Aula 1_Distribuicoes Discretas

MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS
COMUNS
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Definições
Variáveis Aleatórias
• Uma variável aleatória representa um valor
numérico possível de um evento incerto.
• Variáveis aleatórias discretas produzem resultados
que advém de um processo de contagem (ex.: no.
de disciplinas que você cursa).
• Variáveis aleatórias contínuas produzem resultados
que advém de um processo de medição (ex.: seu
salário anual ou seu peso).
Variáveis Aleatórias Discretas
Exemplos
Variáveis aleatórias discretas só podem assumir um
número contável de valores
– Exemplos:
• Jogar um dado duas vezes
– Seja X o no. de vezes em que o 4 aparece (então X pode ser 0, 1, ou 2
vezes)
• Lançar uma moeda 5 vezes.
– Seja X o no. de caras (então X = 0, 1, 2, 3, 4, ou 5)
Definições
Variáveis Aleatórias
Variáveis
Aleatórias
Discreta
V. A.
Contínua
V. A.
Definições
Distribuição de Probabilidades
• Uma distribuição de probabilidades para uma
variável aleatória discreta é uma lista mutuamente
excludente de todos os resultados numéricos
possíveis para aquela variável, de modo a que uma
determinada probabilidade de ocorrência esteja
associada a cada resultado.
No. de disciplinas
Probabilidade
2
0.2
3
4
0.4
0.24
5
0.16
Definições
Distribuição de Probabilidades
Experimento: Duas jogadas de uma moeda.
Seja X = # caras.
Valor X
Probabilidade
0
1/4 = .25
1
2/4 = .50
2
1/4 = .25
Probability
Distribuição de Probabilidades
.50
.25
0
1
2
X
Variáveis Aleatórias Discretas
Valor Esperado
•
Valor Esperado (ou média) de uma distribuição
discreta (Média Ponderada)
N
  E(X)   X i P( X i )
i 1
• Exemplo: 2 jogadas moeda, X = # de caras,
Calcule o valor esperado de X:
E(X) = (0)(.25) + (1)(.50) + (2)(.25)
= 1.0
Valor
0
1
2
Probabilidade
1/4 = .25
2/4 = .50
1/4 = .25
Variáveis Aleatórias Discretas
Valor Esperado
• Calcule o valor esperado
da distribuição:
No. de
disciplinas
Probabilidade
2
0.2
3
4
5
0.4
0.24
0.16
E(X) = 2(.2) + 3(.4) + 4(.24) + 5(.16) = 3.36
Então, o no. médio de disciplinas por aluno é
de 3.36.
Variáveis Aleatórias Discretas
Dispersão
• Variância de uma variável aleatória discreta
N
σ  [Xi  E(X)]2 P(Xi )
2
i 1
• Desvio Padrão de uma variável aleatória discreta
σ σ 
2
N
2
[X

E(X)]
P(Xi )
 i
i 1
onde:
E(X) = Valor esperado da variável aleatória discreta X
Xi = o io. resultado de X
P(Xi) = Probabilidade do io. resultado de X ocorrer
Variáveis Aleatórias Discretas
Dispersão
– Exemplo: Duas jogadas de uma moeda, X = #
caras, calcule o desvio padrão (lembrar que E(X)
= 1)
σ σ 
2
N
2
[X

