Poliedros – Teoria

Poliedros – Teoria
Superfície Poliédrica é um conjunto finito de polígonos planos cuja disposição no espaço satisfaz as seguintes
propriedades:
P1. Todo polígono da Superfície Poliédrica possui algum lado em comum com outro polígono da Superfície Poliédrica, ou a
Superfície Poliédrica é formada por um único polígono.
P2. Polígonos adjacentes da Superfície Poliédrica não são coplanares.
P3. Todo lado de um polígono da Superfície Poliédrica pertence à no máximo dois polígonos.
P4. Os lados de polígonos da Superfície Poliédrica que pertencem a um único polígono devem formar uma única linha
poligonal fechada.
Os principais elementos em uma superfície poliédrica são:
1. Faces. As Faces de uma Superfície Poliédrica são os polígonos da Superfície Poliédrica.
2. Arestas: As Arestas de uma Superfície Poliédrica são os lados dos polígonos.
3. Vértices: Os Vértices de uma Superfície Poliédrica são os vértices dos polígonos.
4. Diagonais da Superfície Poliédrica. É todo segmento cujos extremos são vértices da Superfície Poliédrica que não é Aresta
ou diagonal de Face.
Superfície Poliédrica aberta é a Superfície Poliédrica que possui arestas que pertençam a uma única Face, caso
contrário é Fechada.
Superfície Poliédrica convexa é a Superfície Poliédrica que fica totalmente contida em um dos semi-espaços definido
pelo plano suporte das faces, uma conseqüência disto é que todas as faces de uma Superfície Poliédrica convexa são polígonos
convexos.
Poliedro Convexo é uma superfície poliédrica convexa fechada.
Os próximos Teoremas relacionam os elementos das Superfícies Poliédricas.
Teorema de Euler
Em toda superfície poliédrica convexa aberta vale
V −A + F =1
Teorema de Euler
Em todo poliedro convexo vale
V−A+F= 2
Teorema
Em todo poliedro convexo vale
∑n ⋅F
2⋅A =∑n ⋅V
2⋅A =
n
n ≥3
n
n ≥3
Onde Fn e Vn são o número de faces de gênero n e o número de vértices em que concorrem n arestas.
Um Poliedro é regular quando todas as suas faces são polígonos regulares congruentes e todos os ângulos sólidos e diedros são
congruentes.
Existem apenas cinco poliedros regulares convexos, são eles:
Tetraedro regular
Octaedro regular
Icosaedro regular
Hexaedro regular (cubo)
Dodecaedro regular
Poliedro de Platão é o poliedro convexo em que todas as faces e todos os vértices são do mesmo tipo, ou seja. As faces são todas do
mesmo gênero e em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas.
Da definição observa-se que todo Poliedro regular é Poliedro de Platão, mas nem todo Poliedro de Platão é Poliedro
regular, já que as faces podem não ser polígonos regulares ou podem não ser congruentes ou os ângulos sólidos ou Diedros podem não
ser congruentes.
Existem apenas cinco poliedros de Platão, são eles:
Tetraedro
Octaedro
Icosaedro
Hexaedro
Dodecaedro
Teorema
Em um poliedro convexo a soma dos ângulos internos das faces vale:
Si = 360° ⋅ ( V − 2 ) .
Teorema
Em um poliedro convexo a soma dos ângulos externos das faces vale:
Se = 360°⋅ F
Ex.1: (AFA)
Um poliedro platônico, cujas faces são triangulares, tem 30 arestas. Determine o número de arestas que concorrem em cada
vértice.
(A) 3
(B) 5
(C) 4
(D) 6.
Solução:
Temos
⎧A = 30
⇒ 2 ⋅ A = 3 ⋅ F3 ⇔ 60 = 3 ⋅ F3 ⇔ F3 = 20 ⇔ F = 20
⎨
⎩F = F3
Do Teorema de Euler
V − A + F = 2 ⇒ v − 30 + 20 = 2 ⇔ V = 12
Como todos os vértices são do mesmo tipo, temos
V = Vp = 12 ⇒ p ⋅ Vp = 2 ⋅ A ⇔ 12 ⋅ p = 60 ⇔ p = 5
Opção (B)
Ex.2: (EN)
Um poliedro convexo de 25 arestas tem faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces
quadrangulares vale o dobro do número de faces pentagonais e o número de faces triangulares excede o de faces
quadrangulares em 4 unidades. Pode-se afirmar que o número de vértices deste poliedro é:
(A) 14
(B) 13
(C) 11
(D) 10.
Solução:
⎧A = 25
⎪
⎨F4 = 2 ⋅ F5 ⇒ 2 ⋅ A = 3 ⋅ F3 + 4 ⋅ F4 + 5 ⋅ F5 ⇔ 50 = 3 ⋅ ( 2 ⋅ F5 + 4 ) + 4 ⋅ ( 2 ⋅ F5 ) + 5 ⋅ F5 ⇔ F5 = 2
⎪F = F + 4
4
⎩ 3
Logo
⎧F3 = 8
F5 = 2 ⇒ ⎨
Como F = F3 + F4 + F5 ⇒ F = 14
⎩F4 = 4
Do Teorema de Euler
V − A + F = 2 ⇒ V − 25 + 14 = 2 ⇔ V = 13.
Opção (B)
Ex.3: (EN)
Os átomos de uma molécula de determinada substância química se dispõem sobre os vértices de um poliedro convexo, cuja
soma dos ângulos de todas as faces vale 2,088x104 graus. Sabendo que o poliedro tem 90 arestas, o menor inteiro que se
deve somar ao número de faces para obter um quadrado perfeito é
(A) 1
(B) 4
(C) 7
(D) 8
(E) 17.
