Apostila Probabilidade

PROBABILIDADES Disciplina de Pós-Graduação – Departamento de Matemática
(Apostila #1)
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
“A Teoria de Probabilidades nada mais é que senso comum transformado em cálculo”
Laplace
Exemplos que envolvem conceitos de probabilidade:
a) Se de acordo com alguma hipótese, a probabilidade de ocorrer determinada amostra é
excepcionalmente pequena, concluímos em estatística clássica pela rejeição desta hipótese.
b) Alguém poderá decidir submeter-se a uma cirurgia complicada por considerar que os
benefícios esperados compensam os riscos envolvidos.
Definições
D1 : Um experimento é qualquer processo que permite fazer observações.
(Exemplos: lançamento de um dado para observar a fase vencedora; captura de um animal para
determinar sexo, comprimento e peso; seleção
de um eleitor para indicar seu candidato nas
próximas eleições)
D2 : Um evento é uma coleção de possíveis resultados do experimento.
D3 : Um evento simples é um evento que não comporta decomposição em coleções menores.
D4 : O espaço amostral de um experimento é a coleção de todos os possíveis eventos simples de
um experimento.
Notação
Qualquer evento A
é um sub-conjunto do espaço-amostral
Ω
que, por sua vez é a
coleção de todos os eventos simples w. Este conjunto poderá ser finito, infinito enumerável ou
não-enumerável. Por hora, nos restringimos aos espaços amostrais finitos .
P(A) denota a probabilidade da ocorrência do evento A.
A matemática dos eventos está ligada a Teoria dos Conjuntos. Em vista disso
estabelecemos notação simplificada para operações com conjuntos.
Símbolo
Formato em Teoria de conjuntos
União lógica de A e B normalmente simbolizado por A ∪ B
A+B
AB
Produto lógico de A e B normalmente simbolizado por A ∩ B
~A
Negação de A, também denotado por evento complementar de A
∅
Evento logicamente impossível correspondente aso conjunto vazio.
Algumas definições:
A – B = A(~B) é a diferença lógica entre A e B
Se AB =
∅
dizemos que A e B são eventos mutuamente excludentes (isto é, A e B não podem
ocorrer simultaneamente)
Definições de Probabilidades
Há 3 formas de definir probabilidades é importante destacar que a necessidade prática de
estender o cálculo de probabilidades motivou estas extensões no conceito.
1- Probabilidade “Clássica”
P(A) = número de eventos simples em A . = # A .
número de eventos simples em Ω
#Ω
Esta probabilidade é natural em jogos de azar onde os eventos simples são considerados
equiprováveis e o espaço amostral é finito. Permite, por exemplo determinar a probabilidade de
obter quatro cartas de copas ao retirar uma mão de pôquer (5 cartas) de um baralho completo (52
cartas).
Se, no entanto, o interesse está em determinar a probabilidade de que um percevejo
lançado ao acaso acabe com a ponta virada para cima, o procedimento acima precisa ser
substituído pelo conceito que deriva de estudos empíricos.
2- Probabilidade como Freqüência relativa
P(A) = número de ocorrências de A
. = nA .
número de repetições do experimento
n
A Lei dos grandes números garante que em experimentos que podem ser descritos por
probabilidade clássica, a razão nA/n converge para P(A) quando nÆ∞.
No entanto, há fenômenos relevantes que desejamos descrever probabilisticamente mas
que não podem ser enquadrados nas definições anteriores. Tipicamente, trata-se de eventos
únicos no tempo como, por exemplo, a probabilidade de que o Brasil vença a próxima copa do
mundo de futebol ou de que o consumo de soja transgênica não representa riscos a saúde. Estes
fenômenos se caracterizam por sua incerteza e necessitam de uma definição mais ampla de
probabilidades.
3 - Probabilidade como medida de incerteza
P(A) = denota a plausibilidade relativa do evento A
O conceito de probabilidade como uma medida do grau de plausibilidade de um evento
surge no processo de construção formal de uma lógica indutiva. Esta conceituação estende
enormemente as possibilidades da utilização de probabilidades e é a definição de probabilidade
utilizada em Estatística Bayesiana. Embora também seja denominada “probabilidade subjetiva”
devido a propriedade de que ela sempre dependente das informações disponíveis ao sujeito que a
especifica, ela não é, de forma alguma “arbitrária”. Há princípios de coerência e consistência bem
determinados e que precisam ser respeitados. Além disso, pode-se mostrar que as definições
apresentadas anteriormente são casos especiais.
Em termos práticos a aferição (elicitation) de uma probabilidade subjetiva pode ser feita
com a ajuda de um experimento de calibração ( o “padrão urna”).
Independentemente da conceituação de probabilidades que se queira adotar, o importante
para o restante desta disciplina é que as propriedades matemáticas de Cálculo de Probabilidades
(resultantes, por exemplo da axiomatização proposta por Kolmogorov) são únicas.
