Geometria Plana

Geometria Plana
1. (Uerj 2015) Uma chapa de aço com a forma de um
setor circular possui raio R e perímetro 3R, conforme
ilustra a imagem.
4. (Fgv 2014) A figura abaixo
representa a face superior de um
recipiente em forma de cubo de lado
igual a L.
A área do setor equivale a:
a) R2
b)
R2
4
c)
R2
2
d)
3R2
2
2. (Upe 2014) Um triângulo UPE é retângulo, as
medidas de seus lados são expressas, em
centímetros, por números naturais e formam uma
progressão aritmética de razão 5. Quanto mede a área
do triângulo UPE?
2
a) 15 cm
2
b) 25 cm
2
c) 125 cm
2
d) 150 cm
2
e) 300 cm
3. (Upf 2014) A figura a seguir representa, em
sistemas coordenados com a mesma escala, os
gráficos das funções reais f e g, com f(x) = x 2 e
g(x) = x.
Esta face está parcialmente tampada por uma placa
de metal (área em cinza) e parcialmente destampada
(área em branco), sendo AE = AF = L / 2. João e
Maria arremessam bolinhas de diâmetro desprezível
sobre essa face. Considere que a probabilidade de a
bolinha atingir qualquer região dessa face é
proporcional à área da região e que os arremessos
são realizados de forma independente.
a) Dado que uma bolinha arremessada por João caia
na região do quadrado ABCD, qual é a
probabilidade de que passe diretamente pela parte
branca (destampada)?
b) Se João arremessar uma bolinha e Maria
arremessar outra, dado que em ambos os
lançamentos as bolinhas caiam na região do
quadrado ABCD, qual é a probabilidade de que ao
menos uma passe diretamente pela parte branca?
c) Se João efetuar seis arremessos, e em todos eles a
bolinha cair na região do quadrado ABCD, qual é a
probabilidade de que em exatamente 4 desses
arremessos a bolinha passe diretamente pela parte
branca?
5. (Uece 2014) No triângulo OYZ, os lados OY e OZ
têm medidas iguais. Se W é um ponto do lado OZ tal
que os segmentos YW, WO e YZ têm a mesma
medida, então, a medida do ângulo YÔZ é
a) 46°.
b) 42°.
c) 36°.
d) 30°.
Sabendo que a região poligonal T demarca um
trapézio de área igual a 160, o número real c é:
a) 2
b) 1,5
c) 2
d) 1
e) 0,5
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6. (Ifsc 2014) Durante uma queda de luz, Carla e
Sabrina resolveram brincar fazendo desenhos com as
sombras das mãos. Para isso, pegaram duas
lanternas diferentes, apontando os feixes de luz para a
parede BC. Márcio, que estava no andar superior,
observou tudo. A figura a seguir mostra a visão que
Márcio tinha da situação. Dados: o ângulo entre as
duas paredes CD e BC é 90° e DC=BC, sendo D o
ponto onde Carla está e A o ponto onde se encontra
Sabrina. Também sabemos que BEC vale 75°.
Página 1
b) 32°.
c) 142°.
d) 148°.
e) 24°.
Com base nas informações, analise as proposições
abaixo e assinale a soma da(s) CORRETA(S).
01) O ângulo BDC vale 45°.
02) O ângulo BAC vale 80°.
04) O ângulo BCE vale 60°.
08) O ângulo CED vale 105°.
16) O ângulo ABE vale 80°.
32) O ângulo ECD vale 60°.
9. (Ufsc 2014) Duas cidades, marcadas no desenho
abaixo como A e B, estão nas margens retilíneas e
opostas de um rio, cuja largura é constante e igual a
2,5 km, e a distâncias de 2,5 km e de 5 km,
respectivamente, de cada uma das suas margens.
Deseja-se construir uma estrada de A até B que, por
razões de economia de orçamento, deve cruzar o rio
por uma ponte de comprimento mínimo, ou seja,
perpendicular às margens do rio. As regiões em cada
lado do rio e até as cidades são planas e disponíveis
para a obra da estrada. Uma possível planta de tal
estrada está esboçada na figura abaixo em linha
pontilhada:
7. (Espcex (Aman) 2014) As regras que normatizam
as construções em um condomínio definem que a
área construída não deve ser inferior a 40% da área
do lote e nem superior a 60% desta. O proprietário de
um lote retangular pretende construir um imóvel de
formato trapezoidal, conforme indicado na figura.
Considere que, na figura, o segmento HD é paralelo a
AC e a distância HK ' = 18km.
Calcule a que distância, em quilômetros, deverá estar
a cabeceira da ponte na margem do lado da cidade B
(ou seja, o ponto D) do ponto K, de modo que o
percurso total da cidade A até a cidade B tenha
comprimento mínimo.
Para respeitar as normas acima definidas, assinale o
intervalo que contém todos os possíveis valores de x.
a) [6, 10]
b) [8, 14]
c) [10, 18]
d) [16, 24]
e) [12, 24]
10. (Espm 2014) Um avião voava a uma altitude e
velocidade constantes. Num certo instante, quando
estava a 8 km de distância de um ponto P, no solo, ele
podia ser visto sob um ângulo de elevação de 60° e,
dois minutos mais tarde, esse ângulo passou a valer
30°, conforme mostra a figura abaixo.
8. (G1 - utfpr 2014) A medida de y na figura, em
graus, é:
a) 42°.
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A velocidade desse avião era de:
a) 180 km/h
b) 240 km/h
c) 120 km/h
d) 150 km/h
Página 2
e) 200 km/h
11. (Mackenzie 2014) Na figura abaixo, a e b são
retas paralelas.
A afirmação correta a respeito do número que
expressa, em graus, a medida do ângulo α é
a) um número primo maior que 23.
