Apresentação do PowerPoint

Polígonos
Disciplina: Matemática Aplicada
Prof. Filipe Arantes Fernandes
[email protected]
Polígonos

Polígonos é uma linha fechada formada apenas por
segmentos de reta que não se cruzam no mesmo plano.
Tipos de Polígonos
Convexo
Não-convexo
Tipos de Polígonos

Convexo:
No polígono A, se tomarmos dois pontos quaisquer P e Q na região limitada pelo polígono, o
segmento de reta que os une estará inteiramente contido nesta região.
Tipos de Polígonos

Não-convexo:
É possível encontramos dois pontos (R e S) de modo que o segmento de reta RS não esteja
inteiramente contido na região limitada por esse polígono.
Elementos de um polígono
A
B
C
F
E
D
Elementos de um polígono
A
B
VÉRTICES
São os pontos A, B, C, D, E e F.
C
F
E
D
Elementos de um polígono
LADOS
São os segmentos de reta:
Elementos de um polígono
A
B
LADOS
São os segmentos de reta:
● AB
Elementos de um polígono
A
B
LADOS
São os segmentos de reta:
● AB
● BC
C
Elementos de um polígono
A
B
LADOS
C
D
São os segmentos de reta:
● AB
● BC
● CD
Elementos de um polígono
A
B
LADOS
C
E
D
São os segmentos de reta:
● AB
● BC
● CD
● DE
Elementos de um polígono
A
B
LADOS
C
F
E
D
São os segmentos de reta:
● AB
● BC
● CD
● DE
● EF
Elementos de um polígono
A
B
LADOS
C
F
E
D
São os segmentos de reta:
● AB
● BC
● CD
● DE
● EF
● FA
Elementos de um polígono
A
B
DIAGONAIS
São os segmentos de reta que ligam
um vértice a outro vértice não
consecutivo a ele:
C
F
E
D
Elementos de um polígono
A
B
DIAGONAIS
C
F
E
D
São os segmentos de reta que ligam
um vértice a outro vértice não
consecutivo a ele:
● AC
Elementos de um polígono
A
B
DIAGONAIS
C
F
E
D
São os segmentos de reta que ligam
um vértice a outro vértice não
consecutivo a ele:
● AC
● AD
Elementos de um polígono
A
B
DIAGONAIS
C
F
E
D
São os segmentos de reta que ligam
um vértice a outro vértice não
consecutivo a ele:
● AC
● AD
● AE
Elementos de um polígono
A
B
DIAGONAIS
C
F
E
D
São os segmentos de reta que ligam
um vértice a outro vértice não
consecutivo a ele:
● AC
● AD
● AE
● BD
Elementos de um polígono
A
B
DIAGONAIS
C
F
E
D
São os segmentos de reta que ligam
um vértice a outro vértice não
consecutivo a ele:
● AC
● AD
● AE
● BD
● BE
Elementos de um polígono
A
B
DIAGONAIS
C
F
E
D
São os segmentos de reta que ligam
um vértice a outro vértice não
consecutivo a ele:
● AC
● AD
● AE
● BD
● BE
● BF
Elementos de um polígono
A
B
DIAGONAIS
C
F
E
D
São os segmentos de reta que ligam
um vértice a outro vértice não
consecutivo a ele:
● AC
● AD
● AE
● BD
● BE
● BF
● CE
Elementos de um polígono
A
B
DIAGONAIS
C
F
E
D
São os segmentos de reta que ligam
um vértice a outro vértice não
consecutivo a ele:
● AC
● AD
● AE
● BD
● BE
● BF
● CE
● CF
Elementos de um polígono
A
B
DIAGONAIS
C
F
E
D
São os segmentos de reta que ligam
um vértice a outro vértice não
consecutivo a ele:
● AC
● AD
● AE
● BD
● BE
● BF
● CE
● CF
● DF
Elementos de um polígono
A
B
ÂNGULOS INTERNOS
São os ângulos formados por dois
lados consecutivos contidos na
região interna do polígono:
C
F
E
D
Elementos de um polígono
A
B
ÂNGULOS INTERNOS
^
B
C
F
E
D
São os ângulos formados por dois
lados consecutivos contidos na
região interna do polígono:
^ ou B
^
● ABC
Elementos de um polígono
A
B
ÂNGULOS INTERNOS
^
B
^
C
F
C
São os ângulos formados por dois
lados consecutivos contidos na
região interna do polígono:
^ ou B
^
● ABC
●
E
D
^ ou C
^
BCD
Elementos de um polígono
A
B
ÂNGULOS INTERNOS
^
B
^
C
F
C
São os ângulos formados por dois
lados consecutivos contidos na
região interna do polígono:
^ ou B
^
● ABC
●
^
D
E
●
D
^ ou C
^
BCD
^ ou D
^
CDE
Elementos de um polígono
A
B
ÂNGULOS INTERNOS
^
B
^
C
F
C
São os ângulos formados por dois
lados consecutivos contidos na
região interna do polígono:
^ ou B
^
● ABC
●
^
E
E
^
D
●
D
●
^ ou C
^
BCD
^ ou D
^
CDE
^ ou E
^
DEF
Elementos de um polígono
A
B
ÂNGULOS INTERNOS
^
B
F
^
F
^
C
C
São os ângulos formados por dois
lados consecutivos contidos na
região interna do polígono:
^ ou B
^
● ABC
●
^
E
E
^
D
●
D
●
●
^ ou C
^
BCD
^ ou D
^
CDE
^ ou E
^
DEF
^ ou F
^
EFA
Elementos de um polígono
A
B
^
A
F
ÂNGULOS INTERNOS
^
B
^
F
^
C
C
São os ângulos formados por dois
lados consecutivos contidos na
região interna do polígono:
^ ou B
^
● ABC
●
^
E
E
^
D
●
D
●
●
●
^ ou C
^
BCD
^ ou D
^
CDE
^ ou E
^
DEF
^ ou F
^
EFA
^ ou A
^
FAB
Elementos de um polígono
ÂNGULOS EXTERNOS
São os ângulos formados por um
lado e pelo prolongamento do lado
consecutivo a este:
Elementos de um polígono
ÂNGULOS EXTERNOS
São os ângulos formados por um
lado e pelo prolongamento do lado
consecutivo a este:
^ ou a
^
● PAQ
Elementos de um polígono
ÂNGULOS EXTERNOS
São os ângulos formados por um
lado e pelo prolongamento do lado
consecutivo a este:
^ ou a
^
● PAQ
●
^ ou b
^
QBC
Elementos de um polígono
ÂNGULOS EXTERNOS
São os ângulos formados por um
lado e pelo prolongamento do lado
consecutivo a este:
^ ou a
^
● PAQ
●
●
^ ou b
^
QBC
^ ou c^
RCD
Elementos de um polígono
ÂNGULOS EXTERNOS
São os ângulos formados por um
lado e pelo prolongamento do lado
consecutivo a este:
^ ou a
^
● PAQ
●
●
●
^ ou b
^
QBC
^ ou c^
RCD
^ ou d
^
SDE
Elementos de um polígono
ÂNGULOS EXTERNOS
São os ângulos formados por um
lado e pelo prolongamento do lado
consecutivo a este:
^ ou a
^
● PAQ
●
●
●
●
^ ou b
^
QBC
^ ou c^
RCD
^ ou d
^
SDE
^ ou e
^
TEF
Elementos de um polígono
ÂNGULOS EXTERNOS
São os ângulos formados por um
lado e pelo prolongamento do lado
consecutivo a este:
^ ou a
^
● PAQ
●
●
●
●
●
^ ou b
^
QBC
^ ou c^
RCD
^ ou d
^
SDE
^ ou e
^
TEF
^ ou F
^
UFA
Em qualquer polígono convexo,
o número de vértices, de lados,
de ângulos internos e de
ângulos externos é o mesmo.
Nome dos polígonos quanto ao número de lados
Número de lados
Nome do polígono
3 (tri)
Triângulos
4 (quadri)
Quadrilátero
5 (penta)
Pentágono
6 (hexa)
Hexágono
7 (hepta)
Heptágono
8 (octo)
Octógono
9 (enea)
Eneágono
10 (deca)
Decágono
11 (um a mais do que dez)
Undecágono
12 (dois a mais do que dez)
Dodecágono
15 (cinco a mais do que dez)
Pentadecágono
20 (icos)
Icoságono
Polígonos Regulares

