Módulo Raciocínio Lógico Básico Prof. Sergio Mercuri

MÓDULO DE RACIOCÍNIO LÓGICO
ÍNDICE
2 -TEORIA DOS CONJUNTOS
8 -LÓGICA PROPOSICIONAL – OPERADORES LÓGICOS
12 - LÓGICA PROPOSICIONAL – RELAÇÕES LÓGICAS
14 - LÓGICA PROPOSICIONAL – QUANTIFICADORES
17 - LÓGICA PROPOSICIONAL – ARGUMENTAÇÃO
21 - CORRELAÇÃO LÓGICA
23 - CONTRADIÇÃO LÓGICA – VERDADES E MENTIRAS
25 - SEQUÊNCIAS LÓGICAS – RACIOCÍNIOS.
30 - PROGRESSÕES ARITIMÉTICA E GEOMÉTRICA.
34 - PROBABILIDADE
1
TEORIA DOS CONJUNTOS
No estudo da teoria dos Conjuntos, certas noções são consideradas primitivas, aceitas
sem definição.
Conjunto não se define, da idéia de grupo, coleção.
Ex.: Quando dizemos: “Conjunto dos Estados Brasileiros” – Bahia é um Estado Brasileiro.
Então Bahia é um elemento deste conjunto. Quando falamos em “Conjunto”
automaticamente lembramos “elemento”. Elemento caracteriza um conjunto.
Indicamos conjunto com letras maiúsculas do alfabeto: A, B, C, ...
E os elementos com letras minúsculas do alfabeto: a, b, c, ...
Representação:
Basicamente, usamos três maneiras pra representar os elementos de um conjunto.
1. Quando um conjunto é dado pela enumeração de seus elementos. (Mesmo
quando possui infinitivos elementos), indicamo-lo escrevendo seus elementos
entre chaves e separados por vírgulas.
EXEMPLO:
Conjunto de vogais: { a, e, i, o, u }
2. Podemos também representar um conjunto enunciando uma propriedade
comum aos seus elementos:
A = {x | x possui tal propriedade} = {x | x é vogal}
3. Um terceiro modo é representar seus elementos por pontos dentro de uma
linha fechada que não se entrelaça.
Conjunto Unitário
É aquele que tem um só elemento.
Ex.: a) { 1 }
b) { 20 }
c) { x | x é mês com inicial f }
Conjunto Vazio
Chamamos de conjunto vazio aquele que não possui elemento. Indicamos conjunto vazio
pelo símbolo Ø ou por um par de chaves sem elementos entre elas: { }.
Ex.: A = { x / x + 1 = x }. Portanto, A = Ø ou A = { }, pois não existe número que somado
com 1 resulte ele mesmo.
2
Conjunto Universo
É o maior conjunto que estamos trabalhando, dele retiramos os conjuntos que iremos
necessitar.
Ex.: a) O conjunto de meninas da sala de aula.
b) O conjunto das meninas da cidade
- O conjunto universo é a sala de aula em a) e a cidade em b).
Relação de Pertinência
Relaciona elemento com conjunto.
Utilizam-se os símbolos:
 = pertence
 = não pertence
Ex.: a) a  {a, e, i, o, u}
Ex.: b) d  {a, e, i, o, u}
Relação de Inclusão
Relaciona conjunto com conjunto.
Utilizam-se os símbolos:
 = está contido
 = não está contido
 = contém
= não contém
a) { a }  {a, b, c}
b) { b }  {a, c, d}
c) { vogais do alfabeto }  { a }
Subconjuntos
Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um conjunto B, dizse então que A é um subconjunto de B, ou seja:
A  B (A está contido em B) ou A  B (A não está contido em B).
Obs.: A  A e   A.
Conjunto das Partes
O conjunto das partes de A representado por p ( A ) é o conjunto formado por todos os
subconjuntos de A, inclusive o  e o próprio A.
Obs.: O  e o conjunto A, são chamados partes IMPRÓPRIAS:
a) Se A = { m, p }, então
p(A) = {  , {m}, {b}, {m, b} }
b) Se M = { 1, 2, 3 }, então p(M) = {  . {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2,3}, {1, 2, 3}}
n
IMPORTANTE: Se o conjunto A possui n elementos, então o conjunto A conterá “ 2 ”
subconjuntos ou partes.
Nº. de elementos de p(A) = n (p (A)) = 2n (A)
3
Conjuntos Iguais
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento A for elemento de B e todo
elemento de B for elemento de A.
A = B  ( x ; x  A  X  B)
Ex.: a) {1, 5, 7, 9} = {9, 7, 5, 1}
b) {2, 4, 2, 2} = {2, 4}
Operações com Conjuntos
REUNIÃO (OU UNIÃO) DE CONJUNTOS – A  B
Dados conjuntos A e B, chama-se conjunto união (ou reunião) de A e B ao conjunto C dos
elementos que pertencem a A ou a B.
C = A  B = { x / x  A ou x  B}
Exemplos:
a) {1. 2}  {3, 4} = {1, 2, 3, 4}
b) {1, 2, 3}  {3, 2, 5} = {1, 2, 3, 5}
c) {1, 2, 3}   = {1, 2, 3}
d) {1, 2}  {4, 6}  {3, 4} = {1, 2, 3, 4, 6}
Em diagrama: A  B
Interseção de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se de interseção de A e B ao conjunto C formado por
elementos que pertençam a A e B simultaneamente.
Simbolicamente: C = A  B lê-se: “A inter B”
C = A  B = { x / x A e x B }
Exemplos:
a) {1, 2, 3}  {2, 3, 4} = {2, 3}
b) {a, b, c, d}  {a} = {a}
c) {2, 4, 6}  {2, 4, 6} = {2, 4, 6}
d) {1, 3, 5}  {2, 4, 6}  {2, 4, 6} = { }
4
Em diagrama: A  B
Número de elementos de um conjunto
Dado um conjunto A, representa-se o número de elementos de A por n(a).
Então para a união, podemos escrever:
n (A  B) = n (A) + n (B) – n (A  B)
Diferença de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre dois conjuntos A e B (nesta ordem)
ao conjunto formados pelos elementos que pertençam a A e não pertençam a B.
Simbolicamente: A – B = {x / x  A e x  B}
b) {2, 4} – {2, 4, 6} = { }
c) { } – {2, 4} = { }
d) {2, 4} – { } = {2, 4}
a) A = {a, b, f}
B = {b, c, d, e}
A – B = {a, f}
Em diagrama: A – B
Diferença Complementar:
Dados dois conjuntos A e B, com a condição de B está contido em A, chama-se
complementar de B em relação a A ao conjunto A – B e escrevemos:
C AB = A – B se B  A.
Obs.: O complementar de um conjunto A qualquer em relação a U pode ser representado
por A’, ou:
A = A’ =
Cu A = U – A
5
Diferença Simétrica (  )
Chama-se diferença simétrica entre dois conjuntos, A e B, e representa-se A  B, o
conjunto formado pelos elementos não comuns a A e B, isto é:
A  B = (A – B)  (B – A)
A  B = (A  B) – (A  B)
ou
EXERCÍCIOS:
1) Dado um conjunto A = { 0; 1; 2; {3} }, verifique a veracidade das afirmações:
) 0 A
) 1A
) {3}  A
) {3}  A
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
f) (
g) (
h) (
) {0; 1}  A
)  A
)  A
) 3 A
GABARITO:
1. V, F, V, F, V, V, F, F
QUESTÕES DE CONCURSOS.
ESAF/2004 – MPU
01. Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes:
futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre:




