Apostila Construções Fundamentais - Geometria - SOL

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA
EXPRESSÃO GRÁFICA BÁSICA - ENG 1070
I - Elementos Fundamentais da Geometria
1- Ponto:
O ponto geométrico é um ente ideal, isto é, só existe na nossa imaginação.
Não possui comprimento, nem profundidade nem altura.
È representado por letras maiúsculas.
•A
•B
•C
2- Reta:
A reta geométrica também só existe na nossa imaginação.
Possui apenas uma dimensão, sobre ela podemos medir apenas os comprimentos.
È representada por letras minúsculas.
t
u
As retas no plano podem ser:
 Coincidentes – quando duas retas possuem todos os pontos comuns.
t
r
 Concorrentes – quando duas retas possuem apenas um único ponto em comum.
r
P
s
1
 Paralelas – quando duas retas não possuem nenhum ponto em comum.
s
r
EXERCÍCIO 1: De um ponto A traçar a reta paralela à reta r dada.
A•
r
 Perpendiculares – quando duas retas concorrentes formam entre si ângulos retos.
s
r
EXERCÍCIO 2: De um ponto A traçar uma reta s perpendicular a reta r. Sabendo que o ponto A
pertence a reta s.
A•
r
2
EXERCÍCIO 3: De um ponto A traçar uma reta s perpendicular a reta r. Sabendo que o ponto
pertence a reta s.
•
A
r
3- Mediatriz:
Traçar a mediatriz de um segmento AB equivale a dividir o segmento em duas partes iguais.
EXERCÍCIO 4: Dado o segmento AB, trace sua MEDIATRIZ:
I
A
I
B
4- Bissetriz:
Traçar a bissetriz de um ângulo equivale a dividir o ângulo em duas partes iguais.
EXERCÍCIO 5: Dado o ângulo abaixo, trace sua BISSETRIZ:
B
O
C
3
EXERCÍCIO 6: Traçar a BISSETRIZ do ângulo formado pelas retas “r” e “s”, sem usar o vértice
desse ângulo.
r
s
5- Construção de ângulos
Ângulo é a junção de duas semi-retas com a região delimitada.
Os elementos que compõe os ângulos são: Vértice e lados.
A unidade de medida do ângulo é o grau.
B lado
O
vértice
C lado
Familia 90º
Traçando por um ponto A uma reta s perpendicular a reta r, constrói-se um ângulo de 90º.
Traçando a bissetriz do ângulo reto, obtêm-se o ângulo de 45º. Procedendo assim simultaneamente
podemos construir uma infinidade de ângulos
EXERCÍCIO 7: De um ponto A traçar os ângulos de 90º,45ºe 22º30´´
A•
r
4
Familia 60º
Uma circunferência forma um ângulo de 360º, dividindo-a em 6 partes iguais teremos o ângulo de
60º. Para dividir uma circunferência em 6 partes, basta traçar sobre ela o seu raio e traçar linhas
que ligam o seu vértice aos pontos encontrados.Traçando a bissetriz ao ângulo encontrado teremos
30º. Procedendo assim simultaneamente podemos construir uma infinidade de ângulos.
EXERCÍCIO 8: Com centro em O e raio em A, traçar os ângulos de 60º, 30ºe 15º.
O
I
A
I
EXERCÍCIO 9: Construa um ângulo igual ao ângulo dado.
A
B
O
Divisão de segmento de reta em partes iguais:
EXERCÍCIO 10: Dado o seguimento AB, divida-o em 5 partes iguais:
I
A
I
B
5
II – Figuras Geométricas:
1- Polígonos
É uma figura fechada formada pela reunião de segmentos ligados em suas extremidades.
B
A
C
E
D
São elementos de um polígono:
a) Lados – São os seguimentos que formam o polígono: AB, BC, CD e EA.
b)
Vértice – São os pontos de intersecção entre dois lados A, B, C, D e E.
c) Perímetro – É a soma das medidas, dos lados.
d) Diagonal - É todo segmento com extremidade em dois vértices não consecutivos.
e) Ângulos internos – São os ângulos formados por dois lados consecutivos do polígono: ABC,
BCD, CDE, DEA e EAB.
f)
Ângulos externos - São os ângulos formados por um lado e o prolongamento do lado
consecutivo do polígono: PAB, QBC, RCD, SDE e TEA.
Classificação: Eles podem ser classificados de acordo com o número de lados:
TIPO DE POLIGONO
Triângulo
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
LADOS
3
4
5
6
7
8
TIPO DE POLIGONO
Eneágono
Decágono
Undecágono
Dodecágono
Pentádecagono
Icoságono
LADOS
9
10
11
12
15
20
Polígonos Regulares: Um polígono é regular quando tem todos os lados congruentes e todos os
ângulos internos congruentes.