b) um número ímpar.
c) um múltiplo de 4.
d) um divisor de 60.
e) um múltiplo comum entre 5 e 7.
12. (Cefet MG 2014) A figura abaixo tem as seguintes
características:
- o ângulo Ê é reto;
- o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BD;
- os segmentos AE, BD e DE, medem,
respectivamente, 5, 4 e 3.
O segmento AC, em unidades de comprimento, mede
a) 8.
b) 12.
c) 13.
d) 61.
Sabendo que o perímetro do polígono
ABCDE é 456 cm e CD mede 68 cm,
qual é a medida do lado BC?
a) 118 cm
b) 126 cm
c) 130 cm
d) 142 cm
14. (Uece 2014) Se, em um polígono convexo, o
número de lados n é um terço do número de
diagonais, então o valor de n é
a) 9.
b) 11.
c) 13.
d) 15.
15. (G1 - ifsp 2014) Considerando que as medidas de
dois ângulos opostos de um losango são dadas, em
graus, por 3x + 60° e 135° − 2x, a medida do menor
ângulo desse losango é
a) 75°.
b) 70°.
c) 65°.
d) 60°.
e) 55°.
16. (G1 - cftrj 2014) Quais são, respectivamente, as
medidas dos ângulos X e Y na figura abaixo, sabendo
que E é o ponto médio do segmento AD e que BCDE
é um losango?
17. (Upe 2014) A figura a seguir mostra uma das
peças do jogo “Pentaminós”.
e) 5 10.
13. (G1 - cftrj 2014) Na figura abaixo, ABCE é um
retângulo e CDE é um triângulo equilátero.
Cada peça é formada por cinco quadradinhos, e o
lado de cada quadradinho mede 5cm.
Com 120 dessas peças, Jorge montou uma faixa,
encaixando perfeitamente as peças como mostra a
figura a seguir:
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Quanto mede o perímetro dessa faixa?
a) 1 200 cm
b) 1 500 cm
c) 3 000 cm
d) 3 020 cm
e) 6 000 cm
e BD. Nas condições apresentadas na
figura, determine o valor de x.
18. (G1 - cftmg 2014) Nessa figura, ABCD é um
retângulo cujos lados medem b e 2b. O ponto R
pertence aos segmentos AC e BD e, ARDS é um
quadrilátero em que M é ponto médio do segmento
RS.
21. (G1 - cftmg 2014) Considere a figura em que r // s
// t .
O segmento MP, expresso em função de b, é
a)
b 5
.
5
b 5
b)
.
3
c)
2b 5
.
3
d)
3b 5
.
5
O valor de x é
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
22. (G1 - ifce 2014)
19. (G1 - cftrj 2014) Na figura abaixo, ABCD é um
paralelogramo, as retas r e s são paralelas, D e E são
pontos de s, F e G são pontos de r, F é um ponto de
ˆ = 30° e CDE
ˆ = 120°. Quanto mede, em
AD, ABC
ˆ
graus, o ângulo DFG?
O valor do lado de um quadrado inscrito em um
triângulo retângulo, conforme o esboço mostrado na
figura, é
a) 10.
b) 8.
c) 6.
d) 4.
e) 2.
a) 120°
b) 130°
c) 140°
d) 150°
23. (Pucrs 2014) Considere a imagem abaixo, que
representa o fundo de uma piscina em forma de
triângulo com a parte mais profunda destacada.
20. (Unesp 2014) Em um plano horizontal encontramse representadas uma circunferência e as cordas AC
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O valor em metros da medida “x” é
a) 2
b) 2,5
c) 3
d) 4
e) 6
24. (G1 - cftmg 2014) Numa festa junina, além da
tradicional brincadeira de roubar bandeira no alto do
pau de sebo, quem descobrisse a sua altura ganharia
um prêmio. O ganhador do desafio fincou,
paralelamente a esse mastro, um bastão de 1m.
Medindo-se as sombras projetadas no chão pelo
bastão e pelo pau, ele encontrou, respectivamente, 25
dm e 125 dm. Portanto, a altura do “pau de sebo”, em
metros, é
a) 5,0.
b) 5,5.
c) 6,0.
d) 6,5.
25. (Fgv 2014) a) Para medir a largura x de um rio
sem necessidade de cruzá-lo, foram feitas várias
medições como mostra a figura abaixo. Calcule a
largura x do rio.
26. (G1 - cftmg 2014) A figura a seguir apresenta um
quadrado DEFG e um triângulo ABC cujo lado BC
mede 40 cm e a altura AH, 24 cm.
A medida do lado desse quadrado é um número
a) par.
b) primo.
c) divisível por 4.
d) múltiplo de 5.
27. (Upf 2014) O triângulo ABC mostrado a seguir foi
dividido em três figuras: I, II e III.
b) Demonstre que a distância do vértice B ao
baricentro M de um triângulo é o dobro da distância
do ponto E ao baricentro M.
Então, é correto afirmar que:
a) A área da figura II é maior do que a área da figura I.
b) A área da figura II é menor do que a área da figura
I.
c) A área da figura I é o dobro da área da figura III.
d) A área da figura I é igual à área da figura II.
e) A área da figura III é 1/3 da área da figura I.
28. (Uem 2014) Considere um triângulo ABC
retângulo em A, a circunferência λ que passa pelos
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pontos A, B e C e considere D o ponto de BC de modo
que AD é uma altura do triângulo ABC. Sendo o ponto
O o centro de λ, assinale o que for correto.
01) A mediana relativa ao lado BC mede metade do
comprimento do lado BC.
02) O comprimento do lado BC é igual à soma dos
comprimentos dos lados AB e AC.
04) Os triângulos ABC, DBA e DAC são semelhantes.
08) O segmento BC é um diâmetro da circunferência
λ.
16) Se o triângulo ABC é isósceles, sua área
corresponde a mais de um terço da área do círculo
delimitado por λ.
29. (Uece 2014) Sejam XY um segmento de reta cujo
comprimento é 4 m e Z um ponto da mediatriz do
segmento XY cuja distância ao segmento XY é 6 m.
