Elementos de Matemática

Elementos de Matemática
Álgebra de Boole
Roteiro no. 10 - Atividades didáticas de 2007
8 de Outubro de 2007- Arq: elementos10.tex
Departamento de Matemática - UEL
Prof. Ulysses Sodré
E-mail: ulysses(at)matematica(pt)uel(pt)br
Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/
Resumo: Notas de aulas para as nossas aulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam um roteiro para as aulas e
não espero que estas notas venham a substituir qualquer livro sobre o
assunto. Algum material foi obtido em livros citados na Bibliografia,
mas os assuntos foram bastante modificados. Sugerimos que o leitor
pesquise a Interbet para obter materiais gratuitos para os seus estudos.
Mensagem: Melhor é serem dois do que um, porque têm melhor paga
do seu trabalho. Pois se caı́rem, um levantará o seu companheiro;
mas ai do que estiver só, pois, caindo, não haverá outro que o levante.
Também, se dois dormirem juntos, eles se aquentarão; mas um só
como se aquentará? E, se alguém quiser prevalecer contra um, os dois
lhe resistirão; e o cordão de três dobras não se quebra tão depressa.
A Bı́blia Sagrada, Eclesiastes 4:9-12
Seção 1 Álgebra de Boole
1
1 Álgebra de Boole
Definição 1 (Álgebra de Boole). Uma Álgebra Booleana é uma estrutura
matemática denotada por B = (B, s, p, c, θ, I), onde os seis objetos são:
B: Um conjunto B não vazio.
s: Uma operação binária s : B×B → B que associa a cada par de elementos
(a, b) ∈ B × B um elemento s(a, b) = a + b ∈ B, denominado a soma
dos elementos a, b ∈ B.
p: Uma operação binária p : B × B → B que associa a cada par de
elementos (a, b) ∈ B × B um elemento p(a, b) = a ∗ b ∈ B, denominado
o produto dos elementos a, b ∈ B.
c: Uma operação unária c : B ×B → B que associa a cada elemento a ∈ B
um elemento c(a) ∈ B, denominado o complemento do elemento a ∈ B.
θ: Um elemento nulo θ ∈ B,
I: Um elemento unidade I ∈ B que é diferente de θ ∈ B.
que, para quaisquer a, b, c ∈ B, satisfazem aos oito axiomas:
1. Comutativa: a + b = b + a
5. Comutativa: a ∗ b = b ∗ a
2. Distributiva:
a + (b ∗ c) = (a + b) ∗ (a + c)
6. Distributiva:
a ∗ (b + c) = (a ∗ b) + (a ∗ c)
3. Elemento nulo: a + θ = a
7. Elemento unidade: a ∗ I = a
4. Complemento: a + c(a) = I
8. Complemento: a ∗ c(a) = θ
Exemplo 1 (Álgebra de Boole). A estrutura (B, +, ∗, c, 0, 1), onde B = {0, 1},
θ = 0 e I = 1, com as operações definidas pelas tabelas
a c(a)
0 1
1 0
* 0 1
0 0 0
1 0 1
+ 0 1
0 0 1
1 1 1
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Seção 1 Álgebra de Boole
2
Observação 1 (Precedência nas operações). Em uma Álgebra de Boole, embora
os parênteses possam alterar a precedência, as operações matemáticas são
realizadas na seguinte ordem:
1. Complemento,
2. Produto,
3. Soma.
Observação 2 (Precedência nas operações). Na Álgebra de Boole do exemplo
anterior, (B, +, ∗, c, 0, 1), onde B = {0, 1}, θ = 0 e I = 1, a expressão
booleana x = 1 ∗ (1 + 0) + c(1) tem valor x = 1, pois
x = 1 ∗ (1 + 0) + c(1)
= 1 ∗ (1 + 0) + 0
= 1 * 1 +0
= 1+0
= 1
Exemplo 2 (Álgebra de Boole de Conjuntos). A estrutura (X , ∪, ∩, c, ∅, U )
formada pela coleção X de todos os conjuntos que é fechada para as operações
de reunião, interseção e complementar, sendo o elemento nulo θ = ∅ (conjunto
vazio), o elemento unidade I = U (universo) e c(A) = U − A = Ac que é
complemento, pois, quaisquer que sejam A, B, C ∈ X , tem-se:
1. A ∪ B = B ∪ A
5. A ∩ B = B ∩ A
2. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
6. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
3. A ∪ ∅ = A
7. A ∩ U = A
4. A ∪ Ac = U
8. A ∩ Ac = ∅
Observação 3. A palavra fechada em X significa que a reunião, a interseção
e o complementar de conjuntos em X ainda está em X .
