E quem me ensina a trabalhar

INSTRUÇÕES GERAIS
• Este é o primeiro caderno do curso completo e específico de ESTATÍSTICA para o
concurso do BANCO CENTRAL.
• O curso é constituído de oito encontros, perfazendo um total de 40 horas/aula.
• A cada encontro serão estudados ordenadamente os conteúdos das provas do
concurso, com teoria, exercícios de sala e tarefa.
• Não falte, pois um encontro pode ser pré-requisito para os encontros seguintes.
• A missão desse curso é preparar concurseiros, que jamais estudaram estatística,
para resolverem toda a prova de estatística do concurso do BACEN.
• Ao longo dos encontros serão resolvidas em sala todas as questões dos últimos
concursos do BACEN entre outros.
• Persevere e esteja sempre disposto a participar das aulas, respondendo as
perguntas de sala, fazendo as tarefas e perguntando ao professor sempre que tiver
alguma dúvida. Cada encontro pode valer por dias de estudos.
BACEN – área 4
Estatística
ESTATÍSTICA area 4
Distribuição de
Probabilidade
BANCO CENTRAL
Nome:
Prof.: Manoel Amaurício
Turma:
Exemplo 2 - Probabilidade
PROBABILIDADE
Durante o mês de agosto a probabilidade de chuva em um
dia determinado é de 4/10. O Flamengo ganha um jogo em
um dia com chuva com probabilidade 7/10 e em um dia
sem chuva com probabilidade de 8/10.(a) Qual é a
probabilidade de que o Flamengo vença um jogo em
agosto? (b) Sabendo-se que o Flamengo ganhou um jogo
em um dia de agosto, qual a probabilidade de que choveu
nesse dia?
(a)
PROBABILIDADE CONDICIONAL
montamos o diagrama
possibilides a seguir.
Portanto a
probabilidade de o
Flamengo vencer é
igual a
de
árvore
de
7/10
VENCE
3/10
NÃO
: 0,12
VENCE
8/10
VENCE : 0,48
2/10
NÃO
: 0,12
VENCE
: 0,28
CHOVE
4/10
6/10
NÃO
CHOVE
7   6
8 
 4
 × + × =
 10 10   10 10 
= 0,28 + 0,48 = 0,76 = 76%
Exemplo 1 - Probabilidade
Um dado é lançado e observa-se o número da face
voltada para cima. Qual a possibilidade de esse número ser:
a) menor que 3?
b) maior ou igual a 3?
E = {1, 2}. Então, p( E =) n ( E )= 2= 1 .
n(S )
6
3
b) Basta considerar o evento complementar em relação
ao evento anterior, isto é, E = {3, 4, 5, 6}.
( )
4 2.
= =
n(S ) 6 3
p(E) + p( E ) = 1
Prof.: Manoel Amaurício
0,28
=
0,28 + 0,48
28
28
36,8%
=
= ≅ 0,368 =
28 + 48 76
Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente.
Qual a probabilidade de observarmos:
a) Seja E o evento "o número é menor que 3". Temos:
n E
P ( CHOVEU / =
VENCEU )
Exemplo 3 – Probabilidade
RESOLUÇÃO:
Temos:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Assim:, p ( E =)
(b) A probabilidade de
que tenha chovido,
sabendo que foi um dia
de agosto em que o
Flamengo venceu é
igual a:
Note sempre que
a) exatamente uma cara?
b) no máximo duas caras?
Vamos construir um
diagrama de árvore
onde na 1ª, 2ª e 3ª
colunas,
respectivamente,
representaremos
os
possíveis resultados
para o 1º, 2º e 3º
lançamentos.