2- Triângulos
Definição: È um polígono de três lados, sabendo que a soma de seus ângulos internos é igual a
180º.
Quanto aos lados eles se classificam em:
6

Isósceles: possui dois lados congruentes
A
B
B
C
 Escaleno: não possui lados congruentes
A
B
C
 Eqüilátero: possui todos os lados congruentes
A
B
C
Quanto aos ângulos eles podem ser:
 Acutângulo: Quando os três ângulos são agudos.
A
B
B
C
 Retângulo: possui um dos lados é reto e os outros são agudos.
A
B
C
7
 Obtusângulo: Quando um triângulo possui um dos lados é obtuso e os outros dois são
agudos
A
B
C
* Altura: è o segmento que une um vértice ao lado oposto (ou ao seu prolongamento), formando um
ângulo de 90ºentre o segmento e o lado oposto.
3- Quadriláteros
È um polígono de quatro lados.
Sabendo que a soma de seus ângulos internos é igual a 360º.
Quanto ao paralelismo de seus lados eles se classificam em:
 Trapézio: possui apenas um par de lados opostos paralelos;
A
B
C
C
D
 Paralelogramo: possui os pares de lados opostos respectivamente paralelos;
A
B
C
D
Quanto aos lados eles se classificam em:
 Trapézio Escaleno: quando os lados não paralelos não são congruentes
 Trapézio Isósceles: quando os lados não paralelos são congruentes;
8
 Trapézio retângulo: quando um dos lados não paralelos é perpendicular as bases;
4- Circunferências
Chama-se circunferência o conjunto de todos os pontos do plano cujas distâncias a O são iguais a
r.
O+
III – Construções fundamentais
EXERCÍCIO 11: Construa um TRIÂNGULO ABC, conhecendo dois de seus lados e o ângulo
formado no vértice A.
A
A
B
C
EXERCÍCIO 12: Construa um TRIÂNGULO ABC, sabendo-se que seus lados medem 4,0cm,
5,2cm e 7,0cm (base do triângulo), respectivamente.
9
EXERCÍCIO 13: Construa um QUADRADO INSCRITO na circunferência dada, e determine o
centro da circunferência.
EXERCÍCIO 14: Traçar o CÍRCULO INSCRITO a um triângulo dado.
A
C
B
EXERCÍCIO 15: Traçar o CÍRCULO CIRCUNSCRITO a um triângulo dado.
A
C
B
10
5- Retificação da circunferência
Processo de Specht:
a) Após encontrar o centro da circunferência O, é traçado o diâmetro AB e traçamos por A a
perpendicular ao diâmetro AB.
b) Encontra-se AC que é igual ao diâmetro AB, isto é, AC = 2R.
c) Dividimos o raio OA em cinco partes iguais, onde CD = 1/5R e DF = 2/5R.
d) Toma-se AE = OD e traça por E a paralela á reta OF. Obtendo assim o ponto G.
EXERCÍCIO 16: Dada a circunferência abaixo, faça a sua retificação usando o processo de Specht.
6- Concordância
Um arco e uma reta estão em concordância num ponto quando a reta é tangente ao arco neste
ponto.
EXERCÍCIO 17: Concorde a reta t num ponto dado A com um arco que deve passar pelo ponto B
dado.
.A
t
.B
7- Tangência
Toda reta cuja distância ao centro do círculo seja igual ao raio só tem um ponto comum com a
circunferência, sendo por isto uma tangente, e consequentemente é a perpendicular ao raio que
passa por este ponto de contato, neste caso o ponto T.
r
O+
T
11
EXERCÍCIO 18: Traçe 3 circunferências TANGENTES entre si, de raios R1= 1,5; R2= 2,0 e R3=
3,5. (as duas circunferências maiores são tangentes no ponto A)
A
EXERCÍCIO 19: Construa um PENTÁGONO REGULAR INSCRITO numa circunferência de
diâmetro de 6cm.
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EXERCÍCIO 20: Desenhar a figura abaixo, concordando suas retas com os arcos definidos por
seus raios e ângulos indicados (utilizar escala 2:1).
EXERCÍCIO 21: Desenhar a figura abaixo, concordando suas retas com os arcos definidos por
seus raios e ângulos indicados (utilizar escala 2:1).
BIBLIOGRAFIA
1. GIONGO, Afonso Rocha. Curso de Desenho Geométrico: Editora Nobel, 25ª ed., 1988.
2. JOTA, José Carlos Putnoki. Elementos de Geometria: Editora Scipione, 3ª ed., 1991.
3. PEREIRA, Ademar. Desenho Técnico Básico: Editora Francisco Alves.
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