Fisica_3-04 - Distribuicoes Continuas

Campo Elétrico 2
Objetivos:
●
●
Apresentar a discretização do espaço para a
resolução de problemas em coordenadas:
●
Cartesianas;
●
Polar;
Aplicar a discretização do espaço para resolução
de problemas de campo elétrico.
Sobre a Apresentação
Todas as gravuras, senão a maioria, são dos livros:
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●
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Sears & Zemansky, University Physics with Modern Physics – ed.
Pearson, 13a edition
Wolfgang Bauer and Gary D. Westfall, University Physics with
Modern Physics – ed. Mc Graw Hill, Michigan State University, 1a
edition
Halliday & Resnick, Fundamentals of Physics, 9a edition.
Discretização
do Espaço
Discretização do Espaço: “em linhas gerais é uma técnica
matemática a qual consiste em quebrar o espaço em
pequenos porções, onde a resolução do problema se torna
mais simples. Após isto utiliza-se técnicas de integração para
aplicar a solução em todo o espaço.”
Linear: Suponha uma linha metálica de comprimento L com massa M.
Para esta linha podemos dizer que sua densidade de massa linear é
dada pela expressão:
, com unidades no SI:
Discretização Linear
Linear: Suponha uma haste metálica de comprimento L com carga total Q.
Para esta haste se pode dizer que sua densidade de massa linear de carga
é dada pela expressão:
, constante para uma distribuição homogênea ou
, no caso de uma distribuição variável.
De uma forma ou outra sua unidade será:
Portanto, para um comprimento dx, o elemento de carga será:
Discretização Linear
Polar: Suponha que a haste agora é encurvada em uma circunferência de
raio R. Neste caso as coordenadas lineares não são mais convenientes
para somar a sua carga, e para isto se utiliza coordenadas polares:
Neste caso, o comprimento do arco de
circunferência de abertura θ, é dado por:
dθ
E com R constante, um dS será:
Em uma abertura dθ, o elemento de carga
será:
Discretização Superficial
Polar: Agora imagine que a carga é distribuída ao longo da superfície de
um disco de raio R.
Se uma carga for homogeneamente
distribuída sobre este disco:
, constante ou
dr
, no caso variável.
Sua unidade no SI será:
O elemento de área, quadrado infinitesimal
de área dA, em azul escuro na figura ao
lado:
A quantidade de carga neste quadrado será o seu elemento de área vezes
a densidade de carga superficial, σ:
Discretização Superficial
Se a densidade de carga depender apenas do raio, ou seja, for constante
para qualquer ângulo θ, podemos considerar como elemento de área um
anel de espessura dr:
Neste caso o elemento de área será um
anel,
dr
A quantidade de carga neste anel será:
Campo de um Fio
Considere um fio de comprimento L com carga Q distribuída
homogeneamente ao longo de seu comprimento. Para este fio,
determine o campo elétrico para um ponto a uma distância D do
início do fio, como ilustra abaixo.
dE
Tome como x a posição de uma carga dq, que está a uma distância
(D-x) do início do fio.
O campo gerado em P por dq será:
com
,
e
Campo de um Fio
O módulo Campo Elétrico total será:
Fazendo u = (D-x), é fácil mostrar que a integral acima resulta em
Usando ainda o valor para λ = Q/L
ou vetorialmente:
Campo de um Fio
Um teste simples para este campo é imaginar o caso limite em que
o comprimento do fio tende a zero:
ou quando nos afastamos muito do fio:
Em ambos os casos o campo tende para o campo de uma carga
pontual.
Campo de um Fio
Calcule o Campo Elétrico a uma distância D de um fio infinito com
densidade de carga constante, λ.
Campo gerado pelo seguimento de fio dz
em P:
z
dz
dq
r
z
D
-z
dz
0
dE
dEy
dEx
P
θ
θ
dEy
dE
Componentes do Campo Elétrico:
Campo de um Fio
Observe que no lado oposto do fio, uma segunda carga dq,
simétrica, na posição -z cria um campo dE-, em P, de mesmo
módulo.
Os campos dE e dE possuem os mesmos módulos de projeções nos
eixos x e y. No entanto as projeções em y são opostas e por isto se
anulam, enquanto que as componentes em x se somam.
