Introdução à Simulação Estocástica usando R - DI PUC-Rio

Introdução à Simulação Estocástica usando R
Hélio Lopes
Departamento de Informática – PUC-Rio
[email protected]
Parte I - Introdução à Probabilidade
Experimentos aleatórios
I
No estudo de Probabilidade, qualquer processo de observação é
chamado de experimento.
I
Os resultados de uma observação são chamados de saídas do
experimento.
I
Um experimento aleatório é um experimento cujas saídas
não podem ser previstas.
I
Exemplos típicos de experimentos aleatórios são: jogar um
dado justo, jogar cara ou coroa com uma moeda justa,
selecionar uma carta de um baralho bem embaralhado, medir o
tempo de vida (em horas) de um transistor, etc..
Espaço amostral
I
O conjunto de todas as possíveis saídas de um experimento
aleatório é chamado de espaço amostral, e será denotado por
S.
I
Um elemento de S é chamado de ponto amostral, ou
simplesmente de amostra.
I
Um evento, denotado por E , é qualquer subconjunto possível
do espaço amostral S.
Espaço amostral
I
Exemplo 1:
I
I
I
I
Exemplo 2:
I
I
I
I
Experimento: jogar uma vez “Cara (H) ou Coroa (T)”.
Espaço amostral: S = {H, T }.
Evento: E = {H}.
Experimento: jogar duas vezes “Cara (H) ou Coroa (T)”.
Espaço amostral: S = {HH, HT , TH, TT }.
Evento: E = {HH, HT , TH} (amostras que contém pelo menos
uma “Cara”).
Exemplo 3:
I
I
I
Experimento: medir (em horas) o tempo de vida de um
transistor.
Espaço amostral: S = {· : 0 Æ · Æ Œ}.
Evento: E = {· Æ 5}.
Tipos de espaço amostral
I
Espaço amostral finito: é aquele em que existe somente um
número finito de possíveis saídas.
I
Espaço amostral discreto e infinito: é aquele que possui um
número infinito de possíveis saídas, porém esse conjunto de
saídas é enumerável. Lembrando que, um conjunto é dito ser
enumerável se ele possui uma correspondência biunívoca com o
conjunto dos números inteiros.
I
Espaço amostral contínuo: é aquele em que as possíveis saídas
constituem um conjunto contínuo.
Algebra dos conjuntos
I
Como o espaço amostral S é o conjunto das possíveis saídas de
um experimento aleatório, é bom relembrar algums conceitos
de conjuntos.
I
Se ’ é um elemento de S, então escrevemos ’ œ S.
I
I
Se ’ não é um elemento de S, então escrevemos ’ œ
/ S.
Dizemos que um conjunto A é um subconjunto do conjunto B
se cada elemento de A é também um elemento de B, e
denotamos essa propriedade por A µ B.
Algebra dos conjuntos
Operações com conjuntos:
1. Igualdade: Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais, e
denotamos por A = B, se e somente se A µ B e B µ A.
2. Conjunto Complementar: Suponhamos que A µ S. O
complemento de A, denotado por Ā, é o conjunto contendo
todos os elementos de S que não são elementos de A.
Ā = {’ : ’ œ S e ’ œ
/ A}.
3. União: A união dos conjuntos A e B, denotada por A fi B, é o
conjunto que contém todos os elementos que estão em A ou
em B, ou em ambos.
A fi B = {’ : ’ œ A ou ’ œ B}.
Algebra dos conjuntos
Operações com conjuntos:
4. Interceção: A interceção dos conjuntos A e B, denotada por
A fl B, é o conjunto que contém todos os elementos que estão
em A e em B.
A fl B = {’ : ’ œ A e ’ œ B}.
5. Conjunto Vazio: Dizemos que o conjunto vazio é o conjunto
que não possui elementos, e o denotamos por ÿ. O conjunto
vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
6. Conjuntos Disjuntos: Dois conjuntos A e B são chamados de
disjuntos, ou mutuamente exclusivos, se eles nao possuem
elementos em comum, isto é, se A fl B = ÿ.
Algebra dos conjuntos
As definições de união e interseção de dois conjuntos podem ser
estendidas para um número finito de conjuntos da seguinte forma:
n
€
i=1
Ai = A1 fi A2 fi . . . fi An ; e
n
‹
i=1
Ai = A1 fl A2 fl . . . fl An .