K: cara, C: coroa
Página 2
BACEN – área 4
Estatística
O espaço amostral é formado pelas oito seqüências
indicadas.
a) O evento E 1 que nos interessa é:
{(K, C, C),
(C, K, C),
(C, C, K)}
n (E1 ) 3
p(E1 ) =
= = 37,5% .
n (Ω ) 8
Assim:
b) As seqüências que nos interessam são aquelas que
apresentam nenhuma, uma ou duas caras. Assim, o
evento pedido é:
E 2 = {(C, C, C), (K, C, C), (C, K, C), (C, C, K), (K, K, C),
(K, C, K), (C, K, K)}
Logo, p(E 2 ) =
1. Baseado em seus conhecimentos sobre probabilidade,
complete:
(A) Lançando-se dois dados honestos e verificando-se
as faces superiores, a probabilidade de se obter soma
.
igual a 5 é igual a ___________________________
(B) Lançando-se dois dados honestos e verificando-se as
faces superiores, a probabilidade de se obter soma
.
maior que 9 é igual a ________________________
7
= 87,5% .
8
(F) Em uma eleição, o candidato A tem probabilidade
0,4 de ganhar, o candidato B tem 0,3, o candidato C
tem 0,2 e o candidato D tem 0,1. Em um
determinado momento, durante a apuração dos
votos, é divulgado que o candidato C não ganhará a
eleição. A probabilidade, a partir dessa divulgação,
de o candidato B ganhar a eleição é igual a
____________________________________________
.
(D) Lançando-se dois dados honestos verificou-se que
os dois lançamentos apresentaram resultados pares,
a probabilidade de se obter soma igual a 6 é igual a
.
__________________________________
1
2
3
4
5
2. (MPU) Os registros mostram que a probabilidade de
um vendedor fazer uma venda em uma visita a um
cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de
compra dos clientes são eventos independentes,
então a probabilidade de que o vendedor faça no
mínimo uma venda em três visitas é igual a
a) 0,624.
b) 0,064.
c) 0,216.
d) 0,568.
e) 0,784.
6
1
2
3
4
5
6
(E) Um dado viciado é tal que a probabilidade de a face
voltada para cima ser 5 é o dobro e de ser 6 é o
quádruplo da probabilidade da face voltada para
cima ser 1. As faces 2, 3 e 4 têm a mesma
probabilidade da face 1. Lançando-se esse dado, a
probabilidade de se obter um número maior que 4 é
igual a_______________________________________
Prof.: Manoel Amaurício
.
3. (MPU) André está realizando um teste de múltipla
escolha, em que cada questão apresenta 5
alternativas, sendo uma e apenas uma correta. Se
André sabe resolver a questão, ele marca a
resposta certa. Se ele não sabe, ele marca
aleatoriamente uma das alternativas. André sabe
60% das questões do teste. Então, a probabilidade
de ele acertar uma questão qualquer do teste (isto
é, de uma questão escolhida ao acaso) é igual a
a) 0,62.
b) 0,60.
c) 0,68.
d) 0,80.
e) 0,56.
Página 3
BACEN – área 4
Estatística
4. (BACEN) O gerente de finanças de um banco chefiou
o desenvolvimento e a implantação de um novo
sistema que veio a causar sérios problemas à
instituição em razão de um erro cometido por um
dos membros da equipe. O gerente é, com
probabilidade igual a 0,8, o responsável pelo erro
cometido. Dois assessores diretos, X e Y, sabem se o
gerente é ou não culpado e foram chamados para
uma reunião com a presidência do banco.
O assessor X, primeiro a ser chamado, é amigo do
gerente e dirá a verdade, se o gerente for inocente,
mas mentirá, com probabilidade igual a 0,2, se o
gerente for culpado. Já o assessor Y, segundo a dar
testemunho, odeia toda a equipe e dirá a verdade, se
o gerente for culpado, mas mentirá, com
probabilidade igual a 0,3, se o gerente for inocente.
Com base no texto, julgue os itens.
 Se X disser à presidência que o gerente é o
responsável pelo erro, a chance de o gerente ser
inocente será igual a 1.
 O testemunho falso mais provável será dado pelo
assessor X.
 Os assessores X e Y darão, com probabilidade igual
a 0,16, testemunhos conflitantes.