Se P é um ponto equidistante de X, Y e Z, então a
distância, em metros, de P ao segmento XY é igual a
8
a) .
3
7
b) .
3
9
c) .
4
7
d) .
4
30. (G1 - ifsp 2014) Um restaurante foi representado
em sua planta por um retângulo PQRS. Um arquiteto
dividiu sua área em: cozinha (C), área de atendimento
ao público (A) e estacionamento (E), como mostra a
figura abaixo.
Sabendo que P, H e R são colineares, que PH mede
9 m e que SH mede 12 m, a área total do restaurante,
em metros quadrados, é
a) 150.
b) 200.
c) 250.
d) 300.
e) 350.
31. (G1 - ifce 2014) Na figura abaixo, o valor da área
do quadrado de lado “a”, em função dos segmentos
“b” e “c”, é
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2
2
a) b + c
2
2
b) b - c
2 2
c) b c
2
2
d) c - b
2 2
e) b /c
32. (Ita 2014) Considere o triângulo ABC retângulo
em A. Sejam AE e AD a altura e a mediana relativa à
hipotenusa BC, respectivamente. Se a medida de BE
é
(
)
2 − 1 cm e a medida de AD é 1 cm, então AC
mede, em cm,
a) 4 2 − 5.
b) 3 − 2.
c)
d) 3
6 − 2 2.
(
)
2 −1 .
e) 3 4 2 − 5.
33. (Cefet MG 2014) Nesta figura, ABCD é um
retângulo e DH é um arco de circunferência cujo
centro é o ponto M.
O segmento EH, em unidades de comprimento, mede
−1 + 5
.
2
2+ 5
b)
.
2
1
c) .
3
a)
Página 6
1
.
2
5
e)
.
2
d)
34. (Uema 2014) A figura abaixo representa uma
quadra de futebol de salão com a bola localizada no
ponto P, conforme descrito na figura de vértice ABCD.
No ponto C, há um jogador que receberá a bola
chutada a partir de onde ele está.
porém com 250 m2 de área, em quanto
deve ser aumentado, em metros, o
valor do parâmetro x ?
a) 3
b) 5
c) 8
d) 9
e) 14
38. (Ufsc 2014) No livro A hora da estrela, de Clarice
Lispector, a personagem Macabéa é atropelada por
um veículo cuja logomarca é uma estrela inscrita em
uma circunferência, como mostra a figura.
Determine a distância x do jogador (ponto C) à bola
(ponto P) em unidade de comprimento.
35. (G1 - ifsp 2014) Ao ligar, por segmentos de retas,
os pontos médios dos lados de um quadrado de lado
60 cm, obtém-se um quadrilátero, cujo perímetro é,
em centímetros,
a) 30 2.
b) 60 2.
c) 90 2.
d) 120 2.
e) 150 2.
36. (Uea 2014) Caminhando 100 metros pelo
contorno de uma praça circular, uma pessoa descreve
um arco de 144°. Desse modo, é correto afirmar que a
medida, em metros, do raio da circunferência da praça
é
a) 125 π
175
b)
π
125
c)
π
250
d)
π
e) 250 π
37. (Ucs 2014) As medidas dos lados de um terreno
A, de 50 m2 , em forma de retângulo, são dadas, em
metros, por 3x − 2 e x + 1.
Pretendendo-se comprar um terreno B com a mesma
forma e a mesma relação entre as medidas dos lados,
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Se os pontos A, B e C dividem a circunferência em
arcos de mesmo comprimento e a área do triângulo
ABC é igual a 27 3 cm2 , determine a medida do raio
desta circunferência em centímetros.
39. (Ufg 2014) Com o objetivo de prevenir assaltos, o
dono de uma loja irá instalar uma câmera de
segurança. A figura a seguir representa uma planta
baixa da loja, sendo que a câmera será instalada no
ponto C e as áreas hachuradas representam os locais
não cobertos por essa câmera.
De acordo com essas informações, a área a ser
coberta pela câmera representa, aproximadamente,
a) 90,90% da área total da loja.
b) 91,54% da área total da loja.
c) 95,45% da área total da loja.
d) 96,14% da área total da loja.
e) 97,22% da área total da loja.
Página 7
40. (Espm 2014) Na figura abaixo, ABCD é um
e) (XY)%.
2
paralelogramo de área 24 cm . M e N são pontos
médios de BC e CD, respectivamente.
A área do polígono AMND é igual a:
2
a) 20 cm
2
b) 16 cm
2
c) 12 cm
2
d) 15 cm
2
e) 18 cm
43. (G1 - cftmg 2014) Um paisagista
deseja cercar um jardim quadrado de
2
25m . Sabendo-se que o metro linear da grade custa
R$23,25 e que foi pago um adicional de R$1,75 por
metro linear de grade instalado, a despesa com a
cerca, em reais, foi de
a) 420,25.
b) 450,00.
c) 500,00.
d) 506,75.
44. (Upe 2014) A figura a seguir representa um
hexágono regular de lado medindo 2 cm e um círculo
cujo centro coincide com o centro do hexágono, e cujo
diâmetro tem medida igual à medida do lado do
hexágono.
41. (Ufrgs 2014) A figura abaixo é formada por oito
semicircunferências, cada uma com centro nos pontos
médios dos lados de um octógono regular de lado 2.
Considere: π ≅ 3 e
3 ≅ 1,7
Nessas condições, quanto mede a área da superfície
pintada?
2
a) 2,0 cm
2
b) 3,0 cm
2
c) 7,2 cm
2
d) 8,0 cm
2
e) 10,2 cm
A área da região sombreada é
a) 4 π + 8 + 8 2 .
b) 4 π + 8 + 4 2 .
c) 4 π + 4 + 8 2 .
d) 4 π + 4 + 4 2 .
45. (Pucrj 2014) Fabio tem um jardim ACDE com o
lado AC medindo 15 m e o lado AE medindo 6 m, A
distância entre A e B é 7 m. Fabio quer construir uma
cerca do ponto A ao ponto D passando por B. Veja a
figura abaixo.
e) 4 π + 2 + 8 2 .
42. (Insper 2014) Um retângulo tem comprimento X e
largura Y, sendo X e Y números positivos menores do
que 100. Se o comprimento do retângulo aumentar
Y% e a largura aumentar X%, então a sua área
aumentará
XY 