AS TRÊS LEIS BÁSICAS DE PROBABILIDADES
Se desejarmos utilizar P(A) como uma medida de incerteza para A é razoável balisarmos
esta medida entre os eventos extremos: impossível (∅) e certo (Ω).
Sejam P(∅) = 0 e P(Ω) = 1. Então, como qualquer evento A está entre o possível e o certo
segue a primeira lei:
L1 – 0 ≤ P(A) ≤ 1
A Segunda lei se refere ao cálculo de probabilidade para a união lógica de eventos
mutuamente excludentes.
L2 – Se AB = ∅ então P(A+B) = P(A) + P(B)
Há duas conseqüências importantes e imediatas de L1 e L2:
1) Como A + (~A) = Ω
e
A (~A ) = ∅ segue que P(~A) = 1 – P(A)
2) Se A1, A2 , ..., An satisfazem AiAj = ∅ para todo par de eventos ( i ≠ j ) então
P ( A1 + A2 + ... + An ) = P(A1) + P(A2 ) + ...+ P(An )
A terceira e última lei refere-se ao cálculo de probabilidades para a ocorrência simultânea
de qualquer par de eventos.
L3 – Para qualquer par de eventos A e B, tem-se P(AB) = P(A)·P(B|A)
Introduziu-se um símbolo novo, P(B|A) que representa a probabilidade de ocorrência do
evento B condicionado à ocorrência do evento A. Abreviadamente diz-se “probabilidade de B dado
A”. O conceito de probabilidade condicional é fundamental em inferência estatística e será
examinado em mais detalhes posteriormente.
A lei L3 pode ser facilmente expandida para um conjunto finito de eventos arbitrários A1, A2
, ..., An . (Faça isso como exercício!)
P(A1, A2 , ..., An) = P(A1). P(A2|A1). P(A3|A1 A2).... P(An|A1 A2...An-1)
As demais propriedades associadas ao cálculo de probabilidades podem ser deduzidas
dessas três leis básicas. Por exemplo, a extensão de L2 para dois eventos quaisquer será:
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB)
Para demonstrar isso basta notar que:
a) A + B = (A – B) + AB + (B – A )
b) A = (A – B) + AB
c) B = (B – A) + AB
(faça como exercício)
EXEMPLO 1: Considere o experimento que consiste no lançamento simultâneo de duas moedas
honestas e individualmente identificáveis. Estamos interessados em medir a probabilidade do
evento A : “ aparecimento de ao menos uma cara”
Se c denota o evento “cara” e k o evento “coroa” então temos:
Ω = { (c,c); (c,k); (k,c); (k,k)}
A = { (c,c); (c,k); (k,c) }
Pela definição clássica tem-se P(A) = ¾ pois trata-se de um espaço amostral equiprovável.
Ω
Diagrama de árvore do experimento:
½
½
c
Prob
cc
¼
ck
¼
c
kc
¼
k
kk
¼
C
k
K
½
½
EXEMPLO 2: Ana , Beatriz e Clarisse disputam a rodada final de um torneio de tênis. Seja P(a),
P(b) e P(c) as probabilidades de que Ana, Beatriz ou Clarisse vença uma partida, respectivamente.
Sem perda de generalidade, vamos admitir que entre elas não há favoritas; isto é, todas as
probabilidades de vitória em uma partida são de ½. O torneio declara vencedora a primeira tenista
que vencer 2 partidas.
Definem-se os seguintes eventos:
A - Ana vence o campeonato
B - Beatriz vence o campeonato
C - Clarisse vence o campeonato
D – A rodada final terá exatamente 3 partidas
E – A rodada final terá no máximo três partidas
Calcule as probabilidades desses eventos e também a condicional P(E|A).
Diagrama de árvore (notar que não se trata mais de um espaço amostral equiprovável!)
Ω
a
Prob
a
aa
1/4
b
acba
1/16
acbb
1/16
a
acc
1/8
b
bb
1/4
a
bcaa
1/16
b
bcab
1/16
bcc
1/8
b
c
c
b
a
c
c
DOIS TEOREMAS IMPORTANTES
T1 ( Teorema da probabilidade total ) Se E1, E2 , ..., En são eventos exclusivos (satisfazem EiEj =
∅ pra todo i ≠ j ) e exaustivos ( E1 + E2 + ... + En = Ω) , então a probabilidade de qualquer evento A
pode ser calculada como segue
n
P(A) =
∑ P( A | Ei).P( Ei)
i =1
(Para provar o teorema basta notar que A = AE1 + AE2 + ... + AEn e que se trata da união de
eventos mutuamente excludentes)
EXEMPLO 3.a. : Há 3 urnas que contém bolas identicas em forma e tamanho nas cores azul (A) e
vermelha (V), nas quantidades indicadas na tabela. Um experimento consiste no sorteio de uma
urna com probabilidades 1/4, 2/3 e 1/12, respectivamente e a retirada ao acaso de uma bola dessa
urna. Qual a probabilidade do evento A: “a bola sorteada é azul” ?