20 alunos praticam vôlei e basquete;
60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete
21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei;
o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que
praticam só vôlei;
 17 alunos praticam futebol e vôlei;
 45 alunos praticam futebol e basquete, 30, entre os 45, não praticam vôlei.
O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
93
110
103
99
114
02. (ICMS_SP_FCC) Um seminário foi constituído de um ciclo de três conferências: uma
de manhã, outra à tarde e a terceira à noite. Do total de inscritos, 144 compareceram
6
de manhã, 168 à tarde e 180 à noite. Dentre os que compareceram de manhã, 54 não
voltaram mais para o seminário, 16 compareceram às três conferências e 22
compareceram também à tarde, mas não compareceram à noite. Sabe-se também
que 8 pessoas compareceram à tarde e à noite, mas não de manhã. Constatou-se que
o número de ausentes no seminário foi de um oitavo do total de inscritos.
Nessas condições, é verdade que
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
54 pessoas inscritas não compareceram ao seminário.
o número de inscritos no seminário foi menor que 420.
387 pessoas compareceram a pelo menos uma das conferências.
282 pessoas compareceram a somente uma das conferências.
108 pessoas compareceram a pelo menos duas conferências.
03. (ICMS_SP_FCC) Numa sala de 30 alunos, 17 foram aprovados em Matemática, 10
em História, 9 em Desenho, 7 em Matemática e em História, 5 em Matemática e
Desenho, 3 em História e Desenho e 2 em Matemática, História e Desenho. Sejam:
 v o número de aprovados em pelo menos uma das três disciplinas;
 w o número de aprovados em pelo menos duas das três disciplinas;
 x o número de aprovados em uma e uma só das três disciplinas;
 y o número de aprovados em duas e somente duas das três disciplinas;
 z o número dos que não foram aprovados em qualquer uma das três disciplinas.
Os valores de v, w ,x, y, z são, respectivamente,
(A) 30, 17, 9, 7, 2
(B) 30, 12, 23, 3, 2
(C) 23, 12, 11, 9, 7
(D) 23, 11, 12, 9, 7
(E) 23, 11, 9, 7, 2
LÓGICA PROPOSICIONAL
Proposição Lógica – Sentença lógica:
São afirmativas lógicas com sentido completo que pode assumir um valor lógico (V ou F).
Pode assumir apenas um dos valores lógicos.
Normalmente são indicados por letras minúsculas do alfabeto.
Ex.: p, q, r, s, t, etc.
7
Negação ~p ou  p
~p: não p
não é verdade que...
é falso que...
não é o caso...
não se dá que...
Tabela verdade ou tabela de verdade
p
V
V
F
F
pq
V
F
F
F
q
V
F
V
F
Proposição Composta
São ligados através de conectivos ou condicionais:
Conectivos:
a) conjunção “” = “e”
pq
p  q: p e q,
p, mas q,
p, embora q,
tanto p como q,
não só p, mas também q,
p, apesar de q.
Teoria dos conjuntos
b) disjunção “” “ou” pelo menos uma for verdadeira. (ou inclusivo)
Teoria dos conjuntos
pq
p
V
V
F
F
p  q: p ou q,
p ou q ou ambos,
p e/ou q (nos documentos legais).
.
p  q, p  q,
p  q (exclusiva, apenas uma é verdadeira), ou p ou q
Teoria dos conjuntos
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pq
F
V
V
F
8
q
V
F
V
F
pq
V
V
V
F
Ex.:
Quando você ligou, eu estava no trabalho ou no mercado
Canto ou assovio.
Exercícios:
Passe para a linguagem escrita as preposições abaixo
p = eu estudo
q = vou passar
a) p q
b) p  q
CONDICIONAIS
Condicional (simples)
p  q: se p então q,
p implica q,
p é suficiente e para q,
q é necessário para p.
pA
qB
c) ~p  ~q
d) ~p  ~q
p  q: se p, então q,
quando p. q,
no caso de p, q,
q, contanto que p,
p é condição suficiente para q,
q é condição necessária para p,
q, se p,
q, quando p,
q, no caso de p,
p somente quando q,
p, só se q,
p só no caso de q,
p implica q.
Teoria dos conjuntos
OBS: a preposição só será falsa quando p for verdade e q falso.
BICONDICIONAL
Teoria dos conjuntos
9
p se e somente se q
p somente q
pq