a)  X + Y +
 %.
100


X+Y

b)  XY +
 %.
100 

 X + Y + XY 
c) 
 %.
100


d) (X + Y)%.
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a) Se a cerca usada entre os pontos A e B custa 100
reais o metro e a cerca entre os pontos B e D custa
200 reais o metro, qual o custo total da cerca?
b) Calcule a área da região hachurada ABDE.
c) Considere o triângulo BCD, apresentado na figura
abaixo. Sabendo-se que o triângulo BB’D’ possui
Página 8
cateto BB’ = 2BC, calcule a área do triângulo
BB’D’.
46. (Uerj 2014) Considere uma placa retangular
ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 40cm.
Um estudante, para construir um par de esquadros,
fez dois cortes retos nessa placa nas direções AE e
ˆ = 45° e BAC
ˆ = 30°, conforme
AC, de modo que DAE
ilustrado a seguir:
Após isso, o estudante descartou a parte triangular
CAE, restando os dois esquadros.
Admitindo que a espessura do acrílico seja
desprezível e que 3 = 1,7, a área, em cm2 , do
triângulo CAE equivale a:
a) 80
b) 100
c) 140
d) 180
decoração. A área, em metros
quadrados, a ser decorada é igual a
(use 3 = 1,7).
a) 10,0.
b) 9,5.
c) 8,5.
d) 8,0.
e) 7,0.
49. (G1 - ifsp 2014) Uma praça retangular é
contornada por uma calçada de 2 m de largura e
possui uma parte interna retangular de dimensões 15
m por 20 m, conforme a figura.
Nessas condições, a área total da calçada é, em
metros quadrados, igual a
a) 148.
b) 152.
c) 156.
d) 160.
e) 164.
50. (G1 - cftmg 2014) A figura 1 é uma representação
plana da “Rosa dos Ventos”, composta pela
justaposição de quatro quadriláteros equivalentes
mostrados na figura 2.
47. (Fgv 2014) Um triângulo ABC é retângulo em A.
$ = 30°, pode-se afirmar
Sabendo que BC = 5 e ABC
que a área do triângulo ABC é:
a) 3,025 3
b) 3,125 3
c) 3,225 3
d) 3,325 3
e) 3,425 3
48. (Uema 2014) Analise a situação a seguir: Um
arquiteto foi contratado para decorar a entrada de um
templo religioso, no formato de um triângulo
equilátero, com uma porta de madeira, cujas
dimensões medem 1,05m por 2,5m, inserida neste
triângulo. Sabe-se ainda que a altura do triângulo
mede 4,25m e que a área da porta não receberá
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Com base nesses dados, a área da parte sombreada
2
da figura 1, em cm , é igual a
a) 12.
b) 18.
c) 22.
d) 24.
Página 9
Resolução das Questões
Resposta da questão 1:
[C]
c) Sendo o acerto de uma bolinha na
parte branca considerado sucesso,
tem-se que o resultado pedido é
dado por
4
2
6  1   3 
6!
1 9
⋅
⋅
 ⋅  ⋅  =
4! ⋅ 2! 256 16
 4  4   4 
A área do setor é dada por
9
4096
≅ 3,30%.
= 15 ⋅