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Seção 1 Álgebra de Boole
3
Exemplo 3 (Divisores de 12). Seja a estrutura (D(12), ⊕, , c, θ, I), formada
pelo conjunto D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} dos divisores naturais do número 12,
o elemento nulo θ = 1 e o elemento unidade I = 12, com as operações
definidas pelas tabelas:
a ⊕ b = MMC(a,b)
a b = MDC(a,b)
c(a) =
12/a
Mı́nimo Múltiplo Comum entre a e b
Máximo Divisor Comum entre a e b
Divisão de 12 por a
A estrutura (D(12), ⊕, , c, θ, I) não representa uma Álgebra de Boole, pois
2 ∈ D(12) e c(2) = 6 ∈ D(12), mas
2 ⊕ c(2) = 2 ⊕ 6 = M M C(2, 6) = 6 =
6 12 = I
2 c(2) = 2 6 = M DC(2, 6) = 2 =
6
1 = θ
Exemplo 4 (Álgebra de Boole Z2). A estrutura (Z2 , +, ∗, c, P, I) sendo que
Z2 = {P, I}, P é conjunto dos números pares inteiros, I é o conjunto dos
números ı́mpares inteiros, o elemento nulo θ = P , o elemento unidade é o
conjunto I dos números ı́mpares e o complemento definido no universo Z do
conjunto dos números inteiros, com as operações definidas pelas tabelas
a c(a)
P
I
I
P
* P I
P P P
I P I
+ P I
P P I
I I I
Exemplo 5 (Z3). Seja z um número inteiro. Se a divisão do número z por
3 tem resto r, escrevemos z ∈ [r] (z pertence à classe [r]) . O conjunto
das classes Z3 = {[0], [1], [2]} é bem conhecido na Álgebra, mas a estrutura
(Z3 , +, ∗, c, [0], [1]) com o elemento nulo θ = [0] e o elemento unidade I = [1],
Não é uma Álgebra de Boole com as operações definidas pelas tabelas:
a c(a)
[0] [1]
[1] [0]
[2] [2]
*
[0]
[1]
[2]
[0]
[0]
[0]
[0]
[1]
[0]
[1]
[2]
[2]
[0]
[2]
[1]
+
[0]
[1]
[2]
[0]
[0]
[1]
[2]
[1]
[1]
[2]
[0]
[2]
[2]
[0]
[1]
Se (Z3 , +, ∗, c, [0], [1]) fosse uma Álgebra de Boole, poderı́amos tomar a = [2],
c(a) = [2] e seguiria que [0] = θ = a ∗ c(a) = [2] ∗ [2] = [1], o que é falso.
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Seção 1 Álgebra de Boole
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Exemplo 6 (Álgebra de Boole {(0,0),(1,1)}). Seja B = {0, 1} e o produto
cartesiano B 2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. A estrutura (B 2 , +, ∗, c, θ, I))
onde θ = (0, 0) e I = (1, 1) é uma Álgebra de Boole, com as operações:
a
(0,0)
(0,1)
(1,0)
(1,1)
c(a)
(1,1)
(1,0)
(0,1)
(0,0)
*
(0,0)
(0,1)
(1,0)
(1,1)
+
(0,0)
(0,1)
(1,0)
(1,1)
(0,0)
(0,0)
(0,1)
(1,0)
(1,1)
(0,0)
(0,0)
(0,0)
(0,0)
(0,0)
(0,1)
(0,1)
(0,1)
(1,1)
(1,1)
(0,1)
(0,0)
(0,1)
(0,0)
(0,1)
(1,0)
(1,0)
(1,1)
(1,0)
(1,1)
(1,0)
(0,0)
(0,0)
(1,0)
(1,0)
(1,1)
(0,0)
(0,1)
(1,0)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
Exemplo 7. Seja o conjunto B = {0, 1, 2, 3}. Escrevemos um elemento a ∈ B
na base 2, dividindo a por 2, para obter o quociente q e o resto r. A notação
a2 = qr indica o valor do número a ∈ B na base 2. Formamos assim um novo
conjunto B2 = {00, 01, 10, 11}. Se o elemento nulo é θ = 00, o elemento
unidade é I = 11 e as operações são definidas pelas tabelas
a c(a)
00 11
01 10
10 01
11 00
*
00
01
10
11
00
00
00
00
00
01
00
01
00
01
10
00
00
10
10
11
00
01
10
11
+
00
01
10
11
00
00
01
10
11
01
01
01
11
11
10
10
11
10
11
11
11
11
11
11
segue que a estrutura (B2 , +, ∗, c, 00, 11) é uma Álgebra de Boole.
Exemplo 8 (Álgebra de Boole das Proposições lógicas ). A estrutura formada
por (P, ∨, ∧, ¬, F, V ), em que P é a coleção de todas as proposições lógicas,
∨ é a operação de disjunção, ∧ é a operação de conjunção, ¬ é a operação de
negação, θ = F é a contradição representando o elemento nulo e I = V é a
tautologia representando o elemento unidade, é uma Álgebra de Boole. Neste
caso, duas proposições lógicas equivalentes são tomadas como iguais.