(p  q)  (q  p)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pq
V
F
F
V
EXERCÍCIOS :
1) Faça a negação:
a) (~p)
e) (p  q)
b) (p  q)
c) (p  q)
d) (p  q)
2) (ICMS_SP_FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica
lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo.
V. Escreva uma poesia.
A frase que não possui essa característica comum é a
(A) I.
(B) II.
(C) III.
(D)) IV.
(E) V.
3) (ICMS_SP_FCC) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no concurso”.
Nessa proposição, o conectivo lógico é
(A) disjunção inclusiva.
(B)) conjunção.
(C) disjunção exclusiva.
(D) condicional.
(E) bicondicional.
4) (ICMS_SP_FCC) Considere as seguintes frases:
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
II. (x + y)/5 é um número inteiro.
III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.
É verdade que APENAS
10
(A)) I e II são sentenças abertas.
(B) I e III são sentenças abertas.
(C) II e III são sentenças abertas.
(D) I é uma sentença aberta.
(E) II é uma sentença aberta.
GABARITO:
1) a) p b) ~p  ~q
2) D
3) B
c) ~p  ~q d) p ~q
e) p  q
4) A
11
RELAÇÕES LÓGICAS
Implicação: p  q, hipótese  Tese,
p implica q
, h  T.
p  q () a relação é verdadeira quando o condicional simples for verdadeiro.
Equivalência: p  q, (p é equivalente a q), p  q ()
Tautologia = Proposição logicamente verdadeira.
Contradição = Proposição logicamente falsa.
Contingência = A proposição não é logicamente verdadeira nem falsa.
Verifique pela tabela:
(p  q) = (~p  q) (V)
(p q)  (q  p) = (p  q) (V)
(p  q) = (q p) (recíproca) (F)
(~p  ~q) = (p  q) (inversa) (F)
(p  q) = (~q  ~p) (Contrapositiva / Contraposta) (V)
~(p  q) = ~p  ~q
~(p  q) = ~p  ~q
Leis de Morgan
Ex.: Qual é a negação de:
Se você comer meu doce então eu fico com raiva é:
Resp.: Você come meu doce e eu não fico com raiva.
Negue: Eu tenho poder somente quando eu tenho dinheiro.
Resp.: Ou eu tenho poder ou eu tenho dinheiro
OBS: Transitividade da implicação: (p q)  (q  r) = p  r.
Ex.: “Se o gato mia, ele está vivo” e “se ele está vivo, ele como”, então “se o gato mia, ele
como”.
“Se o gato mia então ele está vivo” = “Se o gato não está vivo então ele não mia”
(p  q) = (~q  ~p)
1. (ESAF-AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é
logicamente equivalente a dizer que é verdade que:
a)
b)
c)
d)
e)
Pedro não é pobre ou Alberto não é alto;
Pedro não é pobre e Alberto não é alto;
Pedro é pobre ou Alberto não é alto;
Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto;
Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto;
12
01 – A
TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES, CONTINGÊNCIAS:
c) p  p
d) (p  q)  ~p v q
a) p v ~p
b) p  ~p
SENTENÇAS ABERTAS
QUANTIFICAÇÃO LÓGICA
x+1>8
x+5=9
x+1=x+1
x2 – 5x + 6 = 0

FUNÇÃO PROPOSICIONAL
em N
Para ter valor lógico temos que atribuir valor à variável ou usar quantificadores,
Ex.:
a) conjunto verdade = {x / x  N; x + 1 > 8} = {8, 9, 10, ....}  N;
b) {x  N; x + 5 = 9} = { 4 }  N;
c) {x  N; x + 1 = x + 1} = N;
d) {x  N; x2 – 5x + 6 = 0} = { 2,3 }
13

