MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
SAT VIRTUA
PROF PEDRÃO
SENTENÇAS OU PROPOSIÇÕES
MODIFICADORES
São os elementos que expressam uma idéia, mesmo
O “não” (símbolos: ~ ou
¬ ) é utilizado para representar
a negativa de uma proposição. Lê-se: “não p”.
que absurda.
Estudaremos apenas as proposições declarativas, que
Ex: p: Pedrão é um bom professor.
¬ p): Pedrão não é um bom professor.
Obs: se o símbolo ¬ aparecer antes de um parênteses
podem ser classificadas ou só como verdadeiras (V), ou só
~p (ou
como falsas (F). As proposições serão representadas por
letras do alfabeto latino: p, q, r, s...
¬
( ), devemos ler: não é verdade que...
Ex: p: Pedrão é professor.
q: Todas as mulheres dirigem mal.
CONECTIVOS
r: O Grêmio é o melhor time do Brasil.
São utilizados para compor proposições compostas, a
s: 2 + 3 = 4
partir de proposições simples:
t: 5.2 + 1 > 6
u: 3
2
≠
(– 3)
2
Conjunção: “e” (símbolo: ∧ )
Obs: há outros tipos de sentenças que não serão
Disjunção: “ou” (símbolo: ∨ )
estudadas por não poderem ser classificadas ou só como
verdadeiras ou só como falsas:
Condicional: “se..., então” (símbolo: → )
Interrogativas – ex: Será que vou aprender lógica?
Bicondicional: “se, e somente se” (símbolo: ↔ )
Exclamativas – ex: Feliz aniversário!
PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS
Imperativas – ex: Explique bem a matéria.
p: Pedrão é professor. (simples)
Cuidado: para ser proposição é necessário “especificar
q: Karol é linda. (simples)
o sujeito”. Ex: Aquelas questões são difíceis. (não é
p ∧ q: Pedrão é professor e Karol é linda. (composta)
proposição)
p ∨ q: Pedrão é professor ou Karol é linda. (composta)
p → q: Se Pedrão é professor, então Karol é linda.
SENTENÇAS ABERTAS
(composta)
p ↔ q: Pedrão é professor se e somente se Karol é
São sentenças onde elementos são substituídos por
linda. (composta)
variáveis, não podendo ser classificadas ou só como
verdadeiras ou só como falsas, pois há infinitos valores que
podem
ser
substituídos
nas
variáveis,
TABELA-VERDADE
tornando-as
verdadeiras ou falsas.
É uma tabela que exibe todas as valorações que uma
frase pode assumir.
Ex: x + y = 5
O número de linhas de uma tabela-verdade é dado por
x+2>7
2 , onde n é o número de proposições simples que
Se x é professor de y, então x é professor de z.
compõem a tabela-verdade.
n
SENTENÇAS FECHADAS
São sentenças que podem ser classificadas ou só como
verdadeiras ou só como falsas.
Ex: 2 + 7 = 8
2
3 –1<9
2010
CONECTIVO “E” ( ∧ ) – CONJUNÇÃO
Considere as seguintes situações:
1ª) p: Pedrão é professor. (V)
q: Karol é linda. (V)
p ∧ q: Pedrão é professor e Karol é linda. (V)
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
1
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SAT VIRTUA
2ª) p: Pedrão é professor. (V)
PROF PEDRÃO
Exclusivo ( ∨ ); Pafúncio é Paranaense ou Pafúncio é
q: Karol é linda. (F)
p ∧ q: Pedrão é professor e Karol é linda. (F)
3ª) p: Pedrão é professor. (F)
Catarinense. (não podem ocorrer ambas as situações ao
mesmo tempo). As situações de “ou” exclusivo não serão
estudadas.
q: Karol é linda. (V)
p ∧ q: Pedrão é professor e Karol é linda. (F)
4ª) p: Pedrão é professor. (F)
Considere as seguintes situações de “ou” inclusivo:
1ª) p: Pedrão é professor. (V)
q: Karol é linda. (V)
q: Karol é linda. (F)
p ∧ q: Pedrão é professor e Karol é linda. (F)
p ∨ q: Pedrão é professor ou Karol é linda. (V)
2ª) p: Pedrão é professor. (V)
q: Karol é linda. (F)
Observe que a conjunção p ∧ q só é verdadeira se p
e q são verdadeiras.
p ∨ q: Pedrão é professor ou Karol é linda. (V)
3ª) p: Pedrão é professor. (F)
q: Karol é linda. (V)
Para ajudar na interpretação das proposições: a
conjunção p ∧ q também pode ser interpretada como:
# p e então q: Pedrão é professor e então Karol é linda
p ∨ q: Pedrão é professor ou Karol é linda. (V)
4ª) p: Pedrão é professor. (F)
q: Karol é linda. (F)
# p e também q: Pedrão é professor e também Karol é
p ∨ q: Pedrão é professor ou Karol é linda. (F)
linda
# p mas q: Pedrão é professor mas Karol é linda
# p embora q; Pedrão é professor embora Karol seja
linda
# p assim como q: Pedrão é professor assim como
Observe que a disjunção p ∨ q só é falsa se p e q
são falsas.
