O Teorema da Aproximação de Weierstrass: uma

O Teorema da Aproximação de Weierstrass: uma demonstração
probabilística
Claiton José Santos
∗
Faculdade de Matemática, UFU
38400-902, Uberlândia, MG
E-mail: [email protected]
Ana Carla Piantella
†
Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática
38400-902, Campus Santa Mônica, Uberlândia, MG
E-mail: [email protected]
‡
RESUMO
O Teorema da Aproximação de Weierstrass, provado em 1885 por Karl Theodor Wilhelm
Weierstrass, é um importante resultado da Análise Matemática. Tal resultado arma que toda
função contínua denida em um intervalo fechado
por polinômios.
[a, b]
pode ser uniformemente aproximada
Na verdade, este teorema foi o primeiro resultado signicante em Teoria da
Aproximação de uma variável real e desempenhou um papel fundamental no desenvolvimento de
tal área. Durante muitos anos, mesmo após a prova de Weierstrass, provas alternativas foram
dadas por vários matemáticos famosos daquele período, tais como Picard (1891), Lebesgue (1898),
Landau (1908) e de la Valleé Poussin (1912).
Também em 1912 Sergei Bernstein apresentou
uma demonstração que fornece uma expressão explícita para os polinômios aproximantes. Tais
polinômios caram conhecidos como Polinômios de Bernstein.
Neste trabalho apresentaremos
uma demonstração para o Teorema da Aproximação de Weierstrass baseada na prova de Bernstein
[1], mas que utiliza resultados da Teoria das Probabilidades, em especial a Desigualdade de
Tchebychev. Formalmente, o Teorema da Aproximação de Weierstrass estabelece:
Teorema da Aproximação de Weierstrass: Sejam
contínua e
ε > 0.
Então existe um polinômio
P
tal que
f : [a, b] →∈ R uma função
|f (t) − P (t)| < ε, t ∈ [a, b].
Um esboço da demonstração deste teorema e a motivação que está por trás da prova dada por
Bernstein é dada a seguir.
Primeiramente observemos que é suciente provar o teorema para
f : [0, 1] → R.
Como motivação para a prova, imaginemos um jogo de cara-e-coroa em que estejamos interessados, após
n
sucessivos lançamentos de uma moeda, no número de vezes que o evento
sair cara ocorreu. A variável aleatória
I = {0, 1, 2, . . . , n}
X
que representa este evento toma valores no conjunto
e possui distribuição binomial. Logo, a probabilidade de sair
Pk = P (X = k) =
onde
t
é a probabilidade de ocorrer cara .
pagará a um jogador o valor
Vk = f ( nk )
n!
· tk (1 − t)n−k ,
k!(n − k)!
†
caras é
(1)
Suponha que tenhamos uma função prêmio que
reais se, exatamente,
k
dentre os
Bolsistas do Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática Professora orientadora.
‡
Agradecemos a FAPEMIG pelo apoio nanceiro.
∗
k
n
lançamentos da
PetMat/SESu.
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moeda forem cara . Então o Valor Esperado para um jogador será
En (t) =
n
X
k=0
A idéia da prova é mostrar que
n
X
n!
k
Vk Pk =
f
· tk (1 − t)n−k .
n k!(n − k)!
(2)
k=0
En (t)
converge uniformemente para
f (t)
em
[0, 1].
Mantendo-se
as notações anteriores, tem-se que
n X
k |f (t) − En (t)| ≤
f (t) − f n Pk .
(3)
k=0
[0, 1] é compacto, f é uniformemente contínua. Assim, existe M > 0
0
tal que |f (t)| ≤ M , t ∈ [0, 1]. Além disso, existe δ = δ(ε) > 0 tal que |f (t) − f (t )| ≤ ε/2,
k
0
0
sempre que |t − t | ≤ δ , com t, t ∈ [0, 1]. Considere os conjuntos S1 = { k ∈ I : |t − | ≤ δ} e
n
S2 = { k ∈ I : |t − nk | > δ}. Então
X
X
f (t) − f k Pk +
f (t) − f k Pk
|f (t) − En (t)| ≤
n
n k∈S1
k∈S2
X
Pk .
(4)
≤ ε/2 + 2M ·
Como
f
é contínua e
k∈S2
Observe que
P
|k − nt| > nδ .
k∈S2
Pk
é exatamente a probabilidade de se obter
k
satisfazendo a desigualdade
Assim,
X
Pk = P [|X − nt| > nδ].
(5)
k∈S2
Da Desigualdade de Tchebychev obtemos que
E (X − nt)2
P [|X − nt| > nδ] ≤
,
n2 δ 2
onde
E (X − nt)2 é valor esperado de (X −nt)2 .
(6)
Usando a denição do valor esperado e fazendo
algumas manipulações algébricas segue que
E (X − nt)
2
=
n
X
(k − nt)2 Pk = nt(1 − t).
(7)
k=0
Portanto, voltando na equação (4) temos
|f (t) − En (t)| ≤ ε/2 + 2M ·
para
n
nt(1 − t)
1
M
≤ ε/2 + 2M ·
= ε/2 +
< ε,
n2 δ 2
4nδ 2
2nδ 2
sucientemente grande, o que conclui a prova.
Palavras-chave:
Teorema da Aproximação de Weierstrass, Probabilidade, Desigualdade de
Tchebychev
Referências
[1] BERNSTEIN, S. Demonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des proba-
bilités, Commum. Soc. Math. Kharkow(2), 13(1912-13) 1-2.
[2] KULLER, R. G. Coin tossing, probability, and the Weierstrass Approximation Theorem,
Mathematics Magazine, vol. 37, 1964, pp. 262-267.
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