QUANTIFICADORES LÓGICOS
QUANTIFICADOR UNIVERSAL
 (x) = qualquer que seja x
(x)  U; P(x) = 2x – 4 = 2x – 4
( x  U) (P(x)) ou ( x  U), P(x) ou  x  U; P(x)
QUANTIFICADOR EXISTENCIAL “  ”
“  I”
“  I”
“ ”
Existe,
Existe pelo menos um,
Existe um,
Alguns.
Existe um único
Q(x) = x + 5 = 9   I (x); x + 5 = 9 ou I (x), Q(x)
R(x) = x2 – 5x + 6 = 0   (x); x2 – 5x + 6 = 0 ou  (x); R(x).
Faça a negação de:
I) Todos os advogados são honestos,
Existem advogados desonestos ou,
Alguns advogados são desonestos.
II) Existem mulheres bonitas,
Não existem mulheres bonitas,
Todas as mulheres são feias.
 x  ; x2 > 4
 x  ; x2  4
IV) x; x + 1 = 5
 x; x + 1  5 ou  x; x+1 = 5
14
QUESTÕES DE CONCURSOS
1.
a)
b)
c)
d)
e)
Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são, também, altas e magras, mas
nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem
cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis.
Como nenhuma menina de cabelo crespos é alta e magra, e como neste grupo de
amigas não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja
alegre, então:
pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis;
pelo menos uma menina loira tem olhos azuis;
todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras;
todas as meninas de cabelos crespos são alegres;
nenhuma menina alegre é loira.
2.
Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade de colação de grau
estiveram, antes, no casamento de Hélio. Como nem todos os amigos de Hélcio
estiveram no casamento de Hélio, conclui-se que, dos amigos de Hélcio:
a) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e alguns não foram ao
casamento de Hélio;
b) pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não
foram ao casamento de Hélio;
c) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao
casamento de Hélio;
d) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao
casamento de Hélio;
e) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao
casamento de Hélio.
3. Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista
lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:
a)
b)
c)
d)
e)
pelos menos um economista não é médico;
nenhum economista é médico;
nenhum médico é economista;
pelo menos um médico não é economista;
todos os não-médicos são não-economistas.
4. Se é verdade que “Alguns escritores são poetas” e que “Nenhum músico é poeta”,
então, também é necessariamente verdade que:
a)
b)
c)
d)
e)
nenhum músico é escritor;
algum escritor é músico;
algum músico é escritor;
algum escritor não é músico;
nenhum escritor é músico.
15
5. Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é necessariamente
verdadeiro que:
a)
b)
c)
d)
e)
algum A não é G;
algum A é G;
nenhum A é G;
algum G é A;
nenhum G é A.
6. Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro, violão e piano. Todos os
professores de canto são, também, professores de dança, mas nenhum professor de
dança é professor de teatro. Todos os professores de violão são, também, professores
de teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano é professor de dança, e como as
aulas de piano, violão e teatro não têm nenhum professor em comum, então:
a)
b)
c)
d)
e)
nenhum professor de violão é professor de canto;
pelo menos um professor de violão é professor de teatro;
pelo menos um professor de canto é professor de teatro;
todos os professores de piano são professores de canto;
todos os professores de piano são professores de violão.
GABARITO
01 – E
02 – B
03 – A
04 – D
05 – A
06 – A
16
ARGUMENTAÇÃO LÓGICA:
Argumento é uma proposição, oriunda de outras chamadas de premissas para obtermos
uma conclusão.
O argumento é válido se a conjunção das premissas implica a conclusão:
p1p2 p3...
C
OBS: Não podemos classificar um argumento em V ou F, apenas como válido ou não
válido (falácia).
Exemplos:
a) Se chove, Marcos fica resfriado. Marcos não ficou resfriado. Logo, não choveu.
~q 
pq
~q
~p
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
F
V
V
~q
F
V
F
V
~p
~p
F
F
V
V
b) Se um homem é careca, ele é infeliz. Se um homem é infeliz, ele morre jovem. Logo,
se um homem é careca então ele morre jovem.
p  q, q  r
pq
qr
pr
p  r (é válido)
p
V
V
V
V
F
F
F
F
17
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
pq qr
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
F
V
V
V
V
pr
V
F
V
F
V
V
V
V
c) p  q, r  p, ~q logo ~r
d) Se os preços sobem, a inflação é inevitável. Os preços sobem e a economia se
descontrola
Logo, a inflação é inevitável.
EXERCÍCIOS
1) Se bebo demasiado me embriago, se me embriago, então acabo dormindo. Logo, se
bebo demasiado, então acabo dormindo.
2) João ou Pedro estiveram aqui. Se fosse João, o quadro-negro estava cheio de poesias.
Mas como isso não aconteceu foi Pedro quem esteve aqui.
3) Se o professor não se atrasar a aula começará na hora certa. Assim, se os alunos e o
professor não se atrasar, a aula começará na hora certa.
OBS:
4) argumento válido, conclusão falsa:
Se o gelo é preto, então a neve é azul, o gelo é preto. Logo a neve é azul.
5) falácia, conclusão verdadeira:
Se 10 é um número par, então a metade de 10 é ímpar. A metade de 10 é ímpar. Logo 10
e um número par.
QUESTÕES DE CONCURSOS
2. (ESAF-AFC/2002) Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol.
Carmem não é cunhada de Carol. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é
amiga de Carol. Logo:
a)
b)
c)
d)
Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol;
Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem;
Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol;
Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol;
18
e)
Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem.
3. (ESAF-TCU/2002) O rei ir a caça é condição necessária para o duque sair do castelo,
e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar
a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição
necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo:
a)
b)
c)
d)
e)
a duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa;
se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa;
o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa;
o rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim;
o duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.
4. (ESAF-AFC/2002) Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se
Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de
Lógica, então:
a)
b)
c)
d)
e)
se Geografia é difícil, então Lógica é difícil;
Lógica é fácil e Geografia é difícil;
Lógica é fácil e Geografia é fácil;
Lógica é difícil e Geografia é difícil;
Lógica é difícil ou Geografia é fácil.
5. (Fiscal do Trabalho/97) Ou A = B ou B = C, mas não ambos. Se B = D, então A = D.
Ora, B = D, logo:
a)
b)
c)
d)
e)
B diferente de C;
B diferente de A;
C igual a A;
C igual a D;
D diferente de A;
6. (ESAF-MPU/2004) Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é
inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e
Sicrano, são culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. Se Sicrano é