R ⋅ AB
R ⋅ R R2
.
=
=
2
2
2
Resposta da questão 2:
[D]
Resposta da questão 5:
[C]
Sejam l, l + 5 e l + 10 as medidas dos lados do
triângulo UPE. Logo, pelo Teorema de Pitágoras, vem
( l + 10)2 = l2 + (l + 5)2 ⇔ l2 + 20l + 100 = l2 + l2 + 10l + 25
⇔ l2 − 10l − 75 = 0
⇒ l = 15 cm.
Em consequência, o resultado pedido é
15 ⋅ 20
= 150 cm2 .
2
Resposta da questão 3:
[C]
Temos f(c) = c 2 e f(3c) = 9c 2 , com c > 0. Logo,
sendo g a função identidade, vem c 2 = g(c 2 ) e
2
No ΔYWO : x = 2 ⋅ q (ângulo externo)
No ΔOYZ : q+ 2 x = 180° ⇒ 5 ⋅ q = 180° ⇒ q = 36°
Logo,
YÔZ : 36° .
2
9c = g(9c ).
Portanto, se a área do trapézio T vale 160, então
1
⋅ (9c 2 + c 2 ) ⋅ (9c 2 − c 2 ) = 160 ⇔ 40c 4 = 160
2
⇒ c = 2.
Resposta da questão 4:
a) A probabilidade pedida é dada por
1 L L
⋅
⋅
2 2 2 1
= .
4
L2
b) A probabilidade de que as duas bolinhas atinjam a
parte tampada é igual a
2
1
9

.
1 −  =
 4
16
Portanto, a probabilidade de que ao menos uma
passe diretamente pela parte branca é
9
7
1−
=
.
16 16
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Resposta da questão 6:
01 + 04 + 08 = 13.
O triângulo DCB é isósceles, logo os ângulos que
conseguimos calcular são:
ˆ = BDC
ˆ = 45°
CBD
ˆ = 180° − 75° = 105°
DEC
ˆ = 180° − 45° − 75° = 60°
ECB
ECD = 90° − 60° = 30°
Portanto, as proposições [01], [04] e [08] são
verdadeiras e [02], [16] e [32] são falsas.
Resposta da questão 7:
[E]
Área do lote: 20.(12 + 18) = 600m
Área construída:
2
( x + 12).20
= 10 x + 120
2
De acordo com o enunciado, temos:
Página 10
40
60
⋅ 600 ≤ 10 x + 120 ≤
⋅ 600 ⇒ 240 ≤ 10 x + 120 ≤ 360 ⇒ 120 ≤ 10 x ≤ 240 ⇒ 12 ≤ x ≤ 24
100
100
8
= 240km h.
2
60
Portanto, x ∈ [12,24].
Resposta da questão 8:
[B]
6x + 4° = 2x + 100°
4x = 96°
Resposta da questão 11:
[D]
Os ângulos (60° − α + 4α ) = (60° + 3α ) e 2α + 90° são
alternos internos. Portanto,
60° + 3α = 2α + 90° ⇔ α = 30°,
x = 24°
Logo, y = 180° – ( 2 ⋅ 24° + 100° ) = 32°.
Obs: O formato da figura apresentada não condiz com
os cálculos obtidos acima.
Resposta da questão 9:
Considere a figura.
que é um divisor de 60.
Resposta da questão 12:
[E]
Desde que os triângulos ACE e BCD são
semelhantes por AA, vem
CD
CE
=
BD
AE
⇔
CD
=
CD + 3
⇔ CD = 12.
4
5
Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no
triângulo ACE, encontramos
2
2
2
2
AC = AE + CE ⇔ AC = 52 + 152
⇒ AC = 5 10.
O trajeto ACDB tem comprimento mínimo quando
B, D e H são colineares. Com efeito, se D' é um
suur
ponto da reta DK e C ' é o pé da perpendicular
suuur
baixada de D' sobre a reta HK ', então, pela
Desigualdade Triangular,
BD' + D'H = BD' + AC' > BD + DH = BH.
Resposta da questão 13:
[B]
Portanto, como os triângulos BDK e DHC são
semelhantes por AA, segue-se que
DK
CH
=
BK
CD
⇔
DK
18 − DK
=
5
2,5
⇔ DK = 12km.
AB = ED = CD = 68 e AE = BC = x
Resposta da questão 10:
[B]
Logo,
2x + 68 + 68 + 68 = 252
2x = 252
x = 126, ou seja, BC = 126 cm.
Seja P' o pé da perpendicular baixada de P sobre a
suuur