 Se X e Y derem testemunhos conflitantes, a chance
de o gerente ser inocente será igual a 3/11.
 Os eventos {X mente} e {Y mente} são dependentes.
TAREFA
T1. (CESGRANRIO) Lançando-se um dado duas
vezes, a probabilidade de ser obtido o par de
valores 2 e 3, em qualquer ordem, é de:
1
1
1
1
1
b)
c)
e)
d)
a)
6
9
12
18
15
T2. (BANESPA) Dois dados são lançados sobre uma
mesa. A probabilidade de ambos os dados
mostrarem, na face superior, números ímpares é:
1
1
1
2
3
b)
c)
d)
e)
a)
3
2
4
5
5
T3. (CESPE) Numa gaiola estão nove camundongos
rotulados 1, 2, 3, ..., 9. Selecionando-se
conjuntamente dois camundongos ao acaso (todos
têm igual possibilidade de ser escolhido), a
probabilidade de que na seleção ambos os
camundongos tenham rótulo ímpar é:
a) 0,3777... b) 0,47 c) 0,17 d) 0,277...
e)
0,133...
T4.(FCC) Gira-se o ponteiro (veja a figura) e anota-se o
número que ele aponta ao parar. Repete-se a
operação. Qual a probabilidade de que a soma dos
dois números obtidos seja 5?
5
8
12
b)
c)
a)
36
36
36
24
35
d)
e)
36
36
Prof.: Manoel Amaurício
Página 4
BACEN – área 4
T5.(FCC) A probabilidade de um tiro acertar um alvo é
1/3. Qual é a probabilidade de, em uma série de
três tiros independentes, pelo menos um acertar o
alvo?
(A) 19/27
(B) 8/27
(C) 5/9
(D) 4/9
(E) 1
T6. (MPU) Quando Lígia pára em um posto de gasolina,
a probabilidade de ela pedir para verificar o nível
de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para
verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a
probabilidade de ela pedir para verificar ambos,
óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de
Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir
nem para verificar o nível de óleo e nem para
verificar a pressão dos pneus é igual a
a) 0,25. b) 0,35. c) 0,45. d) 0,15. e) 0,65.
T7. (GESTOR) O medicamento A, usado para engorda
de bovinos, é ineficaz em cerca de 20% dos casos.
Quando se constata sua ineficácia, pode-se tentar o
medicamento B, que é ineficaz em cerca de 10%
dos casos. Nessas condições, é verdade que
(A) o medicamento B é duas vezes mais eficaz
que o medicamento A.
(B) numa população de 20 000 bovinos, A é
ineficaz para exatamente 4 000 indivíduos.
(C) numa população de 16 000 bovinos, B é
eficaz em cerca de 12 800 indivíduos.
(D) a aplicação de A e depois de B, se o A não
deu resultado, deve ser ineficaz para cerca de
2% dos indivíduos.
(E) numa população de 20 000 bovinos, A é
eficaz para cerca de 18 000 indivíduos.
T8. Um exame de laboratório, que pode ter somente os
resultados positivo ou negativo, apresenta dois tipos
de erro. Ocorre um falso-positivo quando uma
pessoa sadia apresenta resultado positivo.
Similarmente, ocorre um falso-negativo, quando
uma pessoa doente apresenta resultado negativo.
Suponha que em uma população de 1.000.000 de
habitantes, 0,5% são portadores de um certo vírus.
Um exame usado para detectar a presença do vírus
apresenta resultado positivo em 95% das pessoas
portadoras. O mesmo exame, quando aplicado a não
portadores do vírus, resulta negativo em 99% dos
casos.
Analise a situação descrita e julgue os itens
abaixo.
(1) Se uma pessoa da população é escolhida ao acaso e
o exame é aplicado, então a probabilidade de o
resultado ser positivo é de 0,0147.
Prof.: Manoel Amaurício
Estatística
(2) Supondo que o resultado do exame é positivo,
então a probabilidade de a pessoa ser portadora do
vírus é menor que 0,3.