culpado, então Fulano é culpado. Logo:
a)
b)
c)
d)
e)
Fulano é inocente, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente;
Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é inocente;
Fulano é culpado, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente;
Fulano é inocente, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado;
Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado.
7. (ESAF-TCU/1999) Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Ou
Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete, então
Flávia é filha de Fernanda. Ora, nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa.
a)
b)
c)
Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda.
Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice.
Paula não é filha de Paulete e Ana a é filha de Alice.
19
d)
e)
Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda.
Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda.
8. (ESAF-FTN/1996) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu,
Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora,
não há um leão feroz nesta sala. Logo:
a)
b)
c)
d)
e)
Nestor e Júlia disseram a verdade;
Nestor e Lauro mentiram;
Raul e Lauro mentiram;
Raul mentiu ou Lauro disse a verdade;
Raul e Júlia mentiram.
9. (ESAF-MPU/2004) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando
chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos.
Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje:
a)
b)
c)
d)
e)
vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor;
não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove e faz calor;
vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor;
não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove e não faz calor;
vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove e faz calor
GABARITO
01 – B
02 – C
03 – C
04 – A
05 – E
06 – B
07 – B
08 – C
20
CORRELAÇÃO LÓGICA
São questões de raciocínio lógico que envolvem situações de correlacionamento entre os
dados.
Uma importante característica é que para cada situação, a quantidade de dados é sempre
a mesma.
Ex.: três pessoas, três marcas de carros, três cores diferentes, etc.
QUESTÕES DE CONCURSOS
01. Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas.
Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um
baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua
vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim,
a)
b)
c)
d)
e)
Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.
Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano
Norton é baiano e Vasconcelos é paulista.
Norton é carioca e Vasconcelos é paulista.
Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano
02. (ESAF/AFTN/96) Os carros de Artur, Bernardo e César são, necessariamente nesta
ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é
verde, e o outro é azul. O carro de Artur é cinza; o carro de César é o Santana; o carro
de Bernardo não é verde e não é Brasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana
são, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
cinza, verde e azul;
azul, cinza e verde;
azul, verde e cinza;
cinza, azul e verde;
verde, azul e cinza.
03. (ESAF-AFC.2002) Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura,
outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra
se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma
viagem a um país diferente DA Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à frança e
a outra irá à espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino
de cada uma, elas deram as seguintes informações:
a loura: “Não vou à França nem à espanha”;
a morena” “Meu nome não é Elza nem Sara”;
a ruiva: ”Nem eu nem Elza vamos à França”.
O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:
a) a loura é Sara e vai à Espanha;
b) a ruiva é Sara e vai à França:
c) a ruiva é Bete e vai à Espanha;
21
d) a morena é Bete e vai à Espanha;
e) a loura é Elza e vai à Alemanha.
GABARITO
1–B
2–D
3–E
22
CONTRADIÇÃO LÓGICA
As situações que envolvem contradição lógica ou verdade ou mentira, usam o raciocínio
lógico para descobrir as contradições, tentando descobrir quem mente ou fala a verdade.
Vamos treinar:
01. (TCE-GO/FCC 2009/Téc. Controle Externo) - Serena está muito preocupada com sua
amiga Corina, pois descobriu que todas as quartas, quintas e sextas-feiras ela só fala
mentiras e nos demais dias da semana ela fala apenas a verdade. Certo dia em que
foram almoçar juntas, Corina disse a Serena:
− “Ontem foi meu dia de mentir, mas só voltarei a fazê-lo daqui a três dias.“
Com base na afirmação de Corina, tal almoço só pode ter ocorrido em
(A) uma segunda-feira.
(B) uma quarta-feira.
(C) uma sexta-feira.
(D) um sábado.
(E) um domingo.
02. (MRE/FCC 2009/Oficial de Chancelaria) - Questionados sobre a falta ao trabalho no
dia anterior, três funcionários do Ministério das Relações Exteriores prestaram os
seguintes depoimentos:
− Aristeu: “Se Boris faltou, então Celimar compareceu.”
− Boris: “Aristeu compareceu e Celimar faltou.”
− Celimar: “Com certeza eu compareci, mas pelo menos um dos outros dois faltou.”
Admitindo que os três compareceram ao trabalho em tal dia, é correto afirmar que
(A) Aristeu e Boris mentiram.
(B) os três depoimentos foram verdadeiros.
(C) apenas Celimar mentiu.
(D) apenas Aristeu falou a verdade.
(E) apenas Aristeu e Celimar falaram a verdade.
03. Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a
verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência
Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta
e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo
V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde mas Dr. Turing, distraído, não ouve a
resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações:
Beta: “Alfa respondeu que sim”.
Gama: “Beta está mentindo”.
Delta: “Gama está mentindo”.
Épsilon: “Alfa é do tipo M”.
23
Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir
corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a
a)
b)
c)
d)
e)
1.
2.
3.
4.
5.
04. Numa ilha dos mares do sul convivem três raças distintas de ilhéus: os zel(s) só mentem, os
del(s) só falam a verdade e os mel(s) alternadamente falam verdades e mentiras − ou seja, uma
verdade, uma mentira, uma
verdade, uma mentira −, mas não se sabe se começaram falando uma ou outra.
Nos encontramos com três nativos, Sr. A, Sr. B, Sr. C, um de cada uma das raças.
Observe bem o diálogo que travamos com o Sr. C
Nós: − Sr. C, o senhor é da raça zel, del ou mel?
Sr. C: − Eu sou mel. (1a resposta)
Nós: − Sr. C, e o senhor A, de que raça é?
Sr. C: − Ele é zel. (2a resposta)
Nós: − Mas então o Sr. B é del, não é isso, Sr. C?
Sr. C: − Claro, senhor! (3a resposta)
Nessas condições, é verdade que os senhores A, B e C
são, respectivamente,
(A) del, zel, mel.
(B) del, mel, zel.
(C) mel, del, zel.
(D) zel, del, mel.
(E) zel, mel, del.
GABARITO
1–D
2–D
3–B
4-B
24
SEQUÊNCIAS LÓGICAS
Um tipo de teste de raciocínio numérico apresenta uma seqüência numérica, em