Mais ainda, elas podem ser estendidas também para um número
infinito de conjuntos:
Œ
€
i=1
Ai = A1 fi A2 fi . . . ; e
Œ
‹
i=1
Ai = A1 fl A2 fl . . . .
Algebra dos conjuntos
I
Qualquer subconjunto do espaço amostral S é chamado de
evento. Em particular, um ponto amostral de S geralmente é
chamado de evento elementar.
I
Note que o espaço amostral S é subconjunto dele mesmo
(S µ S). Como S é o conjunto de todas as possíveis saídas do
experimento, ele é comumente chamado de evento certo.
I
O cojunto vazio é o conjunto complementar de S, isto é,
ÿ = S̄. O conjunto vazio é também chamado de evento
impossível.
Propriedades das operações
Suponha que S seja o espaço amostral e A um evento de S.
1. S̄ = ÿ
2. ÿ̄ = S
¯=A
3. Ā
4. S fi A = S
5. S fl A = A
6. A fi Ā = S
7. A fl Ā = ÿ
Propriedades das operações
As operações de união e interseção também satisfazem as seguintes
propriedades:
I
I
Comutatividade:
Associatividade:
AfiB =BfiA
AflB =BflA
A fi (B fi C ) = (A fi B) fi C
A fl (B fl C ) = (A fl B) fl C
Propriedades das operações
I
Distributividade:
A fl (B fi C ) = (A fl B) fi (A fl C )
A fi (B fl C ) = (A fi B) fl (A fi C )
Que podem ser estendidas nas seguintes formas:
Afl
Afi
n
€
i=1
n
‹
i=1
Bi =
Bi =
n
€
i=1
n
‹
i=1
A fl Bi
A fi Bi
Propriedades das operações
I
Lei de De Morgan:
A fi B = Ā fl B̄
A fl B = Ā fi B̄
Que podem ser estendidas nas seguintes formas:
n
€
i=1
n
‹
i=1
Ai =
Ai =
n
‹
i=1
n
€
i=1
Āi
Āi
Conjunto potência
O conjunto potência de um conjunto A, denotado por P(A) é o
conjunto cujos membros são todos os possíveis subconjuntos de A.
I
Exemplo: Se A = {x , y }, então P(A) = {ÿ, {x }, {y }, {x , y }}.
Produto Cartesiano
O par de elementos a e b, onde a é chamado de primeiro elemento e
b de segundo elemento, é definido como um par ordenado, e é
denotado por (a, b).
Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se e somente se
a = c e b = d.
Para quaisquer dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A e
B, escrito como A ◊ B, é o conjunto de toodos os pares ordenados
dos elementos, onde o primeiro elemento do par é um elemento de
A e o segundo elemento do par é um elemento de B:
A ◊ B = {(a, b) : a œ A e b œ B}.
Produto Cartesiano: Exemplos
Se A = {a, b, c} e B = {p, q}, então:
A ◊ B = {(a, p), (a, q), (b, p), (b, q), (c, p), (c, q)}.
e
B ◊ A = {(p, a), (p, b), (p, c), (q, a), (q, b), (q, c)}.
Produto Cartesiano
I
I
I
I
I
A◊ÿ=ÿ◊A=ÿ
A1 ◊A2 ◊· · ·◊AN = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : xi œ Ai , i = 1, 2, . . . , n}’
n(A1 ◊ A2 ◊ · · · ◊ An ) = n(A1 )n(A2 ) · · · n(An )
A ◊ (B fi C ) = (A ◊ B) fi (A ◊ C )
A ◊ (B fl C ) = (A ◊ B) fl (A ◊ C )
Sigma álgebra
Seja S um espaço amostral, e considere que F seja uma coleção de
subconjuntos de S com as seguintes propriedades:
1. Se A œ F, então Ā œ F.
t
2. Se Ai œ F, i = 1, 2, . . ., entao Œ
i=1 Ai œ F.
Uma coleção que satisfaz essas duas propriedades é chamada de
uma ‡-álgebra. Os elementos que constituem essa coleção são
chamados de eventos aleatórios.