Pela tabela-verdade:
Karol é linda
# p apesar de que também q: Pedrão é professor
apesar de que Karol também é linda
# não só p, mas, ainda, q: não só Pedrão é professor,
mas, ainda, Karol é linda
P
q
p∨ q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
# não apenas p, como também q: não apenas Pedrão é
professor, como também Karol é linda
CONECTIVO “SE..., ENTÃO ” ( → ) – CONDICIONAL
Pela tabela-verdade:
Considere as seguintes situações:
p
q
p∧ q
V
V
V
1ª) p: Pedrão é professor. (V)
V
F
F
q: Karol é linda. (V)
F
V
F
F
F
F
p → q: Se Pedrão é professor então Karol é linda.
(V – Pedrão é professor e Karol é linda)
2ª) p: Pedrão é professor. (V)
q: Karol é linda. (F)
p → q: Se Pedrão é professor então Karol é linda.
CONECTIVO “OU” ( ∨ ) – DISJUNÇÃO
(F – quando Pedrão é professor Karol “tem que ser linda”)
O conectivo “ou” pode ter dois sentidos;
3ª) p: Pedrão é professor. (F)
q: Karol é linda. (V)
Inclusivo ( ∨ ): Pafúncio é atleta ou Pafúncio é lindo.
p → q: Se Pedrão é professor então Karol é linda.
(podem ocorrer as situações isoladamente ou ambas ao
mesmo tempo)
(V – quando Pedrão não é professor Karol pode ou não ser
linda)
2
2010
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SAT VIRTUA
4ª) p: Pedrão é professor. (F)
PROF PEDRÃO
3ª) p: Pedrão é professor. (F)
q: Karol é linda. (F)
q: Karol é linda. (V)
p → q: Se Pedrão é professor então Karol é linda.
p ↔ q: Pedrão é professor se e somente se Karol
(V – quando Pedrão não é professor Karol pode ou não ser
é linda. (F)
4ª) p: Pedrão é professor. (F)
linda)
q: Karol é linda. (F)
Observe que a condicional p → q só é falsa se p é
p ↔ q: Pedrão é professor se e somente se Karol
é linda. (V)
verdadeira e q é falsa.
Observe que a bicondicional p ↔ q só é verdadeira
Para ajudar na interpretação das proposições: A
se p e q são ambas verdadeiras ou falsas.
condicional p → q também pode ser interpretada como:
# se p,q: se Pedrão é professor, Karol é linda
# q se p: Karol é linda se Pedrão é professor
# todo p é q: toda vez que Pedrão é professor, Karol é
linda
Para ajudar na interpretação das proposições: A
bicondicional p ↔ q também pode ser interpretada como:
# p se e só se q: Pedrão é professor se e só se Karol é
linda
# quando p, q: quando Pedrão é professor, Karol é linda
# se p então q e se q então p: se Pedrão é professor
# p implica (ou acarreta) q: Pedrão ser professor implica
então Karol é linda e se Karol é linda então Pedrão é
(ou acarreta) Karol ser linda
professor
# p somente se q: Pedrão é professor somente se Karol
é linda
# p somente se q e q somente se p: Pedrão é professor
somente se Karol é linda e Karol é linda somente se Pedrão
# p é condição suficiente para q: Pedrão ser professor é
condição suficiente para Karol ser linda
é professor
# p é equivalente a q e q é equivalente a p: Pedrão ser
# q é condição necessária para p: Karol ser linda é
condição necessária para Pedrão ser professor
Pela tabela-verdade:
professor é equivalente a Karol ser linda e Karol ser linda é
equivalente a Pedrão ser professor
# p é condição necessária e suficiente para q e q é
p
q
p →q
condição necessária e suficiente para p: Pedrão ser
V
V
V
professor é condição necessária e suficiente para Karol ser
V
F
F
linda e Karol ser linda é condição necessária e suficiente
F
V
V
para Pedrão ser professor
F
F
V
# todo p é q e todo q é p: toda vez que Pedrão é
professor, Karol é linda e toda vez que Karol é linda, Pedrão
é professor
CONECTIVO “SE, E SOMENTE SE ” ( ↔ ) –
Pela tabela-verdade:
BICONDICIONAL
P
q
p ↔q
Considere as seguintes situações:
V
V
V
1ª) p: Pedrão é professor. (V)
V
F
F
q: Karol é linda. (V)
F
V
F
p ↔ q: Pedrão é professor se e somente se Karol
F
F
V
é linda. (V)
2ª) p: Pedrão é professor. (V)
Dizer p ↔ q é o mesmo que dizer (p → q) ∧ (q → p).
q: Karol é linda. (F)
Se Pedrão é professor, então Karol é linda e, se Karol é
p ↔ q: Pedrão é professor se e somente se Karol
linda, então Pedrão é professor são formas diferentes de
é linda. (F)
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expressar a mesma idéia.
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SAT VIRTUA
PROF PEDRÃO
VALORAÇÃO LÓGICA
IMPLICAÇÕES LÓGICAS
Consiste em fazer a análise de proposições compostas,
atribuindo um “resultado” V ou F para as mesmas, utilizando
O símbolo
é utilizado para representar uma relação
⇒
para isso o que foi estudado nos casos de aplicação dos
entre duas proposições (compostas ou não), o que é
conectivos ( ∧ , ∨ , → , ↔ ).
diferente do símbolo → que é utilizado para representar
uma operação entre duas proposições.