 = 60°. Daí, como P ' AP
reta AA '. É fácil ver que P ' AP
é ângulo externo do triângulo AA 'P segue-se que
 'P = 30°, o que implica em AA ' = AP = 8km.
AA
Resposta da questão 14:
[A]
Admitindo que n seja o número de lados de um
polígono e de o número de diagonais, temos:
Portanto, a velocidade do avião no trecho AA ' era de
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Página 11
n ⋅ (n − 3)
 1
n =   ⋅d ⇒ d = 3 ⋅n ⇒
= 3n ⇒ n2 − 3 ⋅ n = 6n ⇒ n2 − 9 ⋅ n = 0 ⇒
2
3
n = 0 (não convém) ou
n = 9.
Como M é ponto médio de SR,
 = 90° e AR = AD, segue-se que
AMS
ARDS é losango.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ADC,
Logo, o valor de n é 9.
Resposta da questão 15:
[A]
encontramos AC = b 5. Logo, AR = DS =
b 5
.
2
Portanto, como o produto dos catetos é igual ao
produto da hipotenusa pela altura, do triângulo MSD,
vem
b 5
b
⋅ MP = ⋅ b
2
2
b 5
.
⇔ MP =
5
DS ⋅ MP = MS ⋅ DM ⇔
3x + 60° = 135° − 2x
5x = 75°
x = 15°
α + 3 ⋅ 15° + 60 = 180° ⇒ α = 75°.
Resposta da questão 19:
[D]
Resposta da questão 16:
ˆ = 30° (ângulos opostos do paralelogramo)
ADC
ˆ = 30° + 120° = 150° (alternos internos)
GFD
Resposta da questão 20:
Utilizando a relação entre as cordas, temos:
y = 180° – 112° = 68°
$ = 68°.
Logo, BED
ˆ = x.
AE = EB, portanto, EBC
No triângulo AEB : 2x = 68°
Portanto, x = 34°.
2x ⋅ (x + 3) = x ⋅ (3x − 1)
2x 2 + 6x = 3x 2 − x
− x 2 + 7x = 0
Resolvendo a equação temos: x = 0 (não convém) ou
x = 7.
Resposta da questão 21:
[B]
Resposta da questão 17:
[D]
Aplicando o teorema de Tales na figura, temos:
Cada duas peças formam um retângulo de dimensões
10 cm × 25 cm. Portanto, o perímetro da faixa é dado
x
x+6
=
⇔ 2x2 + 7x = x2 + 8x + 12 ⇔ x 2 − x − 12 = 0 ⇔ x = 4
x + 2 2x + 7
por
120
⋅ 2 ⋅ 25 + 2 ⋅ 10 = 3020 cm.
2
ou
x = −3 (não convém)
Resposta da questão 18:
[A]
Portanto, x = 4.
Resposta da questão 22:
[D]
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Página 12
Considere a figura.
É fácil ver que os triângulos BFE e DGC são
semelhantes por AA. Portanto, se l é a medida do
lado do quadrado, temos
l 8
= ⇔ l2 = 16 ⇒ l = 4.
2 l
Resposta da questão 23:
[C]
De fato, sabendo que D e E são
pontos médios de AB e AC,
respectivamente, tem-se que DE é
base média do triângulo ABC e, portanto,
1
DE = ⋅ BC e DE  BC. Em consequência, os
2
triângulos DEM e BCM são semelhantes por AA.
Daí,
BM
ME
=
BC
BC
1
DE
ME
⋅ BC
2
⇔ BM = 2 ⋅ ME.
⇒
BM
=
Resposta da questão 26:
[D]
Seja l a medida do lado do quadrado DEFG.
Os triângulos ABC e AEF são semelhantes por AA.
Portanto,
l
24 − l
=
⇔ 120 − 5l = 3l
40
24
⇔ l = 15cm,
que é um múltiplo de 5.
O triângulo ADE é isósceles, logo AD = 8m.
O triângulo ABC é semelhante ao triângulo ADE,
portanto:
2
x
=
⇒ 8x = 24 ⇔ x = 3m
8 12
Resposta da questão 27:
[D]
Resposta da questão 24:
[A]
Sabendo que a altura é proporcional ao comprimento
da sombra projetada, segue-se que a altura h do pau
de sebo é dada por
h
1
=
⇔ h = 5 m.
125 25
Δ I ~ Δ III ⇒
Resposta da questão 25:
 ≡ BED
$ = 90°, é fácil ver que
a) Supondo que CAB
os triângulos ABC e EBD são semelhantes por
AA. Desse modo, temos
Calculando a área de cada figura, temos:
z ⋅ 2x
AI =
= 2xy
2
A II = 2x ⋅ y
AC
AB
x 24
=
⇔ =
2 2,5
ED BE
⇔ x = 19,2 m.
b) Queremos mostrar que BM = 2 ⋅ ME.
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A III =
z 2x
=
⇒ z = 2y
y
x
x⋅y
2
Portanto, a área da figura I é igual à área da figura II.
Resposta da questão 28:
01 + 04 + 08 = 13.
Página 13
12x = 32
x = 8/3
Resposta da questão 30:
[D]
[01] Verdadeira, pois AO = BC/2 (raio e diâmetro).
2
2
2
[02] Falsa, pois BC = AB + AC .
[04] Verdadeira. Observe que os ângulos são,
respectivamente, congruentes.
No ΔPHS: PS2 = 92 + 122 ⇒ PS = 15m.
[08] Verdadeira. BÂC = 90°, portanto, o arco
)
(BPC) = 180°, logo BC é diâmetro.
ΔPHS − ΔPSR ⇒
[16] Falsa. Área máxima para o triângulo
Portanto, a área do terreno será:
ABC :
A = 20 ⋅ 15 = 300m2
π ⋅ R2
2 ⋅R ⋅R
= R2 e R 2 <
.
2
3
Resposta da questão 29:
[A]
9
12
=
⇒ SR = 20m.
15 SR
Resposta da questão 31:
[A]
2
A área A de um quadrado de lado a é dada por A = a .
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo DFH,
2
2
2
2
2
temos a = b + c . Portanto, A = a + b .
Resposta da questão 32:
[C]
Considerando x a distância do ponto P até o segmento
XY, temos:
No triângulo ABC, temos:
PZ = PX = 6 – x
AD = BD = CD = 1
Aplicando, agora, o Teorema de Pitágoras no triângulo
PMX:
AB2 = 2
(
)
2 −1
e
2
2
x + 2 = (6 – x)
2
2
x + 4 = 36 – 12x + x
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2
Página 14
Resposta da questão 35:
[D]
AC2 + AB2 = 22
AC = 4 − 2 ⋅ ( 2 − 1)
AC = 6 − 2 ⋅ 2
Resposta da questão 33:
[A]
Desde que AB  EM e E é o ponto médio de AD,
segue-se que EM é base média do triângulo ABD.
Assim, temos EM =
AB 1
= .
2
2
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo DEM,
vem
2
2
2
2
2
 1
DM = EM + DE ⇔ DM =   + 12
2
⇒ DM =
5
.
2
x = 302 + 302
x2 = 1800
x = 30 2
Logo, o perímetro P será dado por:
P = 4 ⋅ 30 2
Por conseguinte, dado que DH é um arco de
circunferência com centro em M, encontramos
P = 120 2 cm.
Resposta da questão 36:
[C]
−1 + 5
EH = HM − EM =
.
2
Resposta da questão 34:
Vamos supor que a locução: “figura de vértice
ABCD" signifique “figura de vértices A, B, C e D. ”
Admitindo R a medida do raio, temos:
4π
100
125
144° =
rad =
⇒R=
.
5
R
π
Resposta da questão 37:
[B]
Considere a figura.
Sendo 50 m2 a área do terreno retangular de
dimensões 3x − 2 e x + 1, segue que
(3x − 2)(x + 1) = 50 ⇔ 3x2 + x − 52 = 0
⇒ x = 4 m.
Se x = x0 é o valor de x tal que
(3x0 − 2)(x0 + 1) = 250, temos
Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos
APH, BPE, DPG e CPE, obtemos
m2 + r 2 = 25, n2 + r 2 = 4, n2 + s2 = 16 e m2 + s2 = x 2 .
Somando, vem
2(m2 + s2 ) + 2(n2 + r 2 ) = 45 + x 2 ⇔ 2x 2 + 8 = 45 + x 2
⇒ x = 37 u.c.
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3x02 + x0 − 252 = 0 ⇒ x0 = 9.
Portanto, o parâmetro x deve ser aumentado em
9 − 4 = 5 metros.
Resposta da questão 38:
Como os arcos determinados por A, B e C têm
mesmo comprimento, segue-se que o triângulo ABC
é equilátero. Além disso, sabendo que a área de um
triângulo equilátero inscrito numa circunferência de
3 3 2
⋅ r , temos
raio r é dada por
4
Página 15
3 3 2
⋅ r = 27 3 ⇒ r = 6 cm.
4
Resposta da questão 39:
[C]
(AMND) = (ABCD) − (ABM) − (MCN)
1
$ − 1 ⋅ CM ⋅ CN ⋅ senBCD