E(X)]
P(Xi )
 i
i 1
σ  (0  1)2 (.25)  (1 1)2 (.50)  (2  1)2 (.25)  .50  .707
Nos. possíveis de caras = 0, 1, or 2
Dist. de Probabilidades - Regras
• Duas regras se aplicam a qualquer distribuição de
probabilidades:
Regra 1:
Os valores de uma distribuição de probabilidades devem
ser números do intervalo de 0 a 1.
Regra 2:
A soma de todos os valores de uma distribuição de probabilidades deve ser igual a 1.
• ... estas regras permitem determinar se uma função (dada por
uma equação ou uma tabela) pode ou não servir como
distribuição de probabilidades de alguma variável aleatória.
Distribuições de Probabilidade
• Vimos como descrever uma distribuição de
probabilidade e que características devem ser
obedecidas para que uma função possa ser
característica de uma distribuição de probabilidades.
• Conhecer a distribuição de probabilidade de um
experimento ou fenômeno nos dá uma forma
simples de avaliar as probabilidades dos resultados
possíveis dos mesmos.
• Os tipos de distribuição podem ser considerados
modelos para descrever situações que envolvem
resultados aleatórios.
Distribuições de Probabilidade
• Cada modelo de distribuição de probabilidades na
estatística, terá seu conjunto de hipóteses que
definem as condições sob as quais aquele modelo
pode ser utilizado validamente.
• O objetivo de estudar distribuições de probabilidade
podem ser resumidos nas duas seguintes questões:
– Que hipóteses ou restrições básicas são exigidas por cada tipo
de distribuição de probabilidades? O conhecimento deste
aspecto é vital para confrontar uma variável aleatória com a
situação real.
– Como se podem usar as distribuições de probabilidades para
obter soluções de problemas?
Distribuições de Probabilidade
• Se a situação real que você analisa se aproxima
fortemente de uma distribuição de probabilidades já
conhecida, sua análise fica muito mais simples,
como veremos adiante.
A essência da análise estatística é confrontar as hipóteses de
uma distribuição de probabilidades com as especificações
de determinado problema.
Distribuições de Probabilidade
• Nesta aula veremos as principais distribuições de
probabilidade que podem ser aplicadas às variáveis
discretas.
Distribuição Binomial
Distribuição de Poisson
Distribuição Binomial:
Propriedades
• A amostra consiste em um número fixo de observações, n
– ex. 15 jogadas de uma moeda; dez lâmpadas retiradas de um
estoque
• Cada observação é classificada como uma de duas
categorias mutuamente excludentes e coletivamente
exaustivas, geralmente chamadas de sucesso e insucesso
– ex. Cara ou coroa em cada jogada da moeda; defeituosa ou não
defeituosa no caso das lâmpadas; ter um menino ou uma menina
– Geralmente chamados “sucesso” e “fracasso”
– Probabilidade de sucesso é p, probabilidade de fracasso é igual a
1–p
• A probabilidade é a mesma para cada observação
– ex. A probabilidade de dar cara é a mesma a cada vez que a
moeda é lançada
Distribuição Binomial:
Propriedades
• As observações são independentes
– O resultado de uma observação não afeta o resultado da
observação seguinte
• Para assegurar essa independência as
observações podem ser selecionadas
aleatoriamente, seja a partir de uma
– População infinita sem reposição
– População finita com reposição
Aplicações da Distribuição Binomial
• Uma fábrica que classifica itens como
defeituoso ou não defeituoso
• Uma firma que coloca uma proposta para um
contrato ter sucesso ou não na conclusão do
negócio
• Uma pesquisa de mercado para uma empresa
receber respostas “sim, eu comprarei” ou “não
eu não comprarei” o produto da empresa
• Candidatos a um emprego aceitarem ou não a
oferta da empresa
• Seu time ganhar ou não um jogo de futebol
Distribuição Binomial
Técnicas de Contagem
• Suponha que sucesso seja definido como obter
CARA (C) em pelo menos dois de três lançamentos
de uma moeda equilibrada. De quantas formas esse
“sucesso” pode ocorrer?
• Possibilidades: CCK, CKC, KCC, CCC, logo, há
quatro diferentes maneiras.
• Essa situação é bastante simples. Nós precisamos
de uma forma de contar os sucessos em situações
mais complicadas.
Técnicas de Contagem
Combinações
• Combinações são usadas para contar de quantas
maneiras podemos selecionar X objetos em um
conjunto de n objetos:
n
n!
C(n, X )    
 X  X!(n  X)!
onde:
n! =n(n - 1)(n - 2) . . . (2)(1)
X! = X(X - 1)(X - 2) . . . (2)(1)
0! = 1 (por definição)
Técnicas de Contagem
Combinações
• De quantas formas diferentes podemos escolher 3
sabores de sorvete se você tem 31 opções de
sabores para escolher?
• O total de opções é n = 31, e você escolherá X = 3.
 31
31!
31! 31  30  29  28!
C(31,3)    