MONTAGEM DE UMA TABELA-VERDADE
Entre os objetivos de montar uma tabela-verdade,
temos o de determinar o número de valorações verdadeiras
e falsas de uma sentença.
sentenças nos permite verificar se as mesmas são:
Equivalentes (são equivalentes quando possuírem as
mesmas valorações: V com V, F com F).
(são
quando não houver VF (nessa ordem) nas colunas de suas
tabelas-verdade.
Também podemos afirmar que a proposição p ⇒ q
A comparação entre as valorações de duas ou mais
Negativas
A proposição p ⇒ q (dizemos p implica q) ocorre
ocorre quando a proposição p → q for uma tautologia
Ex: p ⇒ q → p
Pela tabela-verdade:
negativas quando possuírem as
valorações opostas: V com F, F com V).
Tautologia é uma proposição composta onde os
p
Q
q →p
p → ( q → p)
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
“resultados” da tabela-verdade são sempre verdadeiros
Observe na tabela-verdade que em p ⇒ q → p não
(V).
Ex: p ∨
ocorre VF (nessa ordem), e que p → ( q → p) é uma
¬p
tautologia.
Pela tabela-verdade:
P
¬p
V
F
V
F
V
V
¬p
p∨
EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS
O símbolo
Contradição é uma proposição composta onde os
“resultados” da tabela-verdade são sempre falsos (F).
Ex: p ∧
é utilizado para representar uma relação
entre duas ou mais proposições, o que é diferente do
símbolo ↔ que é utilizado para representar uma operação
entre duas ou mais proposições.
¬p
Pela tabela-verdade:
P
⇔
¬p
A proposição p ⇔ q (dizemos p equivale a q) ocorre
¬p
p∧
V
F
F
F
V
F
quando não houver VF nem FV nas colunas de suas
tabelas-verdade.
Ex: p → q ⇔
p
q
¬p∨ q
¬p
p→q
¬p∨ q
Contingência é uma proposição composta onde os
V
V
F
V
V
“resultados” da tabela-verdade podem ser verdadeiros (V)
V
F
F
F
F
e podem ser falsos (F).
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
Ex: p → ¬ p
Pela tabela-verdade:
4
P
¬p
V
F
F
F
V
V
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p→
¬p
Observe na tabela-verdade que em p → q ⇔
não ocorre VF nem FV.
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¬p∨q
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“No popular”:
só serão equivalentes quando os
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02) Considere as proposições:
“resultados” de sua tabelas-verdade forem idênticos (V com
V ou F com F). Observe na tabela-verdade que em
p →q ⇔
¬ p ∨ q todas as
linhas são correspondentes (V
p: João é filho de Ana.
q: João é simpático.
com V ou F com F).
Escreva cada uma das sentenças abaixo, dadas na
forma simbólica:
NEGAÇÕES LÓGICAS
¬p
¬q
c) p ∧ q
d) ¬ p ∧ q
e) p ∧ ¬ q
f) ¬ p ∧ ¬ q
a)
Duas proposições são negativas quando na tabelaverdade observarmos que em todas as linhas ocorre VF ou
FV.
Ex: (p ∧ q) ; ( ¬ p ∨
P
q
¬p
V
V
F
V
F
F
F
p∧q
¬p∨ ¬q
F
V
F
g) p ∨ q
F
V
F
V
h)
V
V
F
F
V
F
V
V
F
V
Observe
(¬p∨
¬ q)
¬q
b)
na
tabela-verdade
que
em
(p ∧ q)
;
¬ q) todas as linhas são V com F ou F com V.
¬ p∨ q
i) p ∨ ¬ q
j) ¬ p ∨ ¬ q
k) ¬ ( p ∧ q)
l) ¬ (p ∨ q)
m) ¬ ( ¬ p ∧ q)
n) ¬ (p ∨ ¬ q)
o) ¬ ( ¬ p)
03) Considerando as proposições abaixo, passe as sentenças
para a forma simbólica:
EXERCÍCIOS
p: O professor ensinou.
q: O aluno passou no concurso.
01) Quais são as proposições declarativas, entre as
a) O professor ensinou e o aluno passou no concurso.
sentenças abaixo?
b) O professor ensinou ou o aluno passou no concurso.
a) Feliz dia dos professores!
b) Curitiba é a capital do Paraná.
d) O professor não ensinou ou o aluno não passou no
c) Quem é você?
d) Pedro é filho de Pedrão.
e) Faça os exercícios.
f) Esta frase está errada.
g) x – y < 0
2
h) 4 = 4.2
i) 2 + 3 = 5
j) x + 2 = 3
c) O professor não ensinou e o aluno passou no
concurso.
concurso.
e) O professor não ensinou e o aluno não passou no
concurso.
f) Não é verdade que o professor ensinou e o aluno
passou no concurso.
g) Não é verdade que o professor não ensinou e o
aluno não passou no concurso.
h) Não é verdade que o professor não ensinou.
i) Não é verdade que o aluno passou no concurso.
j) O professor ensinou e não é verdade que o aluno não
passou no concurso.
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06) Sendo p e q proposições verdadeiras e r e s
04) Considere as proposições:
proposições falsas, julgue cada uma das sentenças abaixo:
p: João é filho de Ana.
q: João é simpático.
