Um Estudo da Dinâmica da Equação Logística

Um Estudo da Dinâmica da Equação Logística
Conconi, T.; Silva Lima, M.F.
Resumo: Equações diferenciais são adequadas para representar sistemas discretos por grandezas cujos
valores variam apenas em determinados instantes de tempo. Neste projeto de Iniciação Científica,
analisamos uma classe de sistemas dinâmicos discretos, mais especificamente, as funções da família
quadrática,
, dada por
, onde
, chamada comumente de equação Lou
mapa logístico. Este mapa foi amplamente estudado, devido à riqueza de comportamentos que ele exibe,
conforme se varia o valor do parâmetro µ.
Palavras-chave: aplicação logística, pontos fixos, órbitas periódicas, estabilidade.
1. Introdução:
Equações diferenciais simples podem ter uma dinâmica bastante complexa conforme se variam os
parâmetros de controle e suas condições iniciais. Um exemplo disto é o mapa logístico, definido pela
equação
.
O mapa logístico é um dos sistemas mais analisados e discutidos dentro da área de caos.
Geometricamente, o mapa é representado por uma parábola cuja concavidade é definida pelo parâmetro
µ. Os diferentes valores deste parâmetro definem um tipo de evolução diferente para o mapeamento.
Do mapa logístico podem ser tirados conceitos de pontos fixos estáveis ou instáveis, atratores,
repulsores, bifurcação, caos, dentre muitos outros que serão mostrados na análise realizada.
2. Objetivos:
O objetivo deste projeto é estudar órbitas típicas para a família logística para diferentes valores do
parâmetro µ, entendendo as mudanças na sua dinâmica (bifurcações) quando se faz o valor deste
parâmetro variar.
A relevância desse estudo se deve ao fato de que as técnicas utilizadas aqui podem ser também
aplicadas a outras famílias de equações, tanto no mundo discreto quanto no contínuo.
3. Metodologia:
No desenvolvimento deste projeto, pretendeu-se compreender e analisar o comportamento das órbitas
periódicas do mapa logístico para diferentes valores do parâmetro µ, investigando a existência de pontos
fixos e órbitas periódicas bem como suas bifurcações.
Para desenvolver estas competências foi realizada uma pesquisa acerca dos tópicos citados em uma
bibliografia apropriada e resolução de problemas e questões propostas pelo orientador,
Para compreender conceitos como bifurcações, pontos fixos e órbitas periódicas, fizemos um extenso
estudo do mapa logístico, um sistema aparentemente simples, mas com dinâmica bastante complicada.
4. Resultados:
Foi feita a análise da equação logística, representada pela função
, calculando seus
pontos fixos e a estabilidade destes para diferentes valores do parâmetro µ.
Se o parâmetro de controle está no intervalo
. Assim, qualquer ponto
, e
, então
contido nesse intervalo gera, após uma interação, o ponto
para
que
pertence a esse mesmo intervalo.
A figura abaixo nos mostra o mapa logístico para os diferentes valores do parâmetro µ.
Figura 1: Mapa logístico para diferentes tipos de respostas: período-1 (µ = 2,9), período-2 (µ = 3,2),
período-4 (µ = 3,5) e caótica (µ = 4).
Os pontos fixos são
e
=0e
valem, respectivamente,
=
. Como
e
, então os autovalores associados a
. Portanto, a origem é assintoticamente estável para
e instável para
O outro ponto fixo é instável para
. A convergência para
Em
é monótona para
, tem-se que
equilíbrio
e assintoticamente estável para
, e oscilatória para
.
. Assim, para esse valor do parâmetro de controle, a solução de
sofre uma bifurcação de duplicação de período. Conseqüentemente, para
órbita de período-2 formada pelos pontos
e
, pontos fixos de
, surge uma
e raízes do polinômio
.
O valor de
e
foi calculado analisando as raízes deste polinômio de quarto grau. O estudo da
estabilidade da órbita de período-2 reduz ao estudo da estabilidade dos pontos fixos de
estabilidade de
é determinada pelo autovalor
=
Efetuando-se os cálculos obtivemos que
mesma
expressão.
Portanto,
a
órbita
. A
de
. O autovalor
período-2
é
assintoticamente
é dado pela
estável
quando
, ou seja
Em
, tem-se que
. Assim, notamos que a órbita de período-2 sofre uma
bifurcação de duplicação de período. A órbita de período-4 é observada para
.
Conforme aumentamos o valor do parâmetro µ, ocorrem sucessivas bifurcações flip. Uma órbita
de período-
é formada por
pontos fixos de
que são assintoticamente estáveis.
A figura abaixo mostra o diagrama de bifurcações para o mapa logístico.
Figura 2: Diagrama de órbitas para o mapa logístico.
Também foi analisado durante o projeto o Teorema de Sarkovskii que, para o mapa logístico nos
garante a existência de órbitas de todos os períodos, pela ocorrência de soluções 3-periódicas.
5. Conclusão:
O estudo de sistemas dinâmicos leva-nos à conclusão de que podemos modelar e tentar explicar
sistemas dinâmicos leva-nos à conclusão de que podemos modelar e tentar explicar sistemas complexos
como o clima, ecossistemas e organizações sociais, onde os resultados não podem ser previstos sem
algum grau de incerteza.
O conceito matemático utilizado na equação logística é o de equação diferencial e por meio das
ferramentas matemáticas, existentes para o estudo deste assunto, é possível identificar algumas
complexidades do fenômeno até então não detectadas experimentalmente, o fenômeno do caos.
O trabalho foi de grande importância no que se refere a um ganho inestimável de conhecimentos e
uma compreensão da não-linearidade de fenômenos que nos cercam.
6. Bibliografia:
SAVI, M.A. Dinâmica Não-linear e Caos. Editora E-papers, 2006.
DEVANEY. R. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2003.
EDWARD OTT. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1993.
MONTEIRO, L. Sistemas Dinâmicos, 2006.