Sigma álgebra: Exemplos
1. Como o conjunto potência P(S) de S é o conjunto de todos os
subconjuntos possíveis de S, então P(S) é uma ‡-álgebra. Em
particular, essa é a maior ‡-álgebra de S.
2. Se S é um conjunto qualquer, então {ÿ, S} é uma ‡-álgebra de
S. De fato, essa é a menor ‡-álgebra de
3. Se A é um subconjunto qualquer de S, então {ÿ, A, Ā, S} é
uma ‡-álgebra de S.
-Exercício: Suponha que S = {a, b, c}. Liste 4 diferentes ‡-álgebras
de S.
Sigma álgebra: Propriedades
I
Suponha que A pertença a uma ‡-álgebra F de S. Então, pela
definição, Ā œ F e A fi Ā œ F. Portanto
S œ F.
I
I
Também, pela definição de ‡-álgebra, se S œ F, então
S̄ = ÿ œ F.
Usando a Lei de DeMorgan é simples provar a seguinte
proposicao:
t
Se Ai œ F, i = 1, 2, . . ., então Œ
i=1 Ai œ F.
Álgebra de Borel
Um exemplo de uma ‡-álgebra de muito interesse para nós é a
álgebra de Borel. Ela será denotada por B.
Aqui consideraremos a ágebra de Borel da reta real, mas existem
também as álgebras de Borel do intervalo [0, 1], do plano R2 , etc..
Álgebra de Borel
Para facilitar o entendimento da álgebra de Borel, vejamos o
seguinte exemplo:
Suponha que S = {a, b, c, d}. É fácil checar que a coleção
{ÿ, {a}, {a, b}} não é uma ‡-álgebra de S.
Considere agora, que possamos adicionar a essa coleção os conjunto
que justamente a fazem tornar uma ‡-álgebra de S.
Teríamos, então, que adicionar os seguintes conjuntos:
{a} = {b, c, d}, {a, b} = {c, d}, {a} fi {c, d} = {a, c, d},
{a, c, d} = {b}, {a} fi {b, c, d} = {a, b, c, d}.
Com isso, a coleção
{ÿ, {a}, {a, b}, {b, c, d}, {c, d}, {b}, {a, b, c, d}} é uma ‡-álgebra
de S.
Álgebra de Borel
A ‡-álgebra construída, conforme o exemplo anterior, a partir de
uma dada coleção de subconjuntos C de S é chamada de ‡-álgebra
gerada por C. E ela corresponde a menor ‡-álgebra de S que
contém C.
Álgebra de Borel
Para construir a álgebra de Borel B da reta real faremos o seguinte
algoritmo:
1. Inclua em B todos os intervalos do tipo (≠Œ, a], onde a é um
número real qualquer.
2. Para B ser uma ‡-álgebra, ela deve satisfazer a primeira
condição. Isso implica que todos os intervalos na forma (a, Œ)
devem estar em B.
3. Suponha que a e b sejam dois números reais, com a < b.
Como (≠Œ, b] œ B e (a, Œ) œ B, então
(≠Œ, b] fl (a, Œ) = (a, b] pertence a B.
Probabilidade
Existe uma abordagem simples para definir probabilidade quando o
conjunto amostral S é finito.
Essa abordagem consiste, simplesmente, em contar o número de
elementos de um evento E , n(E ), e dividi-lo pelo número de
elementos do conjunto S, n(S).
Com isso, a probabilidade de ocorrência do evento E é dada por
)
P(E ) = n(E
n(S) .
Essa definição implica que cada possível saída de um experimento
tem exatamente a mesma probabilidade:
’ œ S =∆ P({’}) =
1
.
n(S)
Por isso muitas vezes dizemos que jogaremos um dado justo ou que
uma moeda justa!
Probabilidade
I
Exemplo 1:
I
I
I
I
I
Experimento: jogar uma vez “Cara (H) ou Coroa (T)”.
Espaço amostral: S = {H, T }.
Evento: E = {H}.
=∆ P(E ) = 12 .
Exemplo 2:
I
I
I
I
Experimento: jogar duas vezes “Cara (H) ou Coroa (T)”.
Espaço amostral: S = {HH, HT , TH, TT }.
Evento: E = {HH, HT , TH} (amostras que contém pelo menos
uma “Cara”).