(3) A probabilidade de ocorrer um resultado falsonegativo no exame é igual a 0,00025.
T.9 (AFPS) Suponha que a probabilidade de um evento
C seja 0,4 e que a probabilidade condicional do
evento D dado que C ocorreu seja 0,2. Assinale a
opção que dá o valor da probabilidade de ocorrência
de D e C.
a) 0,50
b) 0,08
c) 0,00
d) 1,00
e) 0,60
T.10 (BACEN) Uma empresa fabrica motores a jato em
duas fábricas A e B. Um motor é escolhido ao
acaso e um lote de produção. Nota-se que o motor
apresenta defeitos. De observações anteriores a
empresa sabe que 2% e 3% são as taxas de motores
fabricados com algum defeito em A e B,
respectivamente. Sabendo-se que a fábrica A é
responsável por 40% da produção, assinale a opção
que dá a probabilidade de que o motor escolhido
tenha sido fabricado em A.
a) 0,308
b) 0,030
c) 0,012
d) 0,400
e) 0,500
T11 (SUSEP)
GABARITO DA TAREFA:
T1.E
T2.C
T3.D
T4.C
T5.A
T6.E
T7.D
T8.VFV.
T9. B
T10.A
T11.D
Página 5
BACEN – área 4
Estatística
VARIÁVEIS DISCRETAS
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
ENSAIOS DE BERNOULLI
Exemplo 1:
Dispare-se quatro tiros tentando acertar um alvo.
A probabilidade de acerto em cada tiro é igual a
0,2.
Determine a probabilidade de se acertar o alvo
exatamente duas vezes.
TRIÂNGULO DE PASCAL
Exemplo 2:
Um casal pretende ter cinco filhos. A
probabilidade de cada filho nascer com albinismo
é igual a 1/4.
Determine a probabilidade de exatamente três
filhos serem albinos.
Exemplo 3:
Retira-se (com reposição) dez bolas de uma urna,
onde a probabilidade de se sortear uma bola
vermelha é igual a 7/10.
Determine a probabilidade de exatamente 4 bolas
serem vermelhas.
Exemplo 4 – Distribuição Binomial de Probabilidade
Prof.: Manoel Amaurício
Página 6
BACEN – área 4
Estatística
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Fenômenos Aleatórios
1. Vamos encontrar a distribuição discreta de
probabilidade da variável número de coroas
encontradas no lançamento de três moedas.
 Tendo o casal 5 filhos, a probabilidade desse casal
ter pelo menos um filho albino é de
781
.
1024
resolução:
Atenção: Para resolver as
considere o enunciado abaixo:
2. Sabe-se que uma determinada característica (como
cor dos olhos, albinismo ou lóbulo da orelha preso ou
solto) de um filho depende de um par de genes,
vindo um gene do pai e outro da mãe. Em geral,
representa-se o gene dominante por uma letra
maiúscula (A por exemplo) e o gene recessivo pela
mesma letra, porém minúscula. Em relação ao
albinismo, por exemplo, um sujeito com genes AA
ou Aa teria a pele normal, enquanto um indivíduo
com genes aa seria albino. Supondo um casal em
que o pai e a mãe tenham genes Aa, julgue os itens
a seguir.
 Tendo o casal 5 filhos, a probabilidade desse casal
ter exatamente 2 filhos albinos é de
Prof.: Manoel Amaurício
135
.
512
questões
seguintes
Um determinado dispositivo contra incêndio utiliza
três células sensíveis à temperatura, que atuam
independentemente uma da outra, de tal modo, que
podem ser ativadas uma ou mais células
simultaneamente, daí advindo um alarma. Cada
célula tem probabilidade 0,8 de fazer tocar o alarma,
quando a temperatura atinge 1000C ou mais. Seja x
igual ao número de células que ativam o alarma
quando a temperatura atinge os 1000C.