Portanto, o campo em P formado pelas duas carga em ±z será:
Expressando o cosseno pelos lados do triângulo Drz, vemos que:
Campo de um Fio
Substituindo o valor de dE e r:
Observe que tan(θ) = z/D. Substituindo na expressão anterior:
sendo z = D tan(θ), mudando a variável de integração para θ:
Campo de um Fio
Calculando o campo resultante:
Ou, retornando às variáveis originais:
Portanto,
ou vetorialmente:
Campo de um
Semiarco
Um fio carregado com densidade de carga λ, é encurvado na forma
de um semiarco de abertura 2ϕ e raio R. Determine o Campo
Elétrico gerado no centro de circunferência.
Cada seguimento do anel de
comprimento dS possui uma carga dq:
y
dq
R
dE dEy
O Campo gerado pela carga dq:
θ
dEx = dEx
dE dEy
x
-θ
A componente x será:
dq
Campo de um
Semiarco
Para calcular o campo total E basta integrar a expressão de -ϕ a +ϕ,
ou duas vezes a integral de 0 a ϕ, para computar os dois
seguimentos:
Se uma carga Q for distribuída sobre todo o arco, sua densidade de
carga será:
e portanto o campo será
Campo de um
Semiarco
O campo de uma carga pontual pode ser alcançada no limite que a
abertura angular do semiarco tende a zero:
já que
Campo de um Anel
Calcule o Campo Elétrico gerado por um anel com densidade linear
de carga λ e raio R, a uma altura z do eixo que passa pelo seu
centro de massa e é ortogonal ao plano do anel.
Um seguimento de fio dS do anel, com
carga dq, faz um campo elétrico dE em
P:
onde
onde ϕ é um ângulo no plano do anel,
não tendo nenhuma relação com θ.
Campo de um Anel
y
No plano da anel, o problema é semelhante
ao cálculo da carga no anel, feito
anteriormente, com cargas:
dq
R
dϕ
ϕ
ϕ
x
dϕ
R
dq
dE dEz
e
Tomando como referência o eixo cinza, que
passa pelas cargas dq:, o campo gerado pelas
cargas terão componentes:
dE
θ
e
P
dEr
dEr
r
dq
+
Observe que as componentes radiais se
anulam, restando apenas as componentes ao
longo do eixo z, ortogonal ao plano do anel.
z
R
0
dq
+
Campo de um Anel
O cosseno pode ser tirado do triângulo rRz:
z
dEz
Observe que nesta integração θ, z e r são
constantes. Agrupando todos os termos:
P
θ
r
dq
+
z
R
0
dq
+
Portanto, o campo total gerado pelo anel a uma
distância z do seu eixo será:
ou
Campo de um Anel
Para poder utilizar a expressão da carga do anel no cálculo do
próximo campo, considere que o anel possui uma carga total Q.
Desta forma a sua densidade de carga será:
Desta forma o campo do anel pode ser reescrito pela carga total:
Observe também, que para pontos muito distantes do anel, o campo
elétrico se aproxima do campo de uma carga puntiforme:
Campo de um Disco
Calcule o Campo Elétrico gerado por um disco com densidade
superficial de carga σ e raio R, a uma altura z do eixo que passa
pelo seu centro de massa e é ortogonal ao plano do disco.
O Halliday faz a proposta mais razoável
para a determinação deste campo
elétrico. Considere um anel de raio r e
espessura dr, de área dA:
O campo gerado por este anel será o
campo de um anel de carga dq e raio r:
e
Campo de um Disco
Para calcular o campo do anel, basta integrar o raio do anel de 0 até
o raio do disco:
Esta integral se resolve facilmente por substituição de:
, e portanto:
Que dará:
Campo de um Disco
●
Campo muito longe do disco finito:
Neste caso considere que o disco de raio R possui uma carga total Q,
desta forma a densidade de carga será:
Substituindo na expressão do campo:
Neste caso será necessário fazer uma expansão binomial do último
termo, uma vez que um limite simples levaria a zero:
com
Campo de um Disco
Expandindo até a primeira ordem:
com
Substituindo na expressão do campo:
O campo de uma carga puntiforme.
Campo de um Disco
Neste caso existem duas aproximações interessantes:
●
Campo muito próximo da superfície do disco:
o mesmo pode ser feito com
Na primeira aproximação o ponto z se encontra muito perto da
superfície do disco, enquanto que na segunda o raio do disco é
infinitamente grande. Ambos correspondem a mesma aproximação
de um campo de uma placa isolante infinita.