¬p∨r
b) ¬ s ∨ q
c) ¬ r ∨ s
d) ¬ p ∨ q
a)
Escreva cada uma das sentenças abaixo, dadas na
forma simbólica:
e) (p ∧ q) ∨ (r ∧ s)
a) p →
¬q
b) ¬ p → ¬ q
c) ¬ p → q
d) ¬ ( p → q)
e) p → ¬ (p ∨ q)
f) p → ¬ (p ∧ q)
g) ¬ p → (p ∧ q)
h) ¬ p → (p ∨ q)
i) ¬ p → ¬ (p ∧ q)
j) ¬ p → ¬ (p ∨ q)
k) (p ∨ q) → ¬ q
l) (p ∧ q) → ¬ q
m) ¬ (p ∨ q) → ¬ q
n) ¬ (p ∧ q) → q
f) (p ∨ q) ∧ (r ∨ s)
g) ¬ (p ∨ q) ∧
¬ (r ∨ s)
h) ¬ (p ∨ q) ∨ ¬ (r ∧ s)
i) ¬ [ ¬ (p ∨ q) ∧ ¬ (r ∨ s)]
j) ¬ [ ¬ (p ∨ q) ∨ ¬ (r ∧ s)]
k) ¬ [ ¬ (p ∨ r) ∨ ¬ (q ∧ s)]
l) ¬ [ ¬ (p ∨ r) ∧ ¬ (q ∨ s)]
m) ¬ [( ¬ p ∨ r) ∧ ( ¬ q ∨ s)]
n) ¬ [p ∨ (p ∨ q)] ∨ [(p ∧ q) ∧ p]
o) ¬ [r ∨ (r ∨ s)] ∨ [(r ∧ s) ∧ s]
07) Construir a tabela-verdade para cada uma das
sentenças a seguir, dizendo quantas são as valorações
verdadeiras e quantas são as valorações falsas:
a) ¬ p ∨ q
05) Dê o valor lógico de cada uma das proposições abaixo:
0
a) 2 + 3 = 5 e 5 – 1 > 0
0
b) 2 + 3 = 5 ou 5 – 1 > 0
0
c) se 2 + 3 = 5 então 5 – 1 > 0
0
d) 2 + 3 = 5 se e somente se 5 – 1 > 0
e) Pedrão é professor de matemática e de raciocínio
lógico.
f) Pedrão é professor de matemática ou de raciocínio
lógico.
g) Pedrão é professor de matemática e de português.
h) Pedrão é professor de matemática ou de português.
i) Lula é nordestino e Lula é presidente.
j) Lula é nordestino ou Lula é presidente.
k) Se Lula é nordestino então Lula é presidente.
l) Lula é nordestino se, e somente se, Lula é presidente.
m) O curso Aprovação é de Curitiba e Curitiba é a
capital do Brasil.
n) O curso Aprovação é de Curitiba ou Curitiba é a
capital do Brasil.
o) Se o curso Aprovação é de Curitiba então Curitiba é
¬q
c) ¬ p ∧ ¬ q
d) ¬ (p → q)
e) ¬ p ↔ ¬ q
f) ¬ (p ∨ q)
g) ¬ (p ↔ q)
h)( ¬ p ∧ ¬ q) ∨ p
i)( ¬ p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬ q)
j)(p ∨ q) ∧ ¬ (p ∧ q)
k)(p ∧ q) → ¬ ( ¬ p ∨ q)
b) p ∨
08) Verifique se as proposições são equivalentes:
¬p⇔ ¬p→ ¬q
b)p → ¬ q ⇔ ¬ p ∨ ¬ q
c) p → ¬ q ⇔ ¬ p → q
d) p → q ⇔ q ∨ ¬ p
e) p ∨ q ⇔ (p → q) → p
f)(p → q) ∨ (p → s) ⇔ p → (q ∨ s)
a)q ∨
a capital do Brasil.
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09) Verifique se as proposições são negativas:
PROPRIEDADES DA CONDICIONAL
a) (p ∧ q) ; ( ¬ p ∨
Recíprocas: para obter a recíproca, basta trocar o
¬ q)
b) (p ∨ ¬ q) ; ( ¬ p ∧ q)
c) (p → q) ; ( ¬ p ∨ q)
d) ( ¬ p → q) ; ( ¬ q → p)
e) ( ¬ p → q) ; (q → p)
10) Verifique se as proposições são tautologias,
contradições ou contingências:
sentido da condicional.
p → q tem como recíproca q → p
Duas proposições recíprocas não são logicamente
equivalentes (uma pode ser verdade sem que a outra seja)
Inversas; para obter a inversa, basta negar as
proposições.
p → q tem como inversa
¬p→ ¬q
Duas proposições inversas não são logicamente
a) ( ¬ p ∧
¬ r) ∧ (q ∧ r)
b) (p ∧ r) → ( ¬ q ∨ r)
c) (p ↔ q) ∨ (q ∧ ¬ r)
equivalentes (uma pode ser verdade sem que a outra seja)
11) Escreva em linguagem simbólica e verifique que são
trocar o sentido da condicional e negar as proposições.