A probabilidade de o alarma funcionar quando a
temperatura atingir 1000C é de:
(A) 98,2%
(B) 99,2%
(C) 97,2%
(D) 99,4%
(E) 97,4%
3.
Página 7
BACEN – área 4
4. O valor esperado para a variável x é de:
(A) 2,1
(B) 2,2
(C) 2,3
(D) 2,4
(E) 2,5
5. A variância da variável x é igual a:
(A) 0,45
(B) 0,46
(C) 0,47
(D) 0,48
(E) 0,49
Estatística
TAREFA
T2. (SUSEP)
T2.
6. Das ferramentas produzidas por um certo processo
de fabricação, 10% apresentam algum defeito,
escolhe-se
aleatoriamente dez ferramentas.
Baseado nas condições descritas no texto julgue os
itens.
(1) Usando uma distribuição binomial de
probabilidade a probabilidade de exatamente
duas sejam defeituosas é igual a 45(0,1)2 (0,9)8 .
(2) Usando uma distribuição de Poisson de
probabilidades
a
probabilidade
de
exatamente duas sejam defeituosas é igual a
1 .
2e
T3.
T4.
Prof.: Manoel Amaurício
Página 8
BACEN – área 4
Estatística
T5. (Bacen-94) Suponha que em média dois suicídios
por ano numa população de 50.000. Em uma
cidade de 100.000 habitantes, a probabilidade de
que em um dado ano tenha havido dois ou mais
suicídios é de:
4
e4
5
b) 1 −
.
e4
3
c) 1 − 2 .
e
25
d)
.
5!e 2
1
e) 1 −
.
e2
a) 1 −
O enunciado a seguir refere-se às próximas três
questões.
Em um grupo de 40 homens e 60 mulheres, a
probabilidade de um homem ser míope é 0,05 e a
probabilidade de uma mulher ser míope é 0,1.
T10. Selecionando uma pessoa ao acaso, qual é a
probabilidade de ela ser míope?
(A) 0,05
(B) 0,06
(C) 0,07
(D) 0,08
(E) 0,09
T6. (BACEN 2001)
a) 20%
b) 10%
c) 9%
d) 15%
e) 18%
T7. (Binomial – Cesgranrio) Uma firma exploradora de
petróleo acha que 95% dos poços que perfura não
acusam depósito de gás natural. Se ela perfurar 6
poços, a probabilidade de obter resultado positivo
em pelo menos um deles é, aproximadamente, de:
(A) 96,1%
(B) 73,5%
(C) 30,0%
(D) 26,5%
(E) 3,9%
T8. (Distribuição de Probabilidade ContínuaCesgranrio) Seja X uma variável aleatória que
representa o preço, em reais, do litro da gasolina, com
função de distribuição acumulada dada por:
A probabilidade de que X seja maior do que R$ 2,50 é:
(A) 0,45
(B) 0,50
(C) 0,55
(D) 0,60
(E) 0,65
Prof.: Manoel Amaurício
T9. (Probabilidade-Cesgranrio) Qual a probabilidade
de serem obtidos três ases em seguida, quando se
extraem três cartas de um baralho comum de 52
cartas se a carta extraída é reposta no baralho antes
da extração da próxima carta?
(A) 1/169
(B) 1/221
(C) 1/2197
(D) 1/5525
(E) 1/140608
T11. Selecionado uma pessoa míope ao acaso qual é a
probabilidade de ser homem?
(A) 0,25
(B) 0,27
(C) 0,30
(D) 0,33
(E) 0,40
T12. Se X tem distribuição normal com média 4 e
variância 4, a probabilidade de que X > 6 vale,
aproximadamente
(A) 0,16
(B) 0,28
(C) 0,33
(D) 0,37
(E) 0,46
T1.A
T2. FFFVV
T3.C
T4.A
T5.
T6.A
T7.D
T8.C
T9.C
T10. D
T11. A
T12. A
GABARITO DA TAREFA:
Página 9