que se é pedido o próximo número da seqüência. Neste caso, a relação de
unidade entre os números dados é a chave. Este teste necessita de aprendizagem
anterior de aritmética.
Para determinarmos a lógica de formação de uma seqüência numérica, devemos
observar se:
a) A seqüência é formada por elementos que não podem ser obtidos por
cálculo.
Nesse caso só conheceremos o próximo elemento da seqüência se soubermos
qual é a sua característica, por exemplo, os números Primos. Veja alguns
números Primos.
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
.....
b) A seqüência é formada por elementos que podem ser obtidos por cálculo
ou por uma característica.
Nesse caso incluímos os números pares, os números impares e as potências dos
números naturais.
Números Pares:
0
2
4
6
8
10
.....
O próximo número da seqüência é o 12 = 10 +2, ou 12 por que é o próximo
número par.
Números Ímpares: 1
3
5
7
9
11
.....
O próximo número da seqüência é o 13 = 11 +2, ou 13 por que é o próximo
número ímpar.
Observe que em ambas as seqüencias o acréscimo é sempre constante e
igual a 2.
Potências com expoente 2 dos números naturais.
0 (02)
1 (12)
4 (22)
9(32)
16(42)
25(52)
Os acréscimos são previsíveis, porem não são constantes
1 – 0 = 1;
4 – 1 = 3;
9 – 4 = 5;
16 – 9 = 7; 25 – 16 = 9;
c) A seqüência é formada por elementos que só podem ser obtidos por
cálculo
Nesse caso devemos observar se os elementos estão em ordem crescente,
em ordem decrescente ou se nem é crescente ou decrescente.
Nas seqüencias estritamente crescente ou decrescente, precisamos definir
os acréscimos ou decréscimos.
Nas seqüencias que não apresentam esses comportamentos, uma
estratégia é a de se separar os elementos contínuos, formando varias seqüencias.
Por exemplo, para completarmos os espaços da seqüência abaixo:
20
23
22
25
24
27
....
....
Vamos separar a seqüência da seguinte forma:
S1
20
22
24
.......
S2
23
25
27
.....
A seqüência (S2) é formada pelo numero pares iniciados no 20, logo a seqüência
será 20, 22, 24 então o primeiro espaço será preenchido pelo 26.
25
A seqüência (S3) é formada pelo numero impares iniciados no 23, logo a
seqüência será: 23, 25,27 então o segundo espaço será preenchido pelo 29.
Uma mesma seqüência poderá ter várias interpretações, como esse nossos
exemplo, pois poderíamos pensar da seguinte forma: 20 + 3 = 23, 23 – 1 = 22, 22
+ 3 = 25, 25 – 1 = 24, 24 + 3 = 27
Então os próximos seriam: 27 – 1 = 26, 26 + 3 = 29.
d) A seqüência é formada por elementos que com aparência de tabuada
Nesse caso sugerimos, escrever a seqüência na forma de tabuada, para
facilitar a visualização.
Por exemplo, a seqüência 3, 9, 18, 30, ...., poderá ser reescrita da forma:
3 x 1, 3 x 3, 3 x 6, 3 x 10, ....
Exercícios
1 16 25 64 ....
; ; ; ;
4 9 36 49 ....
01. (BACEN_94)
100
100
99
81
82
a) 90
b) 100
c) 72
d) 72
e) 81
02. (BACEN_98) O próximo termo da sucessão 1, 3, 6, 8, 11, 13, 16,.. é
a) 18 b) 19 c) 22 d) 23 e) 25
03 (ICMS_SP_97_VUNESP) Continuando a seqüência 47, 42, 37, 33, 29, 26,...,
temos
a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25
04. (ICMS_SP_97) Continuando a seqüência 4, 10, 28, 82, ..., temos
a) 236 b) 244 c) 246 d) 254 e) 256
05. Assinale a alternativa que substitui a letra x.
(A) 29
(B) 7
(C) 6
(D) 5
(E) 3
Dominós
06) As pedras de dominó mostradas abaixo foram dispostas, sucessivamente e no
sentido horário, de modo que os pontos marcados obedeçam a um determinado
critério.
26
Com base nesse critério, a pedra de dominó que completa corretamente a
sucessão é
07) Para formar a seguinte seqüência de pedras de dominó, considere que elas
foram dispostas sucessivamente e da esquerda para a direita, seguindo um
determinado critério.
Segundo esse critério, a pedra que deve corresponder àquela que tem os pontos
de interrogação é:
08) As pedras de dominó abaixo foram, sucessivamente, colocadas da esquerda
para a direita, de modo que tanto a sua parte superior como a inferior seguem
determinados padrões.
A pedra de dominó que substitui a que tem os pontos de interrogação é:
27
SEQÜÊNCIAS ALFABÉTICAS
1.1. Ordenação dos elementos de uma seqüência alfabética
Introdução: Situações nas quais os elementos da seqüência são letras do
alfabeto.
Estratégia: Associar um número a cada letra do alfabeto, e verificar a variação
numérica, para identificar a variação alfabética. Podemos dividir as letras em dois
grupos: consoantes e vogais.
Cuidados
1º. Verificar se o alfabeto a ser usado é o oficial com 26 letras, sem k, w e y ou se
é o alfabeto incompleto com 23 letras, sem as letras k, w e y.
Para alguns exercícios que envolvem seqüências alfabéticas, relacionando a letra
com a posição que ela ocupa, poderá facilitar o entendimento da Lei de Formação
usada
Alfabeto oficial com 23 letras
a
b
c
d
e
F
1
2
3
4
5
6
g
h
i
j
l
M
7
8
9
10
11
12
n
o
p
q
r
S
13
14
15
16
17
18
t
u
v
x
z
19
20
21
22
23
Exemplo
Complete a série:
B
D
G
L
Q
.....
a) R b) T c) V d) X e) Z
Exercícios de Fixação
09 Continuando a seqüência de letras F, N, G, M, H .... temos, respectivamente:
a) O, P.
b) I, O.
c) E, P.
d) L, I.
e) D, L.
10 (TRF_RJ_07_FCC). Considere que a seqüência (C, E, G, F, H, J, I, L, N, M, O,
Q, ...) foi formada a partir de certo critério. Se o alfabeto usado é o oficial, que tem
23 letras, então, de acordo com esse critério, a próxima letra dessa seqüência
deve ser
(A) P
(B) R
(C) S
(D) T
(E) U
Considerando que a ordem alfabética é a oficial e exclui as letras K, W e Y, então,
se as letras foram dispostas obedecendo a determinado critério, a letra que
deveria ocupar o lugar do ponto de interrogação é:
11) (TRT)
a) J;
b) L;
c) M;
d) N;
28
e) O.
12) (TCE-PB)
a) T;
d) P;
b) Q;
e) R.
c) S; 13.
a) 19T
b) 20U
c) 21V
d) 22Xe) 23Z
14. Considere a seqüência de retângulos com os respectivos números e letras,
obedecendo a uma lei de formação.
Considerando as letras do alfabeto, excluindo-se K , W e Y, a alternativa que
corresponde ao sexto retângulo é
15. Segundo um determinado critério, foi construída a sucessão seguinte em que
cada termo é composto de uma letra seguida de um número: A1 - C2 - F3 - J4 ?5
Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letras K, Y e W;
então, de acordo com esse critério, a letra que deverá substituir o ponto de
interrogação é:
a) M;
b) N;
c) O;
d) P;
e) Q.
16. (TRF) Assinale a alternativa que completa a série seguinte: C3, 6G, L10,...
a) C4.
b) 13M.
c) 9I.
d)15R.
e) 6Y.
Gabarito:
01.B 02.A 03.C 04.B 05.D 06.E 07.A 08.C
09.D 10.A 11.E 12C 13ª. 14.B 15.D 16.D
29
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS P.A. E PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS P.G.
Progressão Aritmética ou Seqüência Aritmética
Uma sucessão de números (a1, a2, a3, ..., an – 1, an) forma uma Progressão Aritmética
(P.A.), se cada um de seus termos, a partir do 2º, for igual ao anterior somado com uma
constante denominada de razão da P.A.
Exemplos:
1)
(5, 8, 11, 14, ... ) é uma P.A. crescente, cuja razão r = 11 – 8 = 3
1 3