Contrapositivas: para obter a contrapositiva, devemos
logicamente equivalentes as proposições: “Se meu nome é
p → q tem como contrapositiva
Pedrão, então ensinarei lógica.” e “Ensinarei lógica ou não
p→q⇔
¬q→ ¬p
¬q→ ¬p
me chamo Pedrão.”
Duas proposições contrapositivas são logicamente
12) Dizer “Pedrão não é professor ou Serginho é
paulista” é o mesmo que dizer “Se Pedrão é professor, então
equivalentes (sempre que uma for verdade a outra também
será)
Serginho é paulista”?
PRINCIPAIS NEGATIVAS E EQUIVALÊNCIAS
13) Dizer “Pedrão é professor ou Serginho não é
NEGATIVAS
paulista” é o mesmo que dizer “Pedrão não é professor e
Serginho é paulista”?
As negações são muito exploradas como: “a negativa
14) É correto afirmar que a negativa da sentença “Hoje
de ... é ...”
é sexta-feira e amanhã não vai chover” é “Hoje não é sextafeira ou amanhã não vai chover”.
# e virando ou:
Original: p ∧ q (p e q)
15) É correto afirmar que a negativa da sentença
“Aprendi lógica então acertarei esta questão” é “Aprendi
Negação: ¬ ( p ∧ q)
⇔ ¬p∨ ¬q
“e” vira “ou” e nega tudo.
lógica e não acertarei esta questão”?
# ou virando e:
16) É correto afirmar que a negativa da sentença “Se a
Original: p ∨ q (p ou q)
crise aumentar, então as vendas de Natal vão cair” é “ As
Negação: ¬ (p ∨ q) ⇔
vendas de Natal vão aumentar ou a crise vai diminuir”?
“ou” vira “e” e nega tudo.
¬p∧ ¬q
Ex: A negativa de “Pedrão é professor ou Karol não é
linda” é: “Pedrão não é professor e Karol é linda”.
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EXERCÍCIOS
# se... então virando e:
Original: p → q (se p então q)
Negação:
¬ (p → q) ⇔
p∧
¬q
“se...então” vira “e” e nega a segunda.
17) Dadas as proposições abaixo, determine as
recíprocas, as inversas e as contrapositivas em cada caso:
¬q
b) ¬ q → p
c) ¬ p → ¬ q
a) p →
# e virando se... então:
Original: p ∧ q (p e q)
Negação:
¬ ( p ∧ q) ⇔ p → ¬ q
“e” vira “se...então” e nega a segunda.
18) Considere a proposição: “Se ele é um bom
professor, então, ele explica bem a matéria”. Determine a
Ex: A negativa de “Se Pedrão é professor, então Karol é
recíproca, a inversa e a contrapositiva.
linda” é: “Pedrão é professor e Karol não é linda”.
19) Determine a recíproca da inversa da contrapositiva
EQUIVALÊNCIAS
As equivalências são muito exploradas como: “dizer ...
20) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é
Engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:
é equivalente a dizer ...”
# Se ... então virando ou:
a) André é artista se e somente se Bernardo não é
engenheiro.
Original: p → q
Equivalência: p → q ⇔
da proposição p → q:
¬p∨q
“Se ... então” vira “ou” e nega a primeira.
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
c) Se André não é artista, então Bernardo não é
engenheiro.
# ou virando se ... então:
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
Original: p ∨ q
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.
Equivalência: p ∨ q ⇔
¬p→q
“ou” vira “se ... então” e nega a primeira.
21) A negação da sentença “Ana não voltou e foi ao
cinema” é:
Ex: Dizer “Se Pedrão é professor então Karol é linda” é
logicamente equivalente a dizer que “Pedrão não é
a) Ana não voltou e foi ao cinema.
b) Ana voltou e não foi ao cinema.
professor ou Karol é linda”.
c) Ana não voltou ou não foi ao cinema
# Se...então virando se...então:
e) Ana voltou ou não foi ao cinema.
Original: p → q
Equivalente (contrapositiva – troca p por q e nega tudo):
p →q ⇔
¬q→ ¬p
22) Dizer “Se meu nome é Pedrão, então ensinarei
lógica.” É logicamente equivalente a dizer que:
Ex: Dizer “Se Pedrão é professor então Karol é linda” é
logicamente equivalente a dizer “Se Karol não é linda então
Pedrão não é professor”.
d) Ana não voltou e não foi ao cinema
a) Meu nome é Pedrão ou ensinarei lógica.
b) Meu nome é Pedrão e ensinarei lógica.
c) Se ensinarei lógica, então meu nome é Pedrão.
d) Ensinarei lógica ou me chamo Pedrão.
e) Ensinarei lógica ou não me chamo Pedrão.
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23) Dizer “Pedrão não é professor ou Serginho é
PROF PEDRÃO
LÓGICA DA ARGUMENTAÇÃO
paulista” é o mesmo que dizer:
Argumento
a) Se Pedrão é paulista, então Serginho é professor.
b) Se Pedrão não é professor, então Serginho não é
paulista.
Um
c) Se Pedrão não é professor, então Serginho é
paulista.
argumento
é
uma
série
de
afirmações
(proposições chamadas de premissas) que irão gerar uma
única proposição (chamada de conclusão).
d) Se Pedrão é professor, então Serginho não é
Podemos dizer então que:
paulista.
e) Se Pedrão é professor, então Serginho é paulista.
premissas + conclusão = argumento
24) A negativa de “Pedrão é professor ou Serginho não
é paulista” é:
Obs: o argumento normalmente virá depois das
palavras portanto (será representado pelo símbolo∴ ) ou
a) Pedrão é paulista e Serginho é professor.
logo.
b) Pedrão é professor e Serginho não é paulista.
c) Pedrão não é professor e Serginho não é paulista.