= 24 − ⋅ AB ⋅ BM ⋅ sen ABC
2
2
1
AD
 − 1 ⋅ AD ⋅ CD ⋅ sen(180° − ADC)

= 24 − ⋅ CD ⋅
⋅ sen ADC
2
2
2 2
2
1
 − 1 ⋅ AD ⋅ CD ⋅ sen ADC

= 24 − ⋅ AD ⋅ CD ⋅ sen ADC
4
8
= 24 − 6 − 3
= 15cm2 .
ΔABD ~ ΔDEC :
AB 1,5
0,682 ⋅ 1,5
=
⇒ AB = 0,682 e A ΔABD =
= 0,51 m2
2,5 5,5
2
ΔFGH ~ ΔHIC :
FG 1
0,667 ⋅ 1
= ⇒ FG = 0,667 e A ΔFGH =
= 0,33 m2
2
3
2
Resposta da questão 41:
[A]
Área da loja: A = 4 ⋅ 7 − 1,52 − 2 ⋅ 1 = 23,75 m2
Área não coberta pela câmera em porcentagem:
23,75 − 0,51 − 0,33
= 96,46%
23,75
Observação: O resultado apresentado não confere
com o gabarito oficial, pois o gabarito oficial
considerou que os ângulos BDA e FHG são
congruentes.
Resposta da questão 40:
[D]
Sendo ABCD um paralelogramo, é imediato que
AD = BC e AB = CD.
Como a área de ABCD vale 24 cm2 , tem-se
1
 ⇔ AD ⋅ CD ⋅ sen ADC
 = 24.
(ABCD) = 2 ⋅ ⋅ AD ⋅ CD ⋅ sen ADC
2
 ≡ ABC
$ e
Além disso, sabemos que ADC
 = 180° − ADC.