1 1
... é uma P.A. crescente, cuja razão r = 1 – 
 ,1, ,2,
2 2
2 2

( – 8, – 5, – 2, 1, 4, ...) é uma P.A. crescente, cuja razão r = 4 – 1 = 3
( 3, 3, 3, ... ) é uma P.A. constante, cuja razão r = 3 – 3 = 0
( 12, 7, 2, – 3, – 8, – 13, ... ) é uma P.A. decrescente, onde r = 2 – 7 = – 5
Termo Geral da P.A.
A fórmula que nos permite calcular um termo qualquer de uma P.A. é:
an = a1 + ( n – 1 ) r
onde: an = termo geral (ou termo de ordem n)
a1 = primeiro termo
n = quantidade de termos
r = razão da P.A.
OBS.: Em sala veremos como calcular sem uso de fórmulas.
Soma dos termos da P.A.
A fórmula que nos permite calcular a soma dos termos de uma P.A. finita é:
Sn =
a1an xn
2
Por exemplo, a soma dos termos da P.A. (3, 7, 11, 15, 19, 23) é:
A1 = 3 ( 1º termo )
An = (último termo)
S6 =
N=6
30
3
6

23
x26
6
x156

 
78
2
2
2
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA OU SEQÜÊNCIA GEOMÉTRICA
Uma seqüência de termos não nulos (a1, a2, a3, ..., an – 1, an) forma uma Progressão
Geométrica (P.G.), se o quociente de cada um de seus termos, a partir do 2º, pelo seu
antecessor, for sempre o mesmo. Este quociente é chamado a razão da P.G. e é indicado
por q
Exemplos:
12
48
192
 
4

razão
da
P.G.
(3, 12, 48, 192, ...) é uma P.G., pois: 3
12
48
643216
1
   é a razão
(128, 64, 32, 16, ...) é uma P.G., pois: 128
64322
5
5
(5, 5, – 5, 5, 5, ...) é uma P.G., pois: 5 5 1é a razão
1 1
1
 1 1 
2
 4  é a razão
 1, , ,... é uma P.G., pois:
1
2
4
1
2


2
Fórmula do termo geral
an = a1 x qn – 1
onde: an = termo geral (ou termo de ordem n)
a1 = 1º termo
q = razão da P.G.
n = quantidade de termos
Soma dos termos de uma P.G. finita
A fórmula que nos permite calcular a soma dos termos de uma P.G. com um número
finito de termos é:
Sn

a1 x qn 1
q 1

(I)
A partir desta fórmula podemos derivar uma outra que nos dá a soma dos termos
em função de a1, an e q. Essa fórmula é a seguinte:
Sn
an xq a1
q1
OBS.: Em sala veremos como calcular sem a fórmula
31
( II )
Soma dos termos de uma P.G. decrescente e infinita

1 1 


10,
1,,
,...

Seja, por exemplo, a P.G. 100,
10
100
A fórmula que nos permite achar o limite para o qual tende a soma das infinitas
parcelas de uma P.G. decrescente e ilimitada, tal como a que apresentamos acima é:
a1
Sn = 1  q

1 1 


10,
1,,
,...
obtemos:
Logo, somando os infinitos termos da P.G. 100,
10
100




100
100
10
1000

 
100x

Sn = 
1 9

9 9

1

 1010

Produto dos termos de uma P.G. finita
A fórmula que nos permite calcular o produto dos termos de uma P.G. como um
número conhecido de termos, é:
n

a
2
pn

a
a
a
1
n
1
n
n
EXERCÍCIOS
01. (BACEN/98) A respeito das sucessões A e B, podemos afirmar que
A: – 8, – 6, – 4, ...
B: 17, 14, 11, ...
a)
b)
c)
d)
e)
elas não têm termos iguais.
o 6º termo de A e de B são iguais.
o 10º termo de A e de B são iguais.
elas têm sete termos iguais.
elas têm cinco termos iguais.
02. Numa P.A. o quinto e décimo segundo termos são respectivamente, 10 e 80. O 1º
termo é:
a) 10
32
b)
c)
d)
e)
– 30
– 10
20
30
03. A soma dos 10 primeiros termos da PA ( – 4; – 2; 0; ...) vale:
a)
b)
c)
d)
20
40
30
50
04. (TFC/95) Cinco números estão em progressão geométrica, sabendo-se que o primeiro
é igual a 2 e o último a 32, o valor do quarto número é:
a)
b)
c)
d)
e)
30
28
24
17
16
GABARITO
1.
2.
3.
4.
B
B
D
E
33
PROBABILIDADE
CONCEITOS BÁSICOS
Experimentos aleatórios
Denominam-se experimentos aleatórios os experimentos cujos resultados não podem ser
previstos.
Exemplos:
a) Resultado dos jogos da loteria esportiva.
b) Ao se lançar um dado, qual a face que está voltada para cima.
Espaço amostral
É o conjunto com todas as possibilidades de resultados de um experimento aleatório
Exercício:
Determine os espaços amostrais (S) referentes aos experimentos abaixo citados:
a) Tira-se uma carta de um baralho e anota-se o tipo de carta que saiu. S = (ouro, copas,
paus, espada)
b) Lança-se um dado e anota-se a face voltada para cima: S = [1, 2, 3, 4, 5, 6}
c) Lança-se um dado e uma moeda (considere K = cara e C = coroa).
S = {(k, 1), (k, 2), (k, 3), (k, 4), (k, 5), (k, 6), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4), (c, 5), (c, 6)}
Eventos
Denomina-se evento a qualquer subconjunto do espaço amostral S. Para reconhecer os
diversos
tipos de eventos, vamos considerar uma caixa com 4 bolas, cada uma delas com um
número: 1, 2,
3ou 4.
Evento certo
M: Retirar, da caixa, 4 bolas, sem reposição, uma de cada vez e obter ou 1 ou 2 ou 3 ou
4.
M = {1, 2, 3, 4}
Evento impossível
N: Retirar da caixa uma bola com o número 6. N = Ø
Eventos complementares
Considere um evento A e seu espaço amostral S.
Denomina-se complementar de A em relação a S ao conjunto A, tal que:
a) A  Ā = S
b) A  Ā = Ø
O evento-A pode ser interpretado como a negação de A.
Imagine que A: números pares A = {2, 4}
Então Ā números de S que não são pares Ā = {1, 3}
Para obtermos o evento Ā devemos tomar os elementos de S que não estão em A.
34
Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando A  B = Ø.
Exemplo: A: números pares
AB=Ø
B: números impares