Supondo as premissas P 1, P 2,..., Pn do argumento, e
a conclusão Q, indicamos, de forma simbólica por:
d) Pedrão é professor e Serginho é paulista.
e) Pedrão não é professor e Serginho é paulista.
P 1, P2,..., Pn
25) É correto afirmar que a negativa da sentença “Hoje
Lê-se: P1, P2,..., Pn acarretam Q, Q decorre de P 1,
é sexta-feira e amanhã não vai chover” é:
a) Hoje é sábado e amanhã vai chover.
Q
P 2,..., Pn, Q se deduz de P1, P2,..., Pn, Q se infere de P 1,
P 2,..., Pn.
b) Hoje não é sexta-feira e amanhã não vai chover.
c) Hoje não é sexta-feira e amanhã vai chover.
O símbolo
é chamado de taco de asserção.
d) Hoje não é sexta-feira ou amanhã não vai chover.
e) Hoje não é sexta-feira ou amanhã vai chover.
Um argumento de premissas P1, P 2,..., Pn e conclusão
Q, também pode ser indicado através da forma padronizada,
26) É correto afirmar que a negativa da sentença
“Aprendi lógica, então acertarei esta questão” é:
a) Não aprendi lógica, então não acertarei esta questão.
por:
P1
P2
b) Não aprendi lógica, então acertarei esta questão.
...
c) Aprendi lógica e não acertarei esta questão.
Pn
d) Aprendi lógica e acertarei esta questão.
∴Q
e) Não acertarei esta questão, então não aprendi lógica.
Silogismo
27) É correto afirmar que a equivalente da sentença “Se a
crise aumentar, então as vendas de Natal vão cair” é:
a) As vendas de Natal vão cair então a crise não vai aumentar.
b) As vendas de Natal não vão cair então a crise vai aumentar.
c) As vendas de Natal não vão aumentar então a crise vai
diminuir.
É como chamamos todo argumento composto por
duas premissas e uma conclusão.
Ex:
Pedrão é professor ou engenheiro
Pedrão não é engenheiro
d) As vendas de Natal não vão aumentar então a crise não vai
Portanto, Pedrão é professor
diminuir.
e) As vendas de Natal vão aumentar então a crise vai diminuir.
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9
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
SAT VIRTUA
Validade de argumentos
PROF PEDRÃO
d) p → q
q∧
Para podermos determinar se um argumento é válido
ou não, devemos inicialmente considerar que as premissas
¬w
¬w
∴ ¬p
sempre serão verdadeiras.
e) p ∨ q
Argumento válido: quando premissas verdadeiras
geram conclusões verdadeiras.
∴p
Argumento inválido (sofisma ou falácia): quando
premissas
verdadeiras
geram
¬q
conclusões
falsas
ou
ambíguas (podem ser verdadeiras ou falsas).
Obs: se uma das premissas for falsa, o argumento é
inválido.
f) p ∧ q
¬q
∴p
g) p → q
q
Podemos utilizar as tabelas-verdade para verificar se
∴p
um argumento é válido ou inválido, sendo que um
argumento só é válido se o valor lógico da conclusão for V
h) p → q
em todas as linhas onde os valores lógicos de todas as
q→x
premissas forem V, nas mesmas linhas.
Outra forma de verificar se um argumento é válido ou
não, consiste em se montar a tabela-verdade e verificar se a
condicional (P 1 ∧ P2 ∧ ... ∧
Pn) → Q é uma tautologia.
Quando a condicional for uma tautologia, o argumento é
válido.
¬x∧ m
∴ ¬p
i) p → q
q →k
∴p → k
EXERCÍCIOS
28) Verifique se os argumentos são válidos ou inválidos:
a) p → q
j) p → q
q →h
∴p →h
k) p → q
¬q
∴p
q→x
x→m
∴p → m
b) p → q
x→p
l) p → q
¬q
∴x
¬x→ ¬q
∴p →x
c) h → q
29) Verificar a validade do argumento:
q →p
p →x
Se é domingo, Karol vai à missa
x→y
¬y
∴ ¬h
10
Karol não foi à missa
Logo, não é domingo
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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
SAT VIRTUA
30) Verificar a validade do argumento:
PROF PEDRÃO
a) Pedrão não foi aprovado e Karol não foi visitar seus pais.
b) Pedrão não estudou e Pedrão foi aprovado.
Estudo ou não serei aprovado em Matemática
c) Pedrão estudou e Pedrinho foi ao parque.
Se trabalho, não estudo
d) Karol não foi à missa e Pedrão não foi aprovado.
Trabalhei
e) Karol foi à missa e Pedrão foi aprovado.
Logo, fui reprovado em Matemática
36) As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram
31) Verificar a validade do argumento:
feitas sobre a ordem de chegada dos participantes de uma
prova de natação:
I) Dado chegou antes de Gueti e depois de Ita;
Se um homem é inteligente, ele casa.
