7ª Série de Problemas Mecânica e Ondas LEEC

7ª Série de Problemas
Mecânica e Ondas
LEEC
1. Um anel de massa m e raio r desce uma rampa que faz um ângulo α com a
horizontal. O anel mantém-se no plano definido pela vertical e pela normal à
rampa. Considerando que partiu de
uma altura h com velocidade inicial
nula, calcule a velocidade e a
velocidade angular do anel quanto
atinge o fundo da rampa, nos dois
casos abaixo (que se verificam em
que situações?):
1.a) O anel desliza sem rotação.
1.b) O anel roda sem deslizamento.
2. A Fig. representa um pêndulo cujo ponto de suspensão se move sem atrito sobre
uma linha recta; a massa do bloco onde o pêndulo está suspenso é desprezável em
relação a m e o fio é inextensível (m=1 kg e l=1 m).
a) Supondo que o movimento do
bloco onde o pêndulo está
suspenso é descrito por uma
função b(t) conhecida, quantos
graus de liberdade tem o sistema?
Escreva o lagrangeano e as
equações do movimento.
2
b) Particularize para b(t)=at /2,
-2
com a=2 m.s (ponto de suspensão
movendo-se
com
aceleração
constante). Determine o ponto de
equilíbrio e resolva a equação do
movimento para pequenas oscilações.
c) Particularize para b(t)=2 cos 3t (ponto de suspensão oscilando no tempo) e
resolva a equação do movimento para pequenas oscilações.
d) Particularize para b(t)=2 cos 4t e resolva a equação do movimento para
pequenas oscilações. Compare este caso e o da alínea anterior. Esboce como varia
a amplitude e o desfasamento em função dos parâmetros do sistema e da
frequência exterior.
3. Um disco D de raio 10 cm é posto a girar, sem
atrito, em torno de um eixo vertical com uma
velocidade angular ω0 = 120 rot/min. Em seguida,
um anel A de raio r = 5 cm e massa m = 1 kg é
colocado simetricamente sobre o disco (ver
figura). Sabe-se que a velocidade angular do
conjunto passa a ser ω1 = 60 rot/min. O momento
de inércia de um disco é I = 1/2 M R2.
3.a) Determine a massa do disco D.
3.b) Como varia a energia cinética quando se passa da primeira situação (disco D)
para a segunda (D + A).
4. Uma massa de 4 kg com uma velocidade de 5 m/s tem um choque elástico com
um haltere formado por duas massas de 3 kg, ligadas por um ferro rígido de massa
desprezável e comprimento 0,5 m. A geometria do choque é indicada na figura.
Observou-se que, depois do choque,
a velocidade da primeira massa não
mudou de direcção (já nada se sabe
quanto ao sentido). Calcule, depois
do choque:
4.a) A velocidade da primeira massa.
4.b) A velocidade do centro de
massa do haltere.
4.c) A velocidade de rotação do
haltere em trono do seu centro de
massa.
5. Um fio está enrolado num eixo cilíndrico de raio r = 3 cm e massa mr=r0.05 kg,
que possui nas suas extremidades duas rodas de raio R = 5 cm e massa M = 0,01
kg, cada uma (tipo carrinho de linhas – ver figuras). O fio é puxado para a
esquerda com uma força constante F = 0,1 N e as rodas rodam sem deslizar
(porquê?). O momento de inércia de um disco é I = 1/2 m D r D 2.
5.a) Qual é o sentido do movimento? Justifique.
5.b) Qual é a aceleração do centro de massa?
5.c) Qual é o coeficiente de atrito (Fa/RN) mínimo necessário para garantir que as
rodas não deslizam?
6. Considere o pêndulo representado na figura constituído por um disco de massa
M=l kg e raio R=10 cm, que roda livremente em tomo
do seu centro de massa e ao qual se encontra
rigidamente fixada uma haste de massa desprezável. No
outro extremo da haste encontra-se uma esfera de massa
m=0.2 kg e dimensões desprezáveis. A distância entre o
centro do disco e a massa m é l=1 m. O momento de
inércia do disco em relação ao seu centro de massa é
dado por
I=1/2 x M x R2.
6.a) Identifique os graus de liberdade do sistema e
escreva o lagrangeano do sistema.
6.b) Escreva a equação do movimento.
6.c) Determine a solução da equação de movimento
para pequenos ângulos de oscilação do pêndulo. Qual é
a frequência de oscilação deste pêndulo.