Variáveis Aleatórias

Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica
MOQ-13 Probabilidade e Estatística
Profa. Denise Beatriz Ferrari
www.mec.ita.br/∼denise
[email protected]
24/08/2011
Variáveis Aleatórias
Roteiro
Variáveis Aleatórias
Motivação
Problemas no mundo real envolvem quantidades que não possuem valor
fixo ou determinístico:
I
número de bebês que nascem em um determinado hospital por dia
I
I
tempo de chegada de um ônibus na estação
o volume de chuva em SJC em um determinado ano
I
o número de terremotos na Califórnia por mês
I
a produção de trigo em uma certa safra
Variáveis Aleatórias
I
Funções complexas de muitos fatores aleatórios sobre os quais não
temos controle
I
Transformam um espaço amostral qualitativo em quantitativo
Variáveis Aleatórias (Unidimensionais)
Definição
Uma variável aleatória é uma função que associa a cada elemento do
espaço amostral um número real.
Notação:
X (·) : Ω → <
X(s)
s
Ω
<
Probabilidade:
{X (s) = x}
=⇒
P[X (s) = x] = P[X = x]
= p(x)
Variáveis Aleatórias
Exemplos (1)
Componentes eletrônicos fabricados em uma linha de produção são
submetidos a inspeção, sendo classificados como defeituosos ou sem
defeitos.
Temos:
I
I
Espaço amostral: Ω = {D, N} (discreto)
X (D) = 0 e X (N) = 1
Variáveis Aleatórias
Exemplos (1)
Componentes eletrônicos fabricados em uma linha de produção são
submetidos a inspeção, sendo classificados como defeituosos ou sem
defeitos.
Temos:
I
I
Espaço amostral: Ω = {D, N} (discreto)
X (D) = 0 e X (N) = 1
O número de nascimentos de gêmeos é aproximadamente 1 em cada 90.
Seja X a v.a. definida pelo número de nascimentos em um hospital até o
nascimento dos primeiros gêmeos. Sejam G o evento representando o
nascimento de gêmeos e N o nascimento de uma única crianca.
Temos:
I
I
Espaço amostral: Ω = {G , NG , NNG , NNNG , . . .}
X (NNN
| {z. . . N} G ) = i
i−1
Variáveis Aleatórias
Exemplos (2)
Seja X a v.a. definida pelo tempo de espera (em horas) entre dois
motoristas consecutivos que ultrapassam a velocidade de uma rodovia,
detectados por um radar.
Temos:
I
Espaço amostral: Ω = {x ∈ < : x ≥ 0} (contínuo)
Variáveis Aleatórias
Exemplos (2)
Seja X a v.a. definida pelo tempo de espera (em horas) entre dois
motoristas consecutivos que ultrapassam a velocidade de uma rodovia,
detectados por um radar.
Temos:
I
Espaço amostral: Ω = {x ∈ < : x ≥ 0} (contínuo)
Um determinado ônibus chega à estação rodoviária todos os dias entre as
11:00h e 11:30h. Seja X a v.a. definida pelo tempo de chegada do
ônibus.
Temos:
I
Espaço amostral: Ω = {x ∈ < : 11 < x < 11, 5} (contínuo)
Variáveis Aleatórias
Observações:
I
I
I
“Variável” aleatória: nome inadequado
v.a. × Função Probabilidade
Tipos de v.a.’s:
Qualitativas
VA’s
Discretas
Quantitativas
Contínuas
VA’s Discretas
Uma v.a. X é dita discreta se assumir um número finito ou infinito e
enumerável de valores reais distintos x1 , x2 , . . . , xn , . . .
(espaço amostral enumerável: contagem)
Neste caso:
[
[
Ω = {s : X (s) = xn } = {X = xn }
n
n
e
{X = xi } ∩ {X = xj } = ∅,
i 6= j
Portanto, do axioma (iii):
1 = P[Ω] =
X
P[X = xn ]
n
VA’s Contínuas
Uma v.a. X é dita contínua se assumir um número infinito
não-enumerável de valores e a probabilidade de que X assuma
um valor em particular é nula
(espaço amostral não-enumerável: medição)
Neste caso:
P[X = xi ] = 0,
∀i
Função Distribuição de Probabilidade (fdp)
caso discreto
Seja X uma v.a. discreta que assume os valores discretos
x1 , x2 , . . . , xn , . . .
Definimos a fdp de X como sendo a função
fX (·) : < → [0, 1]
P[X = xj ],
fX (x) =
0,
se x = xj ,
se x =
6 xj
j = 1, 2, . . . , n, . . .
Condições
1. fX (xj ) ≥ 0 para j = 1, 2, . . .