II) Dado chegou antes de Dani e Dani chegou antes de
Se um homem não casa, ele é infeliz
Gueti, se e somente se Gueti chegou depis de Ita;
O homem é feliz
III) Rê não chegou junto com Dani, se e somente se
Logo, homens inteligentes não casam
Gueti chegou junto com Dado. Logo:
32) Considere a proposição “Pedrão é professor e guerreiro,
ou Pedrão é bonito”. Como Pedrão não é bonito, então é
a) Dado chegou antes de Rê, depois de Ita e junto com
correto afirmar que Pedrão é professor e guerreiro?
Gueti.
b) Gueti chegou antes de Ita, depois de Dani e antes de
33) Considere as seguintes premissas:
Dado.
“Cláudia é bonita e inteligente, ou Cláudia é simpática.”
c) Gueti chegou depois de Dani, depois de Rê e junto com
“Cláudia não é simpática.”
Ita.
d) Dani chegou antes de Ita, depois de Dado e junto com
A partir dessas premissas, conclui-se que Cláudia:
Rê.
a) Não é bonita e não é inteligente.
e) Rê chegou antes de Gueti, depois de Ita e junto com
b) Não é bonita e é inteligente.
Dani.
c) É bonita e não é inteligente.
DIAGRAMAS LÓGICOS
d) É bonita ou é inteligente.
e) Se é bonita, então é inteligente.
O estudo da Teoria dos Conjuntos e dos Diagramas de
34) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é
Venn são ferramentas importantes na resolução de questões
florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho
de Raciocínio Lógico, sendo que devemos destacar três
canta. Logo:
situações:
a) O jardim é florido e o gato mia
b) O jardim é florido e o gato não mia
c) O jardim não é florido e o gato mia
Conjuntos que não possuem elementos em comum
(disjuntos – (A ∩ B = ∅ ) – “Nenhum A é B”
d) O jardim não é florido e o gato não mia
e) Se o passarinho canta, então o gato não mia
35) No final de semana Pedrinho não foi ao parque. Ora,
sabe-se que sempre que Pedrão estuda, Pedrão é
aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais de semana, ou
Karol vai à missa ou vai visitar seus pais. Sempre que Karol
vai visitar seus pais, Pedrinho vai ao parque e, sempre que
Karol vai à missa, Pedrão estuda. Então, no final de
semana,
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11
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
SAT VIRTUA
Conjuntos que possuem ao menos um elemento em
comum (A ∩ B ≠
∅ ) – “Algum A é B” e “Algum A não é
PROF PEDRÃO
# Todo A é B (F)
Algum A não é B (V)
Nenhum A é B (indeterminada)
B”
Algum A é B (indeterminada)
# Nenhum A é B (F)
Algum A é B (V)
Todo A é B (indeterminada)
Algum A não é B (indeterminada)
# Algum A é B (F)
Todo A é B (F)
Conjunto contido em outro conjunto (A ⊂ B) –
“Todo A é B”
Nenhum A é B (V)
Algum A não é B (V)
# Algum A não é B (F)
Todo A é B (V)
Nenhum A é B (F)
Algum A é B (V)
PRINCIPAIS NEGAÇÕES
"TODO É"
"PELO MENOS UM NÃO"
"EXISTE UM QUE NÃO É"
"ALGUM NÃO É"
"NENHUM É"
"PELO MENOS UM É"
"EXISTE UM QUE É"
"ALGUM É"
"ALGUM É"
"NENHUM É"
Proposições Categóricas
# Todo A é B (V), então:
Nenhum A é B (F)
Algum A é B (V)
Algum A não é B (F)
"ALGUM NÃO É" "TODO É"
# Nenhum A é B (V), então:
Todo A é B (F)
A negação da frase: "Todo Gremista é inteligente" é:
"Pelo menos um Gremista não é inteligente"
"Existe um Gremista que não é inteligente "
"Algum Gremista não é inteligente "
Algum A é B (F)
Algum A não é B (V)
A negação da frase: "Nenhum Gremista é inteligente " é
# Algum A é B (V), então:
Nenhum A é B (F)
Todo A é B (indeterminada)
Algum A não é B (indeterminada)
"Pelo menos um Gremista é inteligente "
"Existe um Gremista que é inteligente "
"Algum Gremista é inteligente "
A negação da frase: "Algum Gremista é inteligente " é
"Nenhum Gremista é inteligente "
# Algum A não é B (V), então:
Todo A é B (F)
A negação da frase: "Algum Gremista não é inteligente "
é
Nenhum A é B (indeterminada)
Algum A é B (indeterminada)
12
2010
"Todos Gremistas são inteligente "
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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
SAT VIRTUA
EXERCÍCIOS
PROF PEDRÃO
p∧q
b)
p∨q
c)
¬p ∧ q
d)
¬p ∨ ¬q
pode ser corretamente expressa pela proposição “Nenhuma
e)
¬p ∧ ¬q
f)
¬(p ∧ q )
palavra se mascara”.
g)
¬(¬p ∧ ¬q )
h)
37) A negação da proposição “As palavras mascaram-se”
38) A negação da proposição “Existe banco brasileiro que
03) a)
i)
¬(¬q )
¬(¬p)
p ∧ ¬(¬q )
j)
fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos”
pode ser assim redigida: “Nenhum banco brasileiro fica com
mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos.”