=∆ P(E ) = 34 .
Probabilidade e problemas de contagem
Essa abordagem de contagem é bastante simples quando S possui
baixa cardinalidade.
Quando a cardinalidade de S é alta, muitas vezes podemos usar
certas técnicas clássicas de análise combinatória. As mais famosas
são conhecidas como permutações e combinações, que permitem
contar os elementos de S e E sem ter que escrever as saídas
explicitamente.
Princípio Básico de Contagem: Se um certo experimento pode
ser feito com r diferentes formas, e para cada uma dessas formas,
outro esperimento pode ser feito com k formas diferentes, então o
experimento combinado pode ser com rk formas diferentes.
Probabilidade e problemas de contagem
Exemplo: Se uma senha consiste em três letras, ache a probabilidade
que uma senha escolhida aleatoriamente não possua letras repetidas.
Seja A = {a, b, c, . . . , z}, o conjunto das 23 letras do alfabeto.
O espaço amostral de todas as possíveis senhas de três letras é dado
por:
S = A3 = {(–, —, “) : {–, —, “} µ A}.
Para contar a cardinalidade de S pense que existem 23 possibilidades
para a escolha de –, e para cada – existem 23 escolhas para (–, —),
e, finalmente, para cada (–, —) existem 23 escolhas para (–, —, “):
isso nos dá que n(S) = 233 = 12167 possíveis senhas.
Probabilidade e problemas de contagem
O evento de interesse é
E = {(–, —, “) œ A3 : – ”= — ”= “}.
para contar o número de senhas em E , note que existem 23
possibilidades para a escolha de –, e para cada – existem 22
possibilidades para escolha de (–, —), e para cada par (–, —) existem
21 possibilidades de escolha de (–, —, “). Portanto,
P(E ) =
23 ◊ 22 ◊ 21
10626
=
¥ 0.8733459.
23 ◊ 23 ◊ 23
12167
Probabilidade e problemas de contagem
Em problemas de contagem, muitas vezes nos deparamos com
situações onde existe uma coleção de M objetos distintos, e que
alguém escolhe aleatoriamente n objetos dessa coleçao. Esse
processo de escolha, geralmente chamamos de amostragem.
Primeiramente, é importante salientar que o mecanismo de
amostragem para escolha aleatória de n amostras da coleção com M
objetos é muito importante. É possível que apos a escolha aleatória
de um objeto, ele possa ser devolvido à coleção. À essa forma
damos o nome de amostragem com reposição. Nesse caso o
objeto pode ser sorteado mais de uma vez, e o tamanho de n pode
ser qualquer número inteiro positivo.
Por outro lado, o objeto após escolhido aleatoriamente pode não
voltar a coleção. Nesse caso dizemos que esse mecanismo de
escolha é uma amostragem sem reposição. É óbvio, nesse caso,
que o maior valor possível para n é M.
Probabilidade e problemas de contagem
Para esses dois mecanismo de amostragem (com ou sem reposição),
podemos estar interessados ou não na ordem em que os objetos são
escolhidos. Portanto, temos quatro caso a considerar:
1.
2.
3.
4.
Amostragem
Amostragem
Amostragem
Amostragem
sem reposição e com ordem;
sem reposição e sem ordem.
com reposição e com ordem;
com reposição e sem ordem;
Probabilidade e problemas de contagem
Exemplo: Considere que existem quatro objetos distintos {a, b, c, d}
e que o experimento consiste em escolher aleatoriamente 2 objetos
desses 4 de acordo com cada um dos processos de amostragem.
I
Caso 1. (sem reposição e com ordem)
S = {ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc}
I
Caso 2. (sem reposição e sem ordem)
S = {ab, ac, ad, bc, bd, cd}
I
Caso 3. (com reposição e com ordem)
S = {aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd}
I
Caso 4. (com reposição e sem ordem)
S = {aa, ab, ac, ad, bb, bc, bd, cc, cd, dd}
Probabilidade e problemas de contagem
Quando a ordem importa cada possibilidade de saída do experimento
é chamada de arranjo, ou permutação. Se a ordem não importa,
cada possível saída do experimento é chamada de combinação.
