Geometria Espacial no Cabri 3D

Geometria Espacial no Cabri 3D
Na Geometria Plana temos algumas facilidades na abordagem do estudo, pois
existem modelos concretos onde os alunos podem se basear, como por exemplo, as
superfícies pelas quais escrevemos. Na transição do estudo da Geometria Plana para
Geometria Espacial não temos estes exemplos mais práticos, com o intuito de facilitar
a visualização em três dimensões, usamos o Cabri 3D neste trabalho.
Autor: Ulysses da Cruz Marcílio
Cubo
Cubo
Um cubo é um Poliedro Regular com seis faces quadradas
Planificação do Cubo no Cabri 3D
Passo 01: Crie um quadrado, do jeito que preferir, de acordo com as informações
contidas na Janela Ajuda de Ferramentas.
Passo 02: Crie um cubo, a partir deste quadrado.
O Cabri 3D possui uma ferramenta que planifica os poliedros, esta é a Abrir Poliedro.
Para abrir um Poliedro, primeiramente é necessário selecionar a ferramenta, depois clicar sobre o
poliedro. Para abrir mais completamente o poliedro, use a ferramenta Manipulação, e arraste
uma das faces com o mouse. Para abrir uma face somente segure a tecla Shift, e para abrir as
faces em múltiplos de 15º, segure a tecla Ctrl.
Passo 03: Com a ferramenta Abrir Poliedro, clique sobre o cubo, abrindo até as faces
ficarem coplanares.
Esfera
eixo
eixo
Definição: Podemos fazer
uma extrapolação da definição de
círculo para o conceito de esfera.
O círculo é o lugar geométrico do
plano onde os pontos cuja
distância até o centro é menor ou
igual ao raio.
A esfera é o conjunto de
pontos do espaço, tais que a
distância até o centro é menor ou
igual ao Raio R.
A esfera também é um sólido
de revolução, pois pode ser
gerada pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que
contém o diâmetro.
Cone
Definição: Consideremos um
círculo de centro O e raio r,
situado num plano P1, e um
ponto V fora de P1. Chama-se
cone à reunião dos segmentos
com uma extremidade em V e a
outra nos pontos do círculo.
VH: altura da base
VA: geratriz
VO: eixo do cone
Cilindro
Definição: Na figura, temos dois
planos paralelos e distintos, P1 e P2
um círculo R contido em P1 e uma
reta r que intercepta P1 e P2, mas
não R.
Para cada ponto C da região R,
vamos considerar o segmento CC',
paralelo à reta r (C’ pertence a P2)
Chamamos de cilindro, ou cilindro
circular, o conjunto de todos os
segmentos
paralelos a r.
CC'
congruentes
e
Clépsidra e Anticlépsidra
Definição:
Observe
a
figura, temos um cilindro e dois
cones.
Quando
o
cilindro
é
equilátero, ou seja, com altura
igual
ao
diâmetro
da
base,
chamamos de clépsidra o sólido
obtido pelos dois cones em seu
interior.
E
chamamos
de
anticlépsidra sólido obtido pelo
cilindro menos os dois cones.
Cálculo do Volume da Esfera pelo Princípio de Cavalieri
P'
h
h
r
h
2R
R
2R
2R
Cálculo do Volume da Esfera pelo Princípio de Cavalieri
Princípio de Cavalieri: O Princípio de Cavalieri estabelece que dois sólidos com
mesma altura tem o mesmo volume, se as secções planas de mesma altura tem mesma área.
Sabendo que na figura abaixo o cilindro é eqüilátero, ou seja, a altura é igual a 2R,
vamos calcular o volume da esfera pelo Princípio de Cavalieri.
Área do círculo obtido na
intersecção do plano P' com a esfera
r² + h² = R²
Área
do
círculo
obtido
na
intersecção do plano P' com a anticlépsidra
πR² - πh²
r² = R² - h²
πr² = π (R² - h²)
πR² - πh² = π (R² - h²)
Note que a área do círculo obtido na intersecção do plano P' com a esfera é igual a área da
secção deste mesmo plano com a anticlépsidra. Pelo princípio de Cavalieri, compreende-se que o
volume da esfera é igual ao volume da anticlépsidra.
Referências Bibliográficas
CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. Introdução a geometria espacial. 93p. Rio de Janeiro: SBM, 1993. (Coleção do Professor
de Matemática)
COTRET, Sophie; COTRET; Pierre René. Cabri 3D Users Manual. 41p. Montreal, Québec: Janeiro 2006.
MALANGA, Umberto César Chacon. Matemática: Livro III. 107p. São José dos Campos: Poliedro, 2005.
ROCHA, Rafael Nunes. Geometria Analítica com o Cabri 3D .São Carlos: Departamento de Matemática / UFSCar, 2005.
62p. Trabalho de Graduação B.
CHARTWELL-YORKE MATHEMATICS ICT. Cabri 3D – Interactive Geometry Software. Disponível em
<http://www.chartwellyorke.com/cabri3d/cabri3d.html>. Consultado em 05/07/06.