 31  5  29  4495
3  2 1  28!
 3  3!(31  3)! 3!28!
Distribuição Binomial
Fórmula
n!
P(X) 
p X (1  p) n X
X!(n  X)!
P(X) = probabilidade de X sucessos em n
tentativas, com probabilidade de
sucesso p em cada tentativa
X = no. de ‘sucessos’ na amostra,
(X = 0, 1, 2, ..., n)
n
p
Exemplo: lançar uma
moeda 4 vezes, seja x = #
caras:
n=4
p = 0.5
= tamanho da amostra (numero de
1 - p = (1 - .5) = .5
tentativas ou observações)
X = 0, 1, 2, 3, 4
= probabilidade de “sucesso”
Distribuição Binomial
Exemplo
Qual a probabilidade de um sucesso em 5 observações
se a probabilidade de sucesso é 0,10?
X = 1, n = 5, and p = 0,10
n!
p X (1  p) n  X
X!(n  X)!
5!

(0,10)1 (1  0,10) 51
1!(5  1)!
P(X  1) 
 (5)(0,10)(0,90) 4
 0,32805
Distribuição Binomial
Exemplo
Suponha que a probabilidade de comprar um
computador defeituoso seja de 0,02. Qual a
probabilidade de comprar 2 computadores defeituosos
em um lote de 10 computadores?
X = 2, n = 10, and p = 0,02
n!
P(X  2) 
p X (1  p) n  X
X!(n  X)!
10!

(0,02) 2 (1  0,02)10 2
2!(10  2)!
 (45)(0,0004)(0,8508)
 0,01531
Distribuição Binomial
Forma
• A forma da distribuição
binomial depende dos
valores de p e de n
• Aqui, n = 5 e p = 0,10
n = 5 p = 0,10
P(X)
.6
.4
.2
0
0
1
3
4
5
X
5
X
n = 5 p = 0,50
P(X)
• Aqui, n = 5 e p = 0,50
2
.6
.4
.2
0
0
1
2
3
4
Distribuição Binomial
Características
• Média
μ  E(x)  np
• Variância e Desvio Padrão
σ  np(1 - p)
2
Onde
σ
np(1 - p)
n = tamanho da amostra
p = probabilidade de sucesso
(1 – p) = probabilidade de fracasso
Distribuição Binomial
Características
Exemplos
μ  np  (5)(0,10)  0,5
σ  np(1 - p)  (5)(0,10)(1  0,10)
 0,6708
μ  np  (5)(0,50)  2,5
σ  np(1 - p)  (5)(0,50)(1  0,50)
 1,118
n = 5 p = 0,10
P(X)
.6
.4
.2
0
0
1
2
3
4
5
X
5
X
n = 5 p = 0,50
P(X)
.6
.4
.2
0
0
1
2
3
4
Distribuição Binomial
Exemplo
•
A probabilidade de que uma pessoa fazendo compras num certo
supermercado aproveita uma promoção especial de sorvete é de
0,30. Determine a probabilidade de que dentre seis pessoas
fazendo compras nesse supermercado haja até três aproveitando a
promoção.
– Solução: admitindo que a escolha seja aleatória, substituímos n=6,
p=0,30 e, respectivamente, x=0, 1, 2, 3 na fórmula da distribuição
binomial, otendo:
 6
P(0)   (0,30) 0 (0,70) 6  0,118
 0
 6
P(1)   (0,30)1 (0,70) 5  0,303
1
6
P(2)   (0,30) 2 (0,70) 4  0,324
 2
 6
P(3)   (0,30) 3 (0,70)3  0,185
 3
P( X  3)  0,118  0,303  0,324  0,185  0,93
Distribuição de Poisson
Definições
• Muitos estudos são baseados na contagem das
vezes em que um evento específico ocorre em uma
determinada área de oportunidade
• Uma área de oportunidade é uma unidade contínua
ou um intervalo de tempo, volume ou uma área tal
que nela possa acontecer mais de uma ocorrência
de um evento
• Exemplos
– Defeitos na pintura de uma geladeira nova
– Número de falhas na rede em um determinado dia
– Número de pulgas no pêlo de um cachorro
• Nestas situações você usa a distribuição de Poisson
se…
Distribuição de Poisson
Propriedades
A distribuição de Poisson é aplicada quando:
– Você estiver interessado em contar o número de vezes em que um
evento específico ocorre em uma determinada área de
oportunidades. A área de oportunidades é definida pelo tempo,
extensão, área de superfície e assim sucessivamente.
– A probabilidade de que um evento específico ocorra em uma
determinada área de oportunidades é a mesma para todas as áreas
de oportunidades.
– O número de eventos que ocorrem em uma determinada área de
oportunidades é independente do número de eventos que ocorrem
em qualquer outra área de oportunidades.
– A probabilidade de que dois ou mais eventos venham a ocorrer em
uma determinada área de oportunidades se arpoxima de zero à
medida que a área de oportunidades se torna menor.
Distribuição de Poisson
Fórmula
λ
e λ
P(X) 
X!
x
onde:
X = probabilidade de X eventos ocorram numa área de
oportunidade
 = número esperado de eventos
e = constante matemática aproximada por 2,71828…
Distribuição de Poisson
Parâmetro λ
• O parâmetro λ (a letra grega minúscula lambda), representa a
média, ou o número de sucessos por unidade.
• A variância de uma distribuição de Poisson é igual a λ, e o
desvio padrão é igual a 
Distribuição de Poisson
Exemplo
• Suponha que, em média, 5 carros entrem em um
estacionamento por minuto. Qual é a probabilidade de que
em um dado minuto, 7 carros entrem?
• Então, X = 7 e λ = 5
λ x
5 7
e λ
e 5
P(7) 

