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Universidade dos Açores
Cursos de Especialização Tecnológica
Curso de Gestão de Qualidade
Disciplina: Matemática
Ficha de Trabalho 6:
1. A taxa de crescimento de uma colónia de bactérias, num qualquer momento, é
proporcional ao número total de bactérias nesse momento. Sob condições ideais,
uma colónia de bactérias Eschrichia coli cresce com factor 100 em cada 2 horas. Se
inicialmente estiverem presentes 4 000 bactérias, ao fim de quanto tempo é que a
colónia tem 1 000 000 de bactérias?
2. Aproximadamente 10 000 bactérias são colocadas numa cultura. Seja P(t) o número
de bactérias presentes na cultura após t horas, e suponha que P(t) satisfaz a equação
P’(t) = 0.55P(t).
2.1. Encontre a fórmula para P(t).
2.2. O que é P(0)?
2.3. Quantas bactérias estão presentes após 5 horas?
2.4. Quando irá dobrar a população?
2.5. Qual é a constante de crescimento?
2.6. Determine a rapidez com que a cultura está crescendo quando ela atinge 100 000
bactérias?
2.7. Qual é a população da cultura quando a taxa de crescimento é de 34 000 bactérias
por hora?
3. Determine a constante de crescimento de uma população que cresce com uma taxa
proporcional ao seu tamanho, sabendo que a população dobra a cada 40 dias?
4. A taxa de crescimento de uma cultura de células é proporcional ao seu tamanho. Em
10 horas uma população de um milhão de células cresce para 9 milhões. Qual será o
tamanho da cultura após 15 horas?
5. Uma amostra com 8 gramas de um material radioactivo é colocada num cofre. Seja
P(t) a quantidade de material radioactivo que permanece após t anos, e suponha que
P(t) satisfaz a equação P’(t) = -0.021P(t).
5.1. Encontre a fórmula para P(t).
5.2. Indique o valor de P0, e da constante de decrescimento.
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5.3. Após 10 anos que quantidade de material radioactivo permanece?
5.4. Determine a rapidez com que a amostra está se desintegrando quando resta 1
grama.
5.5. Qual é a quantidade de material radioactivo que ainda permanece quando ele se está
desintegrando a uma taxa de 0.105 gramas por ano?
6. Um pequeno montante de dinheiro (€) é depositado numa poupança que paga juros
compostos continuamente. Seja A(t) o saldo na poupança após t anos.
Encontre para cada uma das respostas a correspondente questão:
(a) Pe r t
(A) Com que rapidez o saldo está aumentando após
3 anos?
(b) A(3)
(B) Determine uma expressão geral para A(t).
(c) A’(3)
(C) Em quanto tempo o depósito triplicará de
valor?
(d) A(0)
(D) Determine o saldo ao fim de 3 anos.
(e) Resolva A’(t)=3 para t.
(E) Quando o saldo será de 3€?
(f) Resolva A(t)=3 para t.
(F) Quando o saldo estará aumentando a uma taxa
de 3€ por ano?
(g) y’= r y
(G) Qual era o valor do depósito inicial?
(h) Resolva A(t)=3A(0) para t.
(H) Obtenha uma equação (diferencial) satisfeita
por A(t).
7. Um investimento A tem hoje um valor de 70200€ e está se valorizando a uma taxa
de juros de 13% ao ano compostos continuamente. um investimento B tem hoje um
valor de 60000€ e está se valorizando a uma taxa de juros de 14% ao ano compostos
continuamente. Depois de quantos anos os dois investimentos terão o mesmo valor?
8. Numa determinada cidade, o valor das propriedades triplicaram de 1980 a 1995. Se
essa tendência continuar, em que ano o valor das propriedades será cinco vezes o
valor de 1980? (utiliza um modelo exponencial para o valor da propriedade no
instante t).
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