
extremidades:
x2+ x1
x=
2
• A ordenada do ponto médio do segmento é a
média aritmética das ordenadas das
extremidades:
y2+ y1
y=
2
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Ponto médio de um segmento
Assim, o ponto médio M do segmento AB,
pode
ser
obtido
independente
da
localização das extremidades usando as
fórmulas anteriores:
x2+ x1 y2+ y1
M=
,
2
2
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Coeficiente angular de uma reta
Consideremos uma reta r de inclinação 
em relação ao eixo x.
O coeficiente angular ou a declividade
dessa reta r é o número real m que
expressa a tangente trigonométrica de sua
inclinação , ou seja:
m = tg()
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Coeficiente angular de uma reta
Vamos observar casos, considerando:
y
• 0º    180º
1º r
x
Para  = 0°, temos m = tg  = tg 0° = 0,
nesse caso temos uma reta horizontal.
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Coeficiente angular de uma reta
2º y
r

x
Para 0° <  < 90°, temos tg  > 0  m > 0
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Coeficiente angular de uma reta
3º y
r

x
Para 90° <  < 180°, temos tg  < 0  m < 0
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Coeficiente angular de uma reta
4º -
y
r

x
Para  = 90°, a tg  não é definida, nesse
caso é uma reta vertical, ela não tem
declividade
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Coeficiente angular de uma reta
Agora vamos ver como calcular o coeficiente angular
de uma reta a partir das coordenadas de dois de seus
pontos.
No triângulo ABC, temos:
y2
d(C, B) y y2 − y1
tg  =


d(A, C) x x2 − x1
y1
Então:
y y2 − y1
m=
=
x x2 − x1
y
B
A
y
C
x

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
r
x1
x
x2
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Equação da reta
Vimos antes que dois pontos distintos
determinam uma reta, ou seja, existe uma
única reta que passa pelos dois pontos.
Da mesma forma, um ponto P(x0, y0) e a
declividade m determinam uma reta r.
Considerando ponto P(x, y) dessa reta,
veremos que se pode chegar a uma
equação, de incógnitas x e y.
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Equação da reta
Considerando um ponto P(x, y) qualquer sobre a
reta e tg  = m, temos:
d(C, P)
y − y0 y
tg  =
m=
d(P0, C)
x − x0
y
P
P0
y0
y – y0 = m(x – x0)

r
C

x
x0
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x
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Vamos praticar...
Uma reta passa pelo ponto P(-1, -5) e tem
1
coeficiente angular m =
. Escreva a
2
equação da reta.
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Vamos praticar...
Tendo o ponto e o coeficiente angular,
usaremos esses valores no modelo da
equação.
y – y0 = m(x – x0) 
1
2
y – (-5) = [x – (-1)] 
𝑥
1
y+5= + 
2
2
𝑥
1
-y+ -5=0
2
2
x – 2y +1 – 10 = 0 
x – 2y – 9 = 0
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Vamos praticar...
Na figura dada, o ponto O é a origem do
sistema de coordenadas ortogonais e OABC é
um retângulo. Nessas condições, escreva a
equação da reta-suporte da diagonal AC.
y
B(8, 4)
C
x
A
O
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Vamos praticar...
Pela figura podemos as coordenadas do pontos A e C
são:
A(8, 0)
C(0, 4)
Usando os dois pontos podemos encontrar a coeficiente
angular.
y2 − y1
4−0
4
𝟏
m=
m=
m=- m=x2 − x1
0−8
8
𝟐
Agora vamos usar um dos pontos junto com o
coeficiente para encontrar a equação.
y–4=𝑥
2
1
2
(x - 0)  y – 4 = -
𝑥
2