 0,104
X!
7!
 Portanto, há uma probabilidade de 10,4% de que 7
carros entrem no estacionamento em um dado
minuto.
Distribuição de Poisson
Forma
0.70
 = 0,50
0.60
0.50
0
1
2
3
4
5
6
7
P(X)
0.6065
0.3033
0.0758
0.0126
0.0016
0.0002
0.0000
0.0000
P(x)
X
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
0
1
2
3
4
x
P(X = 2) = 0,0758
5
6
7
Distribuição de Poisson
Forma
• O formato da distribuição de Poisson depende
do parâmetro  :
 = 0,50
 = 3,00
0.70
0.25
0.60
0.20
0.15
0.40
P(x)
P(x)
0.50
0.30
0.10
0.20
0.05
0.10
0.00
0.00
0
1
2
3
4
x
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
x
8
9
10
11
12
Distribuição de Poisson
Exemplo
• Sabe-se que o número de acidentes de trabalho, por
mês, em uma unidade de produção segue uma
distribuição de Poisson, com uma média aritmética
de 2,5 acidentes de trabalho por mês.
– (a) Qual é a probabilidade de que em um determinado mês
nenhum acidente de trabalho venha a ocorrer?
– (b) De que pelo menos um acidente de trabalho venha a
ocorrer?
Distribuição de Poisson
Exemplo
•
Sabe-se que o número de acidentes de trabalho, por mês, em uma unidade de
produção segue uma distribuição de Poisson, com uma média aritmética de 2,5
acidentes de trabalho por mês.
–
–
•
(a) Qual é a probabilidade de que em um determinado mês nenhum acidente de trabalho
venha a ocorrer?
(b) De que pelo menos um acidente de trabalho venha a ocorrer?
Solução: com λ = 2,5
–
(a)
e 2,5 (2,5)0
1
P( X  0) 

 0,0821
2, 5
0!
(2,71828) (1)
A probabildade de que em um determinado mês nenhum acidente de trabalho ocorra é 0,0821,
ou 8,21%.
P( X  1)  1  P( X  0)  1  0,0821  0,9179
–
(b)
–
A probabilidade de que em um determinado mês haverá pelo menos um acidente de trabalho é
0,9179, ou 91,79%.