Solução:
Si = 20.880 ⇔ 360° ⋅ ( V − 2 ) = 20.880 ⇔ V = 60.
Do Teorema de Euler
⎧A = 90
⇒ V − A + F = 2 ⇔ 60 − 90 + F = 2 ⇔ F = 32.
⎨
⎩V = 60
O menor inteiro que devemos somar a 32 para obtermos um quadrado perfeito e -32.
Sem resposta.
Caso seja natural, o menor natural que devemos somar a 32 para obtermos um quadrado perfeito é 4.
Opção (B)
1. (ITA) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces
quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma progressão aritmética.
O número de aresta é:
(A) 10
(B) 17
(C) 20
(D) 22
(E) 23.
2. (ITA) Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces triangulares e quadrangulares. Seccionando-o por um
plano convenientemente escolhido, dele se destaca um novo poliedro convexo, que possui apenas faces quadrangulares.
Este novo poliedro possui um vértice a menos que o original e uma face a mais que o número de faces quadrangulares do
original. Sendo m e n, respectivamente, o número de faces e o número de vértices do poliedro original, então:
(A) m = 9, n = 7
(B) m = n = 9
(C) m = 8, n = 10
(D) m = 10, n = 8
(E) m = 7, n = 9.
3. (IME) Um prisma A, um prisma B e uma pirâmide C tem ao todo 32 arestas. Sabendo-se que A têm mais arestas que B,
dizer o número de lados da base de cada sólido.
Solução:
Sejam n A , n B e n C os números de lados da base de A, B e C respectivamente, então
⎧A A = 3 ⋅ n A
⎪
⎨A B = 3 ⋅ n B
⎪A = 2 ⋅ n
C
⎩ C
Além disso
⎧A A + A B + A C = 32
⎧n B = 3
⇒ 32 > 2 ⋅ A B + A C = 6 ⋅ n B + 2 ⋅ n C ⇔ 16 > 3 ⋅ n B + n C ≥ 3 ⋅ n B + 3 ⇔ ⎨
⎨
⎩n B = 4
⎩A A > A B
Analisando as possibilidades temos:
nB = 3 ⇒
Lembrando que n A > n B ≥ 3
1.n C = 3 ⇒ n A ∉ `
2.n C = 4 ⇒ n A = 5
3.n C = 5 ⇒ n A ∉ `
4.n C = 6 ⇒ n A ∉ `
5.n C ≥ 7 ⇒ n A ≤ 3 Não serve!
nB = 4 ⇒
Lembrando que n A > n B ≥ 3
1.n C = 3 ⇒ n A ∉ `
2.n C ≥ 4 ⇒ n A ≤ 4 Não serve!
Logo devemos ter n A = 5, n B = 3 e n C = 4.
4. (IME)
Um poliedro convexo apresenta faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o
número de faces pentagonais de duas unidades.
Pergunta-se o número de faces de cada espécie, sabendo-se que o poliedro tem sete vértices.
5. Prove que dado um Poliedro de Platão em que cada face tem gênero n e em cada vértice concorrem p arestas, temos:
4n
V=
2n + 2p − np
4p
F=
2n + 2p − np
2np
A=
2n + 2p − np
6. Prove que existem apenas cinco Poliedros Regulares.
Dica:
Use o fato de que em um vértice os ângulos planos são todos congruentes e que a somas destes é menor que 360°, ou seja,
180° ⋅ ( n − 2 )
p ⋅ a i < 360° ⇔ p ⋅
< 360° ⇔ p ⋅ ( n − 2 ) < 2n
n
Como p ≥ 3 temos:
3 ⋅ ( n − 2 ) < 2 ⋅ n ⇔ n < 6.
Verifique que ⎧p = 3 (Tetraedro Re gular)
⎪
n = 3 ⇒ ⎨p = 4 (Octaedro Re gular)
⎪p = 5 (I cos aedro Re gular)
⎩
n = 4 ⇒ p = 3 (Hexaedro Re gular)
n = 5 ⇒ p = 3 (Dodecaedro Re gular)
7. Prove que existem apenas cinco Poliedros de Platão.
Dica:
Do exercício 5, podemos afirmar que 0 < 2n + 2p − np ⇒ p ⋅ ( n − 2 ) < 2n e agora segue análogo ao exercício 6. 8. Todas as faces de um poliedro convexo tem o mesmo gênero. Sabendo-se que em 8 vértices do poliedro concorrem 3
arestas e que nos outro 4 vértices concorrem 4 arestas, pede-se calcular o número de diagonais do poliedro.
Solução:
⎧V3 = 8
⇒ 2A = 3V3 + 4V4 ⇔ A = 20
⎨
⎩V4 = 4
Como V = 12
Teorema de Euler ⇒ 12 − 20 + F = 2 ⇔ F = 10
Além disso nFn = 2A ⇔ 10n = 40 ⇔ n = 4
Logo
⎛ 4 ( 4 − 3) ⎞
2
D = C2V − A − D F = C12
− 20 − 10 ⋅ ⎜
⎟⎟ = 66 − 20 − 20 = 26. (D F é o número total de diagonais de face)
⎜
2
⎝
⎠
9. (IME) Determine os números naturais n para os quais existam poliedros convexos de n arestas.
Gabarito
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
C
B
n A = 5, n B = 3 e n C = 4
F3 = 3, F4 = 4 e F5 = 1.
\
\
\
26
n = 6 ou n ≥ 8.