Evento elementar
É formado por um único elemento de um Espaço Amostral.
Exemplo: No lançamento de um dado limpo, obtermos um número par que seja
primo.
Espaço Amostral Equiproválvel
É quando a probabilidade de ocorrência de seus eventos elementares é a mesma.
Probabilidade de um evento
A probabilidade de um evento é calculada pela razão : P( A) 
n( A)
n( S )
onde
P(A) é a probabilidade de ocorrer o evento A.
n(A) é o número de elementos do evento A.
n(S) é o número de elementos do evento S.
Propriedades básicas das probabilidades
1)
A probabilidade de ocorrer o evento A é um número compreendido entre 0 e 1: 0 < P(A)
<1
2)
A probabilidade de ocorrer o evento certo é igual a 1: P(S) = 1
3)
A probabilidade de ocorrer o evento impossível é zero: P(Ǿ) = 0
Exemplos:
1) No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine a probabilidade de
ocorrer:
a) A: número primo
b) B: múltiplos de 3  B = {3, 6}  n(B) = 2 e n(S) = 6
1
2
P(B) = n( B ) =
=
n( S )
6
3
2) Em uma urna há 18 bolas numeradas de 1 a 18. Retirando-se uma bola ao acaso,
qual a probabilidade de se obter um múltiplo de 3 ?
N(S) = 18
A = {3, 6, 9, 18}
n(A) = 4
P(A) =
2
4
=
ou 0,222 = 22,2%
18 9
Soma de probabilidades
Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral S. Da teoria de conjuntos, temos que:
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)
Podemos dividir os dois membros de uma equação por um mesmo
número, obtendo assim uma equação equivalente. Vamos, então, dividir por
35
n(S):
n( A)
n( B ) n( A  B)
n( A  B )
=
+
n(S)
n( S )
n( S )
n( S )
 P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A
 B)
Essa fórmula deve ser usada quando queremos obter a probabilidade de ocorrerem dois
Eventos, sempre separados pela palavra ou. Quando os eventos são separados pela palavra
e calcula-se P(A  B).
Exemplo: Lançando-se um dado qual é a probabilidade de se obter um número par ou
múltiplo de 3.
Vimos que n(S) = 6
1
3
=
6
2
1
2
Evento B: múltiplo de 3  B = {3, 6}  n(B) = 2  P(B) =
=
3
6
Evento A: n° par  A = {2, 4, 6}  n(A) = 3  P(A) =
A  B: n° par e múltiplo de 3  A  B = 6  n(A  B) = 1  P(A  B) =
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
P(A  B) =
1
6
1 1 1 3  2 1 4 2
ou 0,666 = 66,7%
  
 
2 3 6
6
6 3
MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES
Dois eventos são considerados independentes quando a ocorrência de um deles não
Interferir na ocorrência do outro.
Se A e B forem eventos independentes, então a probabilidade de ocorrer A e B é calculada por:
P(A  B) = P(AP x P(B)
Exemplo: Uma urna contem 6 bolas amarelas e 9 bolas brancas. Calcule a probabilidade
de,ao se
Retirar sucessivamente 2 bolas, sem reposição, obtermos a 1a amarela e a 2a branca.
Temos que n(S) = 15
6 2

15 5
9
B: brancas  n(B) = 9  P(B) =
14
A: amarelas  n(A) = 6  P(A) =
A  B: 1a amarela e 2a branca  P(A  B) =
2 9
9
ou 0,257 = 25,7%
x 
5 14 35
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Vai ocorrer uma mudança no Espaço Amostral.
Exemplo:
Em uma urna foram colocadas 10 fichas numeradas de 1 a 10, retirando-se ao
acaso uma dessas fichas:
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a) Qual é a probabilidade do número ser par, sabendo-se que é maior que 7?
b) Qual é a probabilidade do número ser maior que 7, sabendo-se que ele é
impar?
EXERCÍCIOS
1. No lançamento de um dado e de uma moeda, ao mesmo tempo, determine a
probabilidade de se obter cara e um número par.
2. Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20. Qual a probabilidade de se, ao retirar
uma bola, obter um divisor de 20.
3. (UNESP/SP) Lançando-se simultaneamente dois dados não viciados, a probabilidade
de que a soma de suas faces superiores seja 7 ou 9 é:
a)
1
6
b)
4
9
c)
2
11
d)
5
18
e)
3
7
4. De um baralho de 52 cartas extraiu-se uma carta ao acaso. Calcule a probabilidade
dessa carta ser dama ou carta de outros.
Obs.: Num baralho há 13 cartas de cada tipo (ouros, paus, espada e copas). Há,
também, 4 damas, 4 valetes, 4 reis e 4 azes (um de cada tipo).
5. Calcule a probabilidade de se obter cara e um múltiplo de 3 quando se lança uma
moeda e um dado.
6. Em Barueri 60% dos habitantes são homens. Dentre todos os habitantes da cidade, 3%
são canhotos. Determine a probabilidade de um habitante, escolhido ao acaso, ser
mulher e canhota.
Gabarito
1.
0,25 = 25%
5.
1 1 1
x 
2 3 6
ou 0,166...
2.
P(A) =
6
3
ou 0,3 = 30%

20 10
6.
2 3
3
x

 0,012
5 100 100
3.
P(A  B) =
6
4 10
5



36 36 36 18
4.
37
4 13
1 16 4




52 52 52 52 13