BCD
Por conseguinte, o resultado
pedido é dado por
Cálculo da área do octógono regular:
x 2 + x 2 = 22 ⇒ x = 2
Portanto, a área A1 do octógono regular será dada
por:
 x2 
2
A1 = ( 2 + 2x ) − 4 ⋅ 

 2 


(
A1 = 2 + 2 2
)
2
2
− 4⋅
2
2
=8 2 +8
Cálculo da área A 2 dos oito semicírculos:
A2 = 8 ⋅
π ⋅ 12
= 4π
2
Logo, a área da figura será dada por:
A = A1 + A 2 ⇒ A = 8 2 + 8 + 4 π (Alternativa [A]).
Resposta da questão 42:
[A]
A área do retângulo, após os acréscimos no
comprimento e na largura, é dada por
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Página 16
Y  
X 

X 1+
⋅ Y 1+

.
 100   100 
1
⋅ BB ' ⋅ B 'D'
2
1
= ⋅ 16 ⋅ 6
2
(BB'D) =
Logo, o resultado pedido é
Y  
X 

X 1 +
 ⋅ Y 1 +
 − X⋅Y
X
Y
XY


 100   100 
⋅ 100% =  1 +
+
+
− 1 ⋅ 100%
X⋅Y
 100 100 10000 
XY 

= X+ Y +
%.
100 

Resposta da questão 43:
[C]
Lado do quadrado: 5m
= 48 m2 .
Resposta da questão 46:
[C]
Do triângulo ABC, obtemos
 = BC ⇔ BC =
senBAC
AC
e
 = AB ⇔ AB =
cosBAC
AC
1
⋅ 40 = 20cm
2
3
⋅ 40 ≅ 34cm.
2
Perímetro do quadrado: 5 + 5 + 5 + 5 = 20m
Valor pedido: 20 ⋅ (23,25 + 1,75) = 20 ⋅ 25 = R$500,00
Resposta da questão 44:
[C]
O resultado pedido é dado por
3 ⋅ 22 ⋅ 3
− π ⋅ 12 ≅ 6 ⋅ 1,7 − 3 = 7,2cm2 .
2
Resposta da questão 45:
a) Vamos supor que ACDE seja um retângulo.
Temos BC = AC − AB = 15 − 7 = 8 m. Daí, sendo
AE = CD = 6 m, aplicamos o Teorema de Pitágoras
no triângulo BCD para encontrar BD = 10 m.
Por conseguinte, o custo total da cerca é igual a
7 ⋅ 100 + 10 ⋅ 200 = R$ 2.700,00.
b) Se ACDE é um retângulo, então
 = 45°, segue que
Além disso, como DAE
AD = DE = BC = 20cm.
Portanto, a área do triângulo ACE é dada por
(ACE) = (ADC) − (ADE)
34 ⋅ 20 20 ⋅ 20
=
−
2
2
2
= 140cm .
Resposta da questão 47:
[B]
Tem-se que
$ = AB ⇔ AB = 5 3 u.c.
cos ABC
2
BC
Portanto, pode-se afirmar que a área do triângulo
ABC é
1
$
⋅ AB ⋅ BC ⋅ sen ABC
2
1 5 3
1
= ⋅
⋅5⋅
2 2
2
= 3,125 3 u.a.
(ABC) =
AB + DE
⋅ AE
2
7 + 15
=
⋅6
2
(ABDE) =
= 66 m2 .
c) Como BB ' = 2 ⋅ BC = 16 m e B 'D' = CD = 6 m,
segue que o resultado pedido é
Resposta da questão 48:
[D]
Sabendo que a área S de um triângulo equilátero de
altura h é dada por
S=
h2 3
,
3
tem-se que o resultado pedido é igual a
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(4,25)2 ⋅ 1,7
− 1,05 ⋅ 2,5 ≅ 10,24 − 2,63
3
≅ 7,61m2 .
Resposta da questão 49:
[C]
Dimensões da praça:
15 + 2 + 2 = 19m
20 + 2 + 2 = 24m
Portanto, sua área total será 19 ⋅ 24 = 456 m2 .
Área da parte interna será 15 ⋅ 20 = 300 m2 .
Logo, a área da calçada será 456 − 300 = 156 m2 .
Resposta da questão 50:
[D]
A área pedida é dada por
 1 2 ⋅ 2 1 2 ⋅ 11
2
+ ⋅
4⋅ ⋅
 = 4 ⋅ 6 = 24cm .
2
2
2 2 
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