+ y - 4 = 0  x + 2y – 8 = 0
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Vamos praticar...
(Vunesp) Num sistema de eixos cartesianos
ortogonais, x + 3y + 4 = 0 e 2x – 5y – 2 = 0
são, respectivamente, as equações das
retas r e s. Determine as coordenadas do
ponto de intersecção de r em s.
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Vamos praticar...
O ponto de interseção (x, y) deve satisfazer ao mesmo
tempo ambas as equações. Assim, devemos resolver o
sistema:
x + 3y + 4 = 0
2x – 5y – 2 = 0
Isolamos x na primeira equação:
x = -3y – 4
Agora aplicamos o x na segunda equação:
2(-3y - 4) – 5y – 2 = 0  -6y – 8 – 5y – 2 = 0 
-11y – 10 = 0  y = -
10
11
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Vamos praticar...
Aplicamos o valor de y na primeira equação
para encontrar a coordenada x:
x = -3 −
x=
10
11
–4x=
30
11
-4x=
30 − 44
11

−𝟏𝟒
𝟏𝟏
Assim, o ponto de intersecção das retas r e
−𝟏𝟒 −𝟏𝟎
sé
,
.
𝟏𝟏
𝟏𝟏
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Duas retas no plano
Duas retas r e s, contidas no mesmo plano
são paralelas ou concorrentes.
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Retas Paralelas
Sendo 1 a inclinação da reta r e 2 a
inclinação da reta s, temos:
m1 = m2  tg 1 = tg 2  1 = 2
Se as inclinações são iguais, as retas são
paralelas (r // s).
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Retas Paralelas
Veja as imagens a seguir, que mostram
duas retas distintas e não-verticais, que são
y
paralelas:
r
s
Observamos que:
2 = 1  tg 2 = tg 1
 m2 = m1  r // s
2
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1
x
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Retas Paralelas
y
s
r
Observamos que:
2 = 1  tg 2 = tg 1
 m2 = m1  r // s
2
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1
x
30
Retas Paralelas
Podemos concluir que, dadas duas retas
distintas e não-verticais r e s são paralelas
se, e somente se, seus coeficientes
angulares são iguais (m1 = m2).
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Retas Concorrentes
Duas retas do mesmo plano com coeficientes
angulares diferentes não são paralelas, logo,
são concorrentes.
y
s
Observamos que:
2  1  tg 2  tg 1
 m2  m1  r e s: são
concorrentes
2
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r
1
32
x
Retas Concorrentes
Portanto, duas retas distintas e não-verticais
r e s são concorrentes se, e somente se,
seus
coeficientes
angulares
são
diferentes (m1  m2).
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Intersecção de duas retas
A figura mostra duas retas, r e s, do mesmo plano, que
se intersectam no ponto P(a, b).
y
r
s
P(a, b)
x
Como P pertence às duas retas, suas coordenadas
devem satisfazer simultaneamente às equações dessas
duas retas.
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Intersecção de duas retas
Logo, para determiná-las, basta resolver o sistema
formado pelas equações das duas retas.
Observação: Pela resolução de sistemas verificar a
posição relativa de duas retas. Assim temos:
• Sistema possível e determinado – um único ponto
comum: retas concorrentes;
• Sistema possível e indeterminado – infinitos
pontos comuns: retas coincidentes;
• Sistema impossível – nenhum ponto comum: retas
paralelas distintas.
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Intersecção de duas retas
Vamos determinar as coordenadas do ponto
P de intersecção das retas r e s, de
equações 3x + 2y – 7 = 0 e x – 2y – 9 = 0,
respectivamente.
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Intersecção de duas retas
Nosso problema consiste em resolver o sistema formado
pelas equações das duas retas:
3x + 2y – 7 = 0
x – 2y – 9 = 0
4x – 16 = 0  4x = 16  x = 4
Encontramos a coordenada x do ponto de intersecção,
agora substituímos seu valor na segunda equação:
5
2
4 – 2y – 9 = 0  -2y = 5  y = Logo, as coordenadas do ponto de intersecção são:
P
5
4, −
2
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Perpendicularidade de duas retas
A figura mostra a reta r, de inclinação 1 e a
reta s, de inclinação 2, tal que r e s são
perpendiculares.
y
r
s
P
A
1
2
B
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38
x
Perpendicularidade de duas retas
Dadas as retas r e s, de coeficientes
angulares m1 e m2, temos:
r  s  m2m1 = -1
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Vamos praticar...
(FEI-SP) A reta s é perpendicular à reta r e
a reta t é paralela à reta s. Determine a
equação da reta s e a equação da reta t.
y
t
P(0, 3)
s
Q(4, 0)
O
M(1, 0)
x
r
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40
Vamos praticar...
Vamos determinar coeficiente angular da reta r,
usando os dois pontos:
0−3
4−0
−3
4
mr =
 mr =
Como a reta r é perpendicular a reta s, temos:
−3
4
𝟒
𝟑
mr ms = -1 
. ms = -1  ms =
Agora podemos obter a equação da reta s:
4
(x
3
y–0=
- 4)  y =
4x – 3y – 16 = 0
4𝑥
3
-
16
3