Probabilidade e problemas de contagem
Caso 1: Suponha que desejamos escolher sem reposição e com
ordem n objetos de uma coleção com M objetos. Cada escolha
desses n objetos é chamada de arranjo ou permutação.
I
Exemplo: Se temos 3 objetos, digamos {1, 2, 3}, então existem
6 possíveis permutações de tamanho 2. São elas: (1, 2), (1, 3),
(2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2).
Probabilidade e problemas de contagem
O número total de possíveis permutações de n objetos em M é dado
por:
(M)n = M(M ≠ 1)(M ≠ 2) . . . (M ≠ n + 1) =
onde k! = k(k ≠ 1)!, para k Ø 1 e 0! = 1.
M!
,
(M ≠ n)!
Note que (M)M = M! corresponde ao número total de permutações
de tamanho M considerando M objetos.
Probabilidade e problemas de contagem
(M)n = M(M ≠ 1)(M ≠ 2) . . . (M ≠ n + 1) =
M <- 3
n <- 2
prod(M:(M-n+1))
## [1] 6
M!
(M ≠ n)!
Probabilidade e problemas de contagem
Caso 2: Suponha que desejamos escolher sem reposição e sem
ordem n objetos de uma coleção com M objetos. Cada escolha
desses n objetos é chamada de combinação.
I
Exemplo: Se temos 3 objetos, {1, 2, 3}, então existem 3
possíveis combinações de tamanho 2. São elas: (1, 2), (1, 3),
(2, 3).
Probabilidade e problemas de contagem
O número total de possíveis combinações de n objetos em M é dado
por:
A
M
n
Note que
!M "
0
=1e
!M "
n
B
=
=
M!
.
n!(M ≠ n)!
! M "
M≠n .
Probabilidade e problemas de contagem
A
M
n
M <- 3
n <- 2
choose(3,2)
## [1] 3
B
=
M!
n!(M ≠ n)!
Probabilidade e problemas de contagem
1. Para quaisquer dois números reais x e y , a expansão
binomial de (x + y )M é dada por:
(x + y )
M
=
M
ÿ
n=0
A
B
M n M≠n
x y
.
n
2. Se um conjunto tem M objetos, então o! número
de diferentes
M"
subconjuntos de tamanho n é dado por n . Isso porque não
importa a ordem dos elementos que estão nos subconjuntos.
Probabilidade e problemas de contagem
3. A cardinalidade do conjunto potência de um conjunto com M
elementos (ou, escrito de outra forma, o número total de
possíveis subconjuntos de um conjunto com M elementos) é
dada por:
A
M
0
B
A
M
+
1
B
A
M
+
2
B
A
B
M
+ ... +
.
M
Se utilizarmos a expansão binomial com x = 1 e y = 1, temos
que:
A B A B A B
A B
M
M
M
M
+
+
+ ... +
= 2M .
0
1
2
M
Probabilidade e problemas de contagem
Caso 3: Suponha que desejamos escolher com reposição e com
ordem n objetos de uma coleção com M objetos. O número total de
possíveis escolhas utilizando esse mecanismo é M n .
I
Exemplo: Se temos 3 digitos, {0, 1, 2}, então existem 32 = 9
possíveis combinações para formar um número com 2 digitos:
(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1) e (2, 2).
O número total de possíveis escolhas com reposição e com ordem de
n objetos em M e dado por:
M n.
Probabilidade e problemas de contagem
Mn
M <- 3
n <- 2
M^n
## [1] 9
Probabilidade e problemas de contagem
Caso 4: Suponha que desejamos escolher com reposição e sem
ordem n objetos de uma coleção com M objetos.! O número
total de
"
possíveis escolhas utilizando esse mecanismo é M+n≠1
.
n
I
Exemplo: Se temos 3 objetos, {1, 2, 3}, então existem 6
possíveis escolhas de 2 objetos com reposição e sem considerar
a ordem: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3) e (3, 3).
O número total de possíveis escolhas com reposição e com ordem de
n objetos em M é dado por:
A
M +n≠1
n
B
Probabilidade e problemas de contagem
A
M +n≠1
n
M <- 3
n <- 2
choose(M+n-1,n)
## [1] 6
B
Probabilidade e problemas de contagem
O Problema do aniversário: Qual é a probabilidade de que pelo
menos duas pessoas nessa turma de n alunos façam aniversário no
mesmo dia?