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Seção 2 Sı́mbolos superior e inferior de Sheffer
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Definição 2 (Dualidade). Em uma Álgebra de Boole, o dual de uma afirmação
é uma outra afirmação obtida da primeira pela troca das operações de soma
(+) pelo produto (∗) e pela troca do elementos nulo (θ) pela unidade (I).
Exemplo 9 (Dualidade). A afirmação dual corespondente a
(a + θ) ∗ (b + c(b)) = a
é a afirmação
(a ∗ I) + (b ∗ c(b)) = a
Observação 4 (Sobre dualidade). Um Teorema é verdadeiro em uma Álgebra
de Boole, se e somente se, o Teorema dual correspondente é verdadeiro.
Observação 5 (Dualidade no teorema). No próximo teorema, as afirmações
(1,2,3,4,5,6), respectivamente, são duais às afirmações (7,8,9,10,11,12), significando que basta demonstrar o primeiro grupo ou o segundo grupo.
Teorema 1 (Propriedades). Se B é uma Álgebra de Boole e a, b, c ∈ B, então
1. a + a = a
7. a ∗ a = a
2. a + I = I
8. a ∗ θ = θ
3. a + (a ∗ b) = a
9. a ∗ (a + b) = a
4. a + (b + c) = (a + b) + c
10. a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c
5. c(θ) = I
11. c(I) = θ
6. c(a + b) = c(a) ∗ c(b)
12. c(a ∗ b) = c(a) + c(b)
Exercı́cio: Se B é uma Álgebra de Boole e a, b, c ∈ B, mostrar que
1. c(c(a)) = a
2. Se a + x = 1 e a ∗ x = 0 então x = c(a).
2 Sı́mbolos superior e inferior de Sheffer
Definição 3. Define-se o sı́mbolo superior de Sheffer por
p ↑ q = (¬p) ∨ (¬q) = ¬p ∨ ¬q
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Seção 2 Sı́mbolos superior e inferior de Sheffer
6
Exemplo 10 (Negação de p). Usando o sı́mbolo superior de Sheffer, obtemos
p ↑ p = ¬p ∨ ¬p = ¬p
Exemplo 11 (Conjunção de p e q). Com o sı́mbolo superior de Sheffer aplicado
a duas proposições iguais a p ↑ q, obtemos
(p ↑ q) ↑ (p ↑ q) = (¬(¬p ∨ ¬q)) ∨ (¬(¬p ∨ ¬q)) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ q) = p ∧ q
Exemplo 12 (Disjunção de p e q). Com o sı́mbolo superior de Sheffer aplicado
às proposições p ↑ p e q ↑ q, obtemos
(p ↑ q) ↑ (q ↑ q) = ¬(¬p ∨ ¬p) ∨ ¬(¬q ∨ ¬q) = ¬(¬p) ∨ ¬(¬q) = p ∨ q
Definição 4. Define-se o sı́mbolo inferior de Sheffer por
p ↓ q = (¬p) ∧ (¬q) = ¬p ∧ ¬q
Exemplo 13 (Negação de p). Usando o sı́mbolo inferior de Sheffer, obtemos
p ↓ p = ¬p ∧ ¬p = ¬p
Exemplo 14 (Disjunção de p e q). Com o sı́mbolo inferior de Sheffer aplicado
a duas proposições iguais a p ↓ q, obtemos
(p ↓ q) ↓ (p ↓ q) = (¬(¬p ∧ ¬q)) ∧ (¬(¬p ∧ ¬q)) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ q) = p ∨ q
Exemplo 15 (Conjunção de p e q). Com o sı́mbolo inferior de Sheffer aplicado
às proposições p ↓ p e q ↓ q, obtemos
(p ↓ p) ↓ (q ↓ q) = ¬(¬p ∧ ¬p) ∧ ¬(¬q ∧ ¬q) = ¬(¬p) ∧ ¬(¬q) = p ∧ q
Complete a tabela com as operações com os sı́mbolos de Sheffer:
Proposição Sı́mbolo Sı́mbolo superior Sı́mbolo inferior
Negação
¬p
p↑p
p↓p
Conjunção
p∧q
(p ↑ q) ↑ (p ↑ q) (p ↓ p) ↓ (q ↓ q)
Disjunção
p∨q
(p ↑ p) ↑ (q ↑ q) (p ↓ q) ↓ (p ↓ q)
Condicional
p→q
Bicondicional p ↔ q
Podemos construir uma Tabela-Verdade com os sı́mbolos de Sheffer:
p q p↑q p↓q
V V
V
V
V F F
V
F V
F
V
F F V
V
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