Urna 1 (U1)
Urna 2 (U2)
Urna 3 (U3)
A
V
A
V
A
V
4
2
9
9
3
0
Resolução : aplicação direta de T1
T2 : (teorema da Bayes) Sejam A e B eventos quaisquer e P(B) > 0, então:
P(A|B) =
P( B | A).P( A)
P( B)
A prova é imediata a partir de L3.
EXEMPLO 3.b. Sabendo que a bola selecionada é azul. Qual a probabilidade de que ela saiu da
Urna número 1. Ou seja: P(U1|A) = ?
Resolução: aplicação direta de T2
D5 : Dois eventos quaisquer A e B são (probabilisticamente) independentes se P(A|B) = P(A) . (e
conseqüentemente P(B|A) = P(B))
EXEMPLO 4 Verificar se os seguintes eventos são independentes:
a) No exemplo 3 os eventos A e U1
b) No exemplo 2 os eventos D e A
c) No exemplo 1 os eventos A e B: “cara no lançamento da primeira moeda”
EXEMPLO 5 (“PORTA DA ESPERANÇA”) Há três portas sendo que uma delas esconde um
prêmio. O apresentador (que sabe qual das três portas esconde o prêmio) pede ao candidato que
escolha uma das portas. Em seguida o apresentador abre uma das outras duas portas que se
revela sem prêmio e dá ao candidato a opção de ficar com sua primeira escolha ou trocar para a
outra porta que ainda está fechada . O apresentador então abre a porta escolhida e o candidato
leva o prêmio se a porta se revela como premiada.
Pergunta : Qual será a melhor estratégia : permanecer com a primeira escolha ou trocar de porta
na segunda decisão?
Resolução
Ai : o prêmio está com a porta número (i = 1,2,3)
Bj : o apresentador abre a porta número (j = 1,2,3)
P(Bj|Ai) = 0 se i=j
P(Ai) = 1/3 ( i = 1,2,3) [probabilidades a priori]
Sem perda de generalidade, vamos supor que o candidato inicie escolhendo a porta i = 1
e que o apresentador, em seguida abra a porta j=2. O que o candidato deverá fazer agora: ficar
com 1 ou trocar pela porta 3?
Para definir a melhor das duas estratégias, precisa-se determinar P(A1|B2) e P(A3|B2).
Somente faz sentido trocar de porta se P(A3|B2) > P(A1|B2) .
Fica como exercício mostrar que P(A1|B2) = 1/3 e portanto P(A3|B2) = 1 - P(A1|B2) = 2/3 indicando
que trocar de porta é uma estratégia com maiores chances de sucesso.
Nota : este exercício exemplifica como o cálculo de probabilidades pode orientar ações em
presença de incerteza. Mas note: tomar a melhor decisão não é garantia de sucesso num caso
isolado; apenas a consistência trará os frutos esperados.
TÉCNICAS DE CONTAGEM
1. Regra fundamental da contagem: para dois eventos que podem ocorrer respectivamente de m
e n maneiras distintas, há m.n maneiras pelas quais pares desses eventos podem ocorrer.
Exemplo: a) número de bytes com 8 bits
b) tipo de sangue e fator Rh
2. Regra do Fatorial (Permutações): Uma coleção de n objetos pode ser ordenada de n! maneiras
distintas . [ n! = n (n-1) (n-2)...1]
Exemplo: a) colocação de 5 bandeiras com cores distintas
b) ordenação de questões de prova
3. Regra dos arranjos (com elementos distintos): O número de arranjos (= seqüências) de r
elementos escolhidos entre n elementos (sem permitir repetição) é
Prn =
n!
(n − r )!
Exemplos:
a) Quantas programações noturnas de TV com 6 shows podem ser feitas a partir de um
plantel de 20 seriados.
b) Quantas chapas eletivas distintas (presidente, vice-presidente, 1º e 2º secretários, 1º e
2º tesoureiros) podemos formar a partir de um grupo de 10 pessoas.
4. Regra dos arranjos (com elementos não-distintos): Se há n elementos categorizáveis em k
grupos de formas que ni elementos se enquadram na i-ésima categoria (i = 1, 2, ..., k), então o
número de permutações distintas do conjunto de n elementos é
Pnn1,n 2,...nk =
n!
n1!.n2 !...nk !
Exemplos:
a) Número de permutações das letras da palavra “SOCORRO”
b) Número de sinais possíveis com 5 bandeiras sendo 2 azuis e 3 vermelhas
5. Regra das combinações: O número de sub-conjuntos (=combinações) de r elementos que
podem ser formados a partir de um conjunto com n elementos (distintos) é
n
n!
C rn =   =
 r  r!.(n − r )!
Exemplos:
a) Número de comitês (ou de amostras s/ reposição) de 5 elementos que podem ser
formados a partir de um conjunto de 10 elementos
b) Número de mãos de pocker (5 cartas) que podem ser retiradas de um baralho
completo (52 cartas)
c) Número de resultados possíveis na “Megasena”