O evento que estamos interessado é:
E = “Pelo menos dois alunos fazem aniversário no mesmo dia”.
Mas, é mais fácil calcular a probabilidade de E considerando o
evento complementar:
Ē = “Todos os alunos fazem aniversário em datas diferentes”.
Probabilidade e problemas de contagem
Se Ē = “Todos os alunos fazem aniversário em datas diferentes”,
então temos que
n(Ē ) = (365)n .
Por outro lado, o número de possíveis datas em que esses n alunos
fazem aniversário equivale ao tamanho de S:
n(S) = 365n .
Por consequência,
P(Ē ) =
n(Ē )
(365)n
=
.
n(S)
365n
Por fim, temos:
P(E ) = 1 ≠ P(Ē ) = 1 ≠
(365)n
.
365n
Probabilidade e problemas de contagem
n <- 50
p <- c(1:n)
for (k in 1:n)
p[k] <- 1 - prod(365:(365-k+1))/(365^k)
Probabilidade e problemas de contagem
p
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
[1]
[6]
[11]
[16]
[21]
[26]
[31]
[36]
[41]
[46]
0.000000
0.040462
0.141141
0.283604
0.443688
0.598241
0.730455
0.832182
0.903152
0.948253
0.002740
0.056236
0.167025
0.315008
0.475695
0.626859
0.753348
0.848734
0.914030
0.954774
0.008204
0.074335
0.194410
0.346911
0.507297
0.654461
0.774972
0.864068
0.923923
0.960598
0.016356
0.094624
0.223103
0.379119
0.538344
0.680969
0.795317
0.878220
0.932885
0.965780
0.027136
0.116948
0.252901
0.411438
0.568700
0.706316
0.814383
0.891232
0.940976
0.970374
Probabilidade e problemas de contagem
1.0
0.8
0.6
0.2
0.4
Numero = 23, P(E) > 0.5
0.0
Probabilidade de no minimo 2 alunos fazerem aniversario no mesmo dia
O paradoxo do aniversario
0
10
20
30
Numero de alunos
40
50
Simulando escolhas
nsamples <- 20
x <- sample(c("H","T"),nsamples,replace = TRUE)
x
## [1] "H" "H" "T" "T" "H" "T" "H" "T" "H" "T" "H" "T"
## [13] "H" "T" "H" "T" "T" "H" "H" "T"
table(x)
## x
## H T
## 10 10
table(x)/nsamples
## x
##
H
T
## 0.5 0.5
Probabilidade
A probabilidade é uma medida associa um número real a cada
evento E em um espaço amostral S. Essa medida de probabilidade,
que denotamos por P(E ), deve satisfazer os três axiomas a seguir:
I
I
I
Axioma 1: Para qualquer evento E em S, P(E ) Ø 0.
Axioma 2: P(S) = 1.
Axioma 3: Se E1 , E2 , . . . é uma sequência infinita de eventos
mutuamente exclusivos em S, então:
P(
Œ
€
i=1
Ei ) =
n
ÿ
i=1
P(Ei ).
Propriedades elementares da probabilidade
1.
2.
3.
4.
5.
P(Ē ) = 1 ≠ P(E ).
P(ÿ) = 0.
Se A µ B, então P(A) Æ P(B).
P(A) Æ 1.
Sejam A e B eventos em S, então
P(A fi B) = P(A) + P(B) ≠ P(A fl B).
Propriedades elementares da probabilidade
6. Se E1 , E2 , . . . , En são n eventos arbitrários em S, então:
P(
n
€
i=1
Ei ) =
n
ÿ
i=1
P(Ei )≠
ÿ
i”=j
P(Ei flEj )+
ÿ
i”=j”=k
P(Ei flEj flEk )≠. . .
≠(≠1)n≠1 P(E1 fl E2 fl · · · fl En ).
7. Se E1 , E2 , . . . , En é uma sequência de n eventos mutuamente
exclusivos em S, então:
P(
n
€
i=1
Ei ) =
n
ÿ
i=1
P(Ei ).
