Apostila de Matemática 10 – Matriz

Apostila de Matemática 10 – Matriz
1.0 Definição
“m” e “n” são números inteiros maiores que zero.
Matriz mxn é uma tabela retangular formada por m.n números reais, dispostos é
“m” linhas e “n” colunas.
A tabela é fechada por colchetes “[ ]”, parênteses “( )” ou 4 traços “|| ||”.
Ordem: indica número de linhas e colunas:
Exemplo:
Matriz 2x3 - Matriz de ordem 2x3.
Matriz de ordem 4x2.
2.0 Tipos de Matrizes
2.1 Matriz Genérica
Os números que aparecem na matriz são chamados de elementos ou termos da
matriz.
Para representar o elemento de uma matriz usa-se uma letra com 2 índices –
Coordenadas:
O elemento genérico da Matriz “M” é indicado por “aij”.
“i” – Indica em que linha o elemento se encontra.
“j” – Indica em que coluna o elemento se encontra.
Exemplo:
2.2 Matriz Linha
Matriz formada somente por 1 linha - Matriz de ordem 1xn.
Pode ser chamada de vetor.
Exemplo:
Matriz de ordem 1x3.
2.3 Matriz Coluna
Matriz formada somente por 1 coluna – Matriz de ordem mx1.
Pode ser chamada de vetor.
Exemplo:
Matriz de ordem 3x1.
2.4 Matriz Quadrada
Número de linhas é igual ao número de colunas – m = n.
A ordem é pronunciada somente por 1 número – Ordem “m”.
Exemplo:
Matriz de ordem 2, ou de Segunda ordem.
Diagonal principal da matriz:
Diagonal formada por elementos cujos índices são iguais – i = j.
Exemplo:
Diagonal secundária da matriz – A outra diagonal da matriz quadrada.
i + j = n + 1.
Exemplo:
2.5 Matriz Triangular
Matriz quadrada de ordem n.
Todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos.
Exemplo:
2.6 Matriz Diagonal
Matriz quadrada de ordem n.
Todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos.
Exemplo:
2.7 Matriz Identidade
Matriz quadrada de ordem n.
Todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 – aij = 1, para i = j.
Todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos – aij = 0,
para i ≠ j.
Símbolo: In.
Exemplo:
2.8 Matriz Nula
Todos os elementos são iguais a zero.
Exemplo:
2.9 Matriz Transposta
A matriz transposta de “A” é a matriz cuja as linhas são, ordenadamente as
colunas de A.
Simbolizado por “At”.
Se a matriz “A for mxn, então a matriz At é nxm.
Exemplo:
At =
A=
Bt =
B=
2.10 Matriz Inversa
Matriz quadrada de ordem n.
A matriz inversa é uma matriz que, ao multiplicar-se com a matriz original, gera
uma matriz identidade.
Simbolizado por: A-1.
A.A-1 = In
Quando existe a matriz inversa de “A”, diz-se que “A” é uma matriz invertível
ou não-singular – A matriz é invertível se det ≠ 0.
Processo:
Troca-se a posição dos elementos eqüidistantes da diagonal principal.
Troca-se o sinal dos elementos da diagonal secundária.
Acha-se a determinante de “A” (Próxima Apostila).
Divide a todos os elementos da matriz pela sua determinante.
Exemplo:
A=
A-1 =
det A = 10
A-1 =
A-1 =
2.11 Matriz Simétrica
Matriz quadrada de ordem n.
Elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais.
A = At.
Exemplo:
A=
2.12 Matriz Anti-Simétrica
Matriz quadrada de ordem n.
A diagonal principal é nula.
Elementos opostos em relação a diagonal principal possuem sianis contrários.
At = -A.
Exemplo:
A=
3.0 Operações
3.1 Igualdade
Condições:
As matrizes devem ter a mesma ordem.
Seus elementos correspondentes são iguais.
Exemplo:
A=
B=
A=B=
=
a11 = b11;
a12 = b12;
a13 = b13;
...
3.2 Adição
Condições:
As matrizes devem ter a mesma ordem.
Seus elementos correspondentes são adicionados.
Exemplo:
A=
B=
A+B=
+
a11 + b11;
a12 + b12;
a13 + b13;
3.3 Subtração
Condições:
As matrizes devem ter a mesma ordem.
Seus elementos correspondentes são subtraídos.
Exemplos:
A=
B=
A–B=
-
a11 - b11;
a12 - b12;
a13 - b13;
...
3.4 Multiplicação
3.4.1 Matriz e Número Real
Ao multiplicar um número real em uma matriz, todos os elementos são
multiplicados por ele.
Exemplo:
A=
3A =
3.4.2 Matriz e Matriz
Multiplica-se ordenadamente os elementos da linha “i” da matriz “A” pelos
elementos da coluna “j” da matriz “B”.
Soma-se os produtos obtidos.
Simboliza-se por: AB.
Condições:
O número de colunas de “A” é igual ao número de linhas de “B”.
O produto “AB” possui o número de linhas da matriz “A” e o número de
colunas da matriz “B”.
Exemplo:
x
=
Primeiro, separa-se a primeira linha de “A” e a primeira coluna de “B”:
Depois, multiplica-se o primeiro número da linha pelo primeiro da coluna, e assim por
diante:
1x3 = 3
0x2 = 0
2x1 = 2
Depois, soma os resultados, sendo este o primeiro elemento da nova matriz:
3 + 0 + 2 = 5.
Note que, para achar o primeiro elemento (a11), utilizou-se a primeira linha e a primeira
coluna – A linha de “A” representa o “i” e a coluna de “B”, o “j”.
Depois, faz a mesma coisa com a primeira linha de “A” e a segunda coluna de “B”, para
achar o elemento “a12”, e assim por diante.
3.5 Observações
A + B = B + A.
A x B ≠ B x A.
A x In = A.
A² = A x A
A x A-1 = A-1 x A = In.