Um polígono convexo é denominado regular quanto todos
os seus lados são congruentes e todos os seus ângulos
internos são congruentes.
Triângulos
Triângulo

Triângulo é um polígono que tem três lados
(consequentemente tem três vértices e três ângulos
internos).
Ângulo externo de um triângulo


É cada ângulo adjacente e
suplementar a um ângulo
interno do triângulo;
São três os ângulos externos
em um triângulo.
Ângulo externo de um triângulo


É cada ângulo adjacente e
suplementar a um ângulo
interno do triângulo;
São três os ângulos externos
em um triângulo.
Classificação dos triângulos
Quanto aos ângulos
●
Acutângulo
Classificação dos triângulos
Quanto aos ângulos
●
Acutângulo
–
3 ângulos agudos
Classificação dos triângulos
Quanto aos ângulos
●
Acutângulo
–
●
3 ângulos agudos
Retângulo
Classificação dos triângulos
Quanto aos ângulos
●
Acutângulo
–
●
3 ângulos agudos
Retângulo
–
2 ângulos agudos e
–
1 ângulo reto
Classificação dos triângulos
Quanto aos ângulos
●
Acutângulo
–
●
●
3 ângulos agudos
Retângulo
–
2 ângulos agudos e
–
1 ângulo reto
Obtusângulo
Classificação dos triângulos
Quanto aos ângulos
●
Acutângulo
–
●
●
3 ângulos agudos
Retângulo
–
2 ângulos agudos e
–
1 ângulo reto
Obtusângulo
–
2 ângulos agudos e
–
1 ângulo obtuso
Classificação dos triângulos
Quanto aos lados
●
Equilátero
–
3 lados iguais
Classificação dos triângulos
Quanto aos lados
●
Equilátero
–
●
3 lados iguais
Isósceles
–
2 lados iguais
Classificação dos triângulos
Quanto aos lados
●
Equilátero
–
●
Isósceles
–
●
3 lados iguais
2 lados iguais
Escaleno
–
0 lados iguais
Classificação dos triângulos
Quanto aos ângulos
●
Acutângulo
–
●
●
Quanto aos lados
●
3 ângulos agudos
Retângulo
–
2 ângulos agudos e
–
1 ângulo reto
Obtusângulo
–
2 ângulos agudos e
–
1 ângulo obtuso
Equilátero
–
●
Isósceles
–
●
3 lados iguais
2 lados iguais
Escaleno
–
0 lados iguais
Propriedades dos triângulos
Quanto aos lados
Os 3 ângulos internos
possuem 60º.
●
Equilátero
–
●
3 lados iguais
Isósceles
–
2 lados iguais
Propriedades dos triângulos
Quanto aos lados
●
Equilátero
–
Os ângulos da base
têm a mesma medida.
●
3 lados iguais
Isósceles
–
2 lados iguais
Propriedades dos triângulos
Triângulo Retângulo
AB
Teorema de Pitágoras:
AB² = BC² + AC²
BC
AC
Exercícios
Fonte: https://static01.nyt.com/images/2007/11/08/opinion/08opart.large.jpg

(Exercício 1) Dado o triângulo retângulo ABC, sendo BC a hipotenusa
e AB e AC os catetos, sabemos BC² = AB² + AC², pelo teorema de
Pitágoras. Encontre uma relação entre os lados de um triângulo, similar
à anterior, no caso de o triângulo ser acutângulo. Faça o mesmo para o
triângulo obtusângulo.

(Exercício 1) Dado o triângulo retângulo ABC, sendo BC a hipotenusa
e AB e AC os catetos, sabemos BC² = AB² + AC², pelo teorema de
Pitágoras. Encontre uma relação entre os lados de um triângulo, similar
à anterior, no caso de o triângulo ser acutângulo. Faça o mesmo para o
triângulo obtusângulo.
Gabarito:
Triângulo Acutângulo: BC² < AB² + AC²
Triângulo Obtusângulo: BC² > AB² + AC²

(Exercício 2) Aplique as relações encontradas no exercícios anterior
para classificar os seguintes triângulos, quanto aos ângulos:
a)ABC, de lados 20, 15 e 9.
b)DEF, de lados 28, 35, 21.
c) GHI, de lados
,
d)JKL, de lados 9, 5 e 5.
e)MNO, de lados 4, 4 e 4.
e
.