4𝑥
3
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-y-
16
3
=0
41
Vamos praticar...
Como a reta t e paralela a reta s, os
coeficientes angulares são iguais, ou seja,
𝟒
mt = . Com isso, já podemos determinar a
𝟑
equação da reta t.
y–0=
𝟒
(x
𝟑
- 1)  y =
𝟒𝒙
𝟑
𝟒
𝟑
- 
𝟒𝒙
𝟑
𝟒
𝟑
-y- =0
4x – 3y – 4 = 0
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42
Circunferência
Vamos estudar sobre a circunferência,
assim vamos associar cada circunferência a
uma equação, e a partir daí, estudar suas
propriedades geométricas.
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Circunferência
Uma circunferência com centro O(a, b) e raio r é o
conjunto de todos os pontos no plano equidistantes
de O, ou seja: d(O, P) = 𝒙 − 𝒂 𝟐 + 𝒚 − 𝒃 𝟐 = r
y
b
P(x, y)
O(a, b)
x
a
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44
Circunferência
Se elevarmos ambos os membros ao
quadrado, teremos a equação normal da
circunferência:
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
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45
Problemas de tangência
Para resolver problemas envolvendo retas
tangentes á circunferência devemos lembrar
de dois detalhes:
• Quando
a
reta
é
tangente
à
circunferência, a distanciado centro da
circunferência à reta tangente é o raio.
• A reta tangente é sempre perpendicular ao
raio no ponto de tangência.
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Problemas de tangência
O ponto P(5, 2) pertence a circunferência de
equação x2 + y2 + 2x – 6y – 27 = 0. Vamos
determinar a equação da reta t tangente a essa
circunferência em P.
C
P(5, 2)
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Problemas de tangência
Se uma reta t tangencia uma circunferência de
centro C e raio r em P, então t é perpendicular
à reta-suporte de CP.
Vamos encontrar o centro e raio da
circunferência.
x2 + y2 + 2x – 6y – 27 = 0
x2 + 2x + y2 – 6y = 27
x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 27 + 1 + 9
(x + 1)2 + (y – 3)2 = 37
Então, C(-1, 3) e r = 37
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Problemas de tangência
Agora, vamos determinar o coeficiente angular
m1 da reta-suporte que passa pelo pontos C(1, 3) e P(5, 2):
m1 =
2−3
5+1
=-
𝟏
𝟔
Vamos determinar o coeficiente angular m2 da
reta tangente perpendicular à reta-suporte.
m2 m1 = -1  m2
1
−
6
= -1  m2 = -
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1
1
−
6
=6
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Problemas de tangência
Agora podemos calcular a equação da reta t
que passa pelo ponto P(5, 2) e tem
coeficiente angular 6:
y – 2 = 6(x – 5)  y – 2 = 6x – 30  6x – y
– 28 = 0
A equação pedida é 6x – y – 28 = 0.
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50