04) a) Se João é filho de Ana, então não é simpático.
b) Se João não é filho de Ana, então não é simpático.
c) Se João não é filho de Ana, então é simpático.
39) Se a afirmativa “todos os beija-flores voam rapidamente”
for considerada falsa, então a afirmativa “algum beija-flor
não voa rapidamente” tem de ser considerada verdadeira.
d) Não é verdade que se João é filho de Ana então é
simpático.
e) Se João é filho de Ana, então não é verdade que
João é filho de Ana ou é simpático.
40) Se A for a proposição “Todos os policiais são honestos”,
então a proposição ¬A estará enunciada corretamente por
f) Se João é filho de Ana, então não é verdade que
João é filho de Ana e é simpático.
g) Se João não é filho de Ana, então é filho de Ana e é
“Nenhum policial é honesto”.
simpático.
h) Se João não é filho de Ana, então é filho de Ana ou
GABARITO – RACIOCÍNIO LÓGICO
é simpático.
i) Se João não é filho de Ana, então não é verdade que
01) a) F
b) V
c) F
d) V
e) F
f)F
g) F
h) V
i) V
j) F
é filho de Ana e é simpático.
j) Se João não é filho de Ana, então não é verdade que
é filho de Ana ou é simpático.
02) a) João não é filho de Ana.
b) João não é simpático.
c) João é filho de Ana e é simpático.
d) João não é filho de Ana e é simpático.
e) João é filho de Ana e não é simpático.
f ) João não é filho de Ana e não é simpático.
g) João é filho de Ana ou é simpático.
h) João não é filho de Ana ou é simpático.
K) Se João é filho de Ana ou é simpático, então não é
simpático.
l) Se João é filho de Ana e é simpático, então não é
simpático.
m) Se não é verdade que João é filho de Ana ou é
simpático, então não é simpático.
n) Se não é verdade que João é filho de Ana e é
simpático, então é simpático.
i) João é filho de Ana ou não simpático.
j) João não é filho de Ana ou não é simpático.
k) Não é verdade que João é filho de Ana e é
05) a) F
h) V
b) V
i) F
c) F
j) V
d) F
k) V
e) F
l) V
f) V
m) F
g) F
n) V
o) F
simpático.
l) Não é verdade que João é filho de Ana ou é
06) a) F
simpático.
m) Não é verdade que João não é filho de Ana e é
h) V
b) V
i) V
c) V
j) F
d) V
e) V
f) F
l) V
m) V
n) V
k) F
g) F
o) V
simpático.
n) Não é verdade que João é filho de Ana ou não é
simpático.
o) Não é verdade que João não é filho de Ana.
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07) a) 3V e 1F
b) 3V e 1F
c) 1V e 3F
d) 1V e 3F
e) 2V e 2F
f) 1V e 3F
g) 2V e 2F
h) 3V e 1F
i) 2V e 2F
j) 2V e 2F
k) 3V e 1F
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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
SAT VIRTUA
08) a) não são equivalentes
PROF PEDRÃO
p : Aprendi lógica.
q : Acertarei esta questão.
b) são equivalentes
c) não são equivalentes
15)
d) são equivalentes
p → q ; p ∧ ¬q
e) não são equivalentes
f ) são equivalentes
V
F
F
V
V
V
F
F
são negativas
09) a) são negativas
b) são negativas
p : A crise vai aumentar .
q : As vendas de Natal vão cair .
c) não são negativas
d) não são negativas
16)
e) não são negativas
p → q ; ¬q ∨ ¬p
10) a) contradição
b) tautologia
c) contingência
V
F
F
V
V
V
V
V
não são negativas
p : Meu nome é Pedrão.
q : En sin arei lógica.
17)
11) p → q ⇔ q ∨ ¬p
V
V
F
V
F
V
V
V
b)
I : ¬p → q
C : q → ¬p
R : p → ¬q
I : q → ¬p
R : ¬q → ¬p
c) I : p → q
C:q → p
C : ¬p → q
18)
p : Pedrão é professor .
q : Serginho é paulista.
12) ¬p ∨ q ⇔ p → q
V
F
V
V
R : ¬q → p
a)
R : Se ele explica bem a matéria, então ele é um bom
professor.
I : Se ele não é um bom professor, então ele não
V
F
V
V
explica bem a matéria.
C : Se ele não explica bem a matéria então ele não é
um bom professor.
p : Pedrão é professor .
q : Serginho é paulista.
13) p ∨ ¬q ; ¬ p ∧ q
V
F
V
F
F
V
C : ¬q → ¬p
19) I : q → p
R:p→q
20) c
V
F
são negativas
21) e
23) e
24) e
b) inválido
e) inválido
f ) inválido
i ) válido
p : Hoje é sexta − feira.
q : Amanhã vai chover .
14) p ∧ ¬q ; ¬p ∨ ¬q
F
F
V
V
F
V
22) e
28) a) inválido
29) válido
j ) válido
30) válido
33) e
34) c
39) C
40) E
35) e
25) e
c) válido
g) inválido
k) válido
31) inválido
36) e
26) c
h) válido
l ) válido
32) correto(válido)
37) E
F
V
não são negativas nem equivalent es
14
2010
27) e
d) inválido
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
38) C