2. fX (xj ) = 0 para x 6= xj , j = 1, 2, . . .
P
3.
j fX (xj ) = 1
Nomenclatura alternativa:
função massa, função probabilidade ou função freqüência discreta
Função Distribuição de Probabilidade (fdp)
caso discreto
Exemplo
Um lote de 8 computadores em uma loja contém 3 defeituosos. Um
cliente seleciona ao acaso e compra 2 destes computadores.
Qual a distribuição de probabilidade para o número de computadores
defeituosos comprados?
Solução
Função Distribuição de Probabilidade (fdp)
caso contínuo
Seja X uma v.a. contínua. Definimos a fdp de X como sendo a função
fX (·) : < → [0, ∞) tal que, para quaisquer números a ≤ b
P[a ≤ X ≤ b] =
Z
b
fX (u)du
a
Condições
1. fX (x) ≥ 0, ∀x ∈ <
R∞
2. −∞ fX (x)dx = 1
3. P[X = c] = 0, ∀c ∈ <. Portanto, para quaisquer números a < b:
P[a ≤ X ≤ b] = P[a < X ≤ b] = P[a ≤ X < b] = P[a < X < b]
Nomenclatura alternativa:
função densidade ou função densidade de probabilidade
Função Distribuição de Probabilidade (fdp)
caso contínuo
Exemplo
Suponha que o erro medido na temperatura de reação (◦ C) em um
experimento controlado em laboratório seja uma v.a. contínua cuja fdp é
dada por:
1 2
3 x , −1 < x < 2
fX (x) =
0,
caso contrário
I
Verifique que a condição (2) é válida.
I
Calcule P[0 < X ≤ 1].
Solução
Função Distribuição Acumulada (FDA)
Definição
A FDA de uma v.a. X , representada por FX (·) é a função
FX (·) : < → [0, 1]
FX (x) = P[X ≤ x],
−∞ < x < ∞
Condições
1. FX (·) é monotônica não-decrescente:
FX (x1 ) < FX (x2 ),
x1 < x2
2.
FX (−∞) = lim FX (x) = 0 e FX (+∞) = lim FX (x) = 1
x→−∞
x→+∞
3. FX (·) é contínua pela direita:
FX (x) = lim FX (x + h)
0<h→0
Nomenclatura alternativa: função distribuição
Função Distribuição Acumulada (FDA)
Propriedades
Caso Discreto:
FX (·) pode ser obtida a partir de fX (·) e vice-versa.
(i) Dada fX (·),
FX (x) = P[X ≤ x] =
X
fX (xj )
xj <x
(ii) Dada FX (·),
fX (xj ) = FX (xj ) − lim FX (xj − h)
0<h→0
Função Distribuição Acumulada (FDA)
caso discreto
Exemplo: Computadores defeituosos (continuação)
1. Determine a FDA para a v.a.
X = no. de computadores defeituosos comprados pelo cliente
2. Usando FX (x), verifique que fX (2) = 3/28
Solução
Função Distribuição Acumulada (FDA)
Propriedades
Caso Contínuo:
FX (·) pode ser obtida a partir de fX (·) e vice-versa.
(i) Dada fX (·),
FX (x) = P[X ≤ x] =
Z
x
fX (u)du
−∞
Para cada x, FX (·) corresponde à área debaixo da curva de fX (·) à
esquerda de x.
(ii) Dada FX (·),
fX (x) =
dFX (x)
dx
Função Distribuição Acumulada (FDA)
caso contínuo
Exemplo: Reação química (continuação)
1. Determine a FDA para a v.a.
X = erro na medida da temperatura de reação
2. Usando FX (x), calcule P[0 < X ≤ 1]
Solução
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
Definição
Sejam X1 , X2 , . . . , Xk v.a.’s definidas no mesmo espaço de probabilidades
E = (Ω, A, P[·]).
A coleção X = (X1 , X2 , . . . , Xk ) é chamada v.a. k-dimensional.
As v.a.’s X1 , X2 , . . . , Xk são chamadas v.a.’s conjuntas.
(Daqui em diante, consideraremos apenas o caso bidimensional).
Função Distribuição de Probabilidade (fdp)
caso discreto
A v.a. bidimensional discreta Z = (X , Y ) é dita v.a. conjunta discreta se
assumir apenas os valores de um conjunto enumerável de pontos (x, y )
no espaço <2 .
Definimos a fdp discreta de (X , Y ) como sendo a função
fX ,Y (x, y ) = P[X = x, Y = y ],
para qualquer valor (x, y ) que o (X , Y ) possa assumir.
Condições
1. fX ,Y (x, y ) ≥ 0 para todo (x, y )
P P
2.