Espaços amostrais finitos
Considere um espaço amostral finito S com n elementos:
S = {’1 , ’2 , . . . , ’n },
onde cada ’i representa um evento elementar em S. Seja
P(’i ) = pi . Então,
1. 0 Æ P(’i ) Æ 1, i œ {1, 2, 3, . . . , n}.
q
2. ni=1 pi = 1.
t
3. Se A = iœI ’i , onde I é uma coleção de subescritos, então
P(A) =
ÿ
iœI
P(’i ) =
ÿ
iœI
pi .
Eventos igualmente prováveis
Considere um espaço amostral finito S com n elementos:
S = {’1 , ’2 , . . . , ’n },
onde cada ’i representa um evento elementar em S.
Quando todos os eventos elementares são igualmente prováveis,
ou equiprováveis, temos que p1 = p2 = · · · = pn .
Então, temos que pi = n1 , para i œ {1, 2, 3, . . . , n}.
Probabilidade condicional
A probabilidade condicional de um evento A dado o evento B,
denotada por P(A|B), é definida por:
P(A|B) =
P(A fl B)
, com P(B) > 0,
P(B)
onde P(A fl B) é a probabilidade conjunta de A e B.
Similarmente,
P(B|A) =
P(A fl B)
, com P(A) > 0.
P(A)
é a probabilidade condicional de B dado A.
Utilizando as duas equações acima, podemos escrever:
P(A fl B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A).
Regra de Bayes
Se A e B são dois eventos em S, então:
P(A|B) =
P(B|A)P(A)
.
P(B)
Probabilidade Total
Os eventos E1 , E2 , . . . , En são chamados de eventos mutuamente
exclusivos e exaustivos se
n
€
i=1
Ei = S e Ei fl Ej = ÿ quando i ”= j.
Seja B qualquer evento em S. Então
P(B) =
n
ÿ
i=1
P(B fl Ei ) =
n
ÿ
i=1
P(B|Ei )P(Ei ),
que é chamada de probabilidade total de B.
Teorema de Bayes
Se E1 , E2 , . . . , En são eventos mutuamente exclusivos e exaustivos
em S e B um evento qualquer em S com P(B) > 0, então:
P(B|Ei )P(Ei )
P(Ei |B) = qn
,
i=1 P(B|Ei )P(Ei )
para i œ {1, . . . , n}.
As probabilidades P(Ei ) são chamadas de probabilidades a priori, e
P(Ei |B) de probabilidade a posteriori.
Eventos independentes
Dois eventos A e B são ditos estatisticamente independentes se e
somente se
P(A fl B) = P(A)P(B).
Imediatamente, isso implica em: P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B).
I
Exercício: Mostre que se A e B são independentes, então A e
B̄ também são independentes.
Eventos independentes
Os eventos A1 , A2 , . . . , An são ditos estatisticamente
independentes se e somente se
P(A1 fl A2 fl · · · fl An ) = P(A1 )P(A2 ) · · · P(An ).
Finalmente, dizemos que um conjunto infinito de eventos são
independentes se e somente se qualquer subconjunto finito desses
eventos é independente.
Eventos mutuamente exclusivos / Eventos independentes
1. Se {Ei , i = 1, 2, . . . , n} é uma sequência de eventos
mutuamente exclusivos, então:
P(
n
€
i=1
Ei ) =
n
ÿ
i=1
P(Ei ).
2. Se {Ei , i = 1, 2, . . . , n} é uma sequência de eventos
independentes, então:
P(
n
‹
i=1
Ei ) =
n
Ÿ
i=1
P(Ei ).
Espaço de probabilidade
Até então, nos concentramos em construir os conceitos básicos de
probabilidade.
I
I
I
Definimos o espaço amostral S, que consiste no conjunto de
todas as possíveis saídas de um experimento.
Definimos a ‡-álgebra F, cujos membros são chamados de
eventos.
E, finalmente, associamos a esses eventos uma probabilidade P.
Juntando tudo isso, temos o que chamamos de espaço de
probabilidade: (S, F, P).
Bibliografia
I
I
I
Jane M. Horgan, Probability with R, Willey, 2009.
Hwei Hsu, Probability, Random Variables, and Random
Processes, Schaum’s outlines, 1996.
Ramakant Khazanic, Basic Probability Theory and
Applications, Goodyear Pub., 1976.