(Exercício 2) Aplique as relações encontradas no exercícios anterior
para classificar os seguintes triângulos, quanto aos ângulos:
Gabarito:
a)ABC, de lados 20, 15 e 9.
a) Triângulo Obtusângulo
b)DEF, de lados 28, 35, 21.
b) Triângulo Retângulo
c) GHI, de lados
,
e
.
c) Triângulo Acutângulo
d)JKL, de lados 9, 5 e 5.
d) Triângulo Obtusângulo
e)MNO, de lados 4, 4 e 4.
e) Triângulo Acutângulo
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo

A soma das medidas dos ângulos internos de um
triângulo é igual a 180ª.
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo




Qualquer que seja o triângulo, é possível
conduzirmos por um de seus vértices uma
reta (beste caso, r) que seja paralela à reta
(s) que contém o lado oposto ao vértice
considerado.
Assim, os outros lados do triângulo resultam
transversais das paralelas r e s,
determinando ângulos alternos internos:
γ e γ’ e β e β’. Logo,γ = γ’ e β =e β’ .
Como α +β’ + γ’ = 180º, então α +β + γ =
180º.
Observe que o esquema é um apoio para
conduzir o raciocínio. Em momento algum
“medimos” qualquer coisa nesse esquema.
Toda a argumentação é desenvolvida de
maneira genérica, ou seja, para qualquer
triângulo. Isso é o que chamamos de
raciocínio dedutivo.
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo




Qualquer que seja o triângulo, é possível
conduzirmos por um de seus vértices uma
reta (beste caso, r) que seja paralela à reta
(s) que contém o lado oposto ao vértice
considerado.
Assim, os outros lados do triângulo resultam
transversais das paralelas r e s,
determinando ângulos alternos internos:
γ e γ’ e β e β’. Logo,γ = γ’ e β =e β’ .
Como α +β’ + γ’ = 180º, então α +β + γ =
180º.
Observe que o esquema é um apoio para
conduzir o raciocínio. Em momento algum
“medimos” qualquer coisa nesse esquema.
Toda a argumentação é desenvolvida de
maneira genérica, ou seja, para qualquer
triângulo. Isso é o que chamamos de
raciocínio dedutivo.
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo




Qualquer que seja o triângulo, é possível
conduzirmos por um de seus vértices uma
reta (beste caso, r) que seja paralela à reta
(s) que contém o lado oposto ao vértice
considerado.
Assim, os outros lados do triângulo resultam
transversais das paralelas r e s,
determinando ângulos alternos internos:
γ e γ’ e β e β’. Logo,γ = γ’ e β =e β’ .
Como α +β’ + γ’ = 180º, então α +β + γ =
180º.
Observe que o esquema é um apoio para
conduzir o raciocínio. Em momento algum
“medimos” qualquer coisa nesse esquema.
Toda a argumentação é desenvolvida de
maneira genérica, ou seja, para qualquer
triângulo. Isso é o que chamamos de
raciocínio dedutivo.
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo




Qualquer que seja o triângulo, é possível
conduzirmos por um de seus vértices uma
reta (beste caso, r) que seja paralela à reta
(s) que contém o lado oposto ao vértice
considerado.
Assim, os outros lados do triângulo resultam
transversais das paralelas r e s,
determinando ângulos alternos internos:
γ e γ’ e β e β’. Logo,γ = γ’ e β =e β’ .
Como α +β’ + γ’ = 180º, então α +β + γ =
180º.
Observe que o esquema é um apoio para
conduzir o raciocínio. Em momento algum
“medimos” qualquer coisa nesse esquema.
Toda a argumentação é desenvolvida de
maneira genérica, ou seja, para qualquer
triângulo. Isso é o que chamamos de
raciocínio dedutivo.
Referência

Dante, Luiz Roberto. "Matemática: contexto e aplicações."
São Paulo: Ática 3 (2010).