X
Y fX ,Y (x, y ) = 1
3. Para qualquer subconjunto A do plano xy
X
P[(X , Y ) ∈ A] =
fX ,Y (x, y )
(x,y )∈A
Função Distribuição de Probabilidade (fdp)
caso discreto
Exemplo
Duas canetas esferográficas são escolhidas aleatoriamente de uma caixa
que contém 3 canetas azuis, 2 canetas vermelhas e 3 canetas verdes.
Seja X a v.a. que representa o número de canetas azuis e Y a v.a. que
representa o número de canetas vermelhas selecionadas. Determine:
I
A fdp conjunta de X e Y
I
P[(X , Y ) ∈ A], em que A é a região definida por {(x, y )|x + y ≤ 1}
Solução
Função Distribuição de Probabilidade (fdp)
caso contínuo
A v.a. bidimensional discreta Z = (X , Y ) é dita v.a. conjunta contínua
se existe uma função fX ,Y (·, ·) tal que
Z y Z x
FX ,Y (x, y ) =
fX ,Y (u, v )dudv
−∞
−∞
para todo (x, y ) no plano real.
Condições
1. fX ,Y (x, y ) ≥ 0 para todo (x, y )
R∞ R∞
2. −∞ −∞ fX ,Y (x, y )dxdy = 1
3. Para qualquer região A do plano xy
ZZ
P[(X , Y ) ∈ A] =
fX ,Y (x, y )dxdy
A
Função Distribuição de Probabilidade (fdp)
caso contínuo
Exemplo
Um fabricante de bombons produz caixas de chocolates recheados com
creme, caramelo e nozes e cobertura de chocolate amargo ou chocolate
ao leite. Para uma certa caixa escolhida ao acaso, sejam X e Y ,
respectivamente, as proporções de chocolate ao leite e amargo com
recheio de creme e suponha que a fdp conjunta correspondente seja dada
por
2
0≤y ≤1
5 (2x + 3y ), 0 ≤ x ≤ 1,
fX ,Y (x, y ) =
0,
c.c
I
Verifique se a condição (2) é válida
I
Determine P[(X , Y ) ∈ A], em que
A = {(x, y ) | 0 < x < 1/2, 1/4 < y < 1/2}
Solução
Função Distribuição Acumulada (FDA)
Definição
A FDA conjunta de uma v.a. bidimensional Z = (X , Y ), representada
por FX ,Y (·, ·) é a função FX ,Y (·, ·) : <2 → [0, 1], tal que
FX ,Y (x, y ) = P[X ≤ x, Y ≤ y ],
∀(x, y )
Função Distribuição Acumulada (FDA)
Definição
Condições (análogas ao caso unidimensional)
1. FX (·) é monotônica não-decrescente:
P[x1 < X ≤ x2 ; y1 < Y ≤ y2 ] =
FX ,Y (x2 , y2 ) − FX ,Y (x2 , y1 ) − FX ,Y (x1 , y2 ) + FX ,Y (x1 , y1 ) ≥ 0,
2.
∀x1 ≤ x2 ; y1 ≤ y2
FX ,Y (−∞, y ) = lim FX ,Y (x, y ) = 0,
x→−∞
∀y
FX ,Y (x, −∞) = lim FX ,Y (x, y ) = 0,
∀x
y →−∞
FX ,Y (∞, ∞) = lim FX ,Y (x, y ) = 1
x,y →∞
3. FX ,Y (x, y ) é contínua em cada argumento:
FX ,Y (x, y ) = lim FX ,Y (x + h, y ) = lim FX ,Y (x, y + h)
0<h→0
0<h→0
Função Distribuição de Probabilidade (fdp) Marginal
Seja Z = (X , Y ) uma v.a. conjunta.
As distribuições marginais de X e Y são dadas por
1. Caso discreto
fX (x) =
X
fX ,Y (x, y ) e fY (y ) =
y
2. Caso contínuo
Z
fX (x) =
−∞
fX ,Y (x, y )
x
∞
fX ,Y (x, y )dy
X
e fY (y ) =
Z
∞
fX ,Y (x, y )dx
−∞
Função Distribuição de Probabilidade (fdp) Marginal
Exemplos
Determine as fdp’s marginais para os exemplos anteriores.
Verifique que as fdp’s marginais são, de fato, fdp’s.
Solução
Função Distribuição de Probabilidade (fdp) Condicional
Seja Z = (X , Y ) uma v.a. conjunta com fdp conjunta fX ,Y (·, ·).
As distribuições condicionais de X |Y = y e Y |X = x, representadas
respectivamente, por fY |X (·|x) e fX |Y (·|y ), são dadas por:
fX ,Y (x, y )
,
fX (x)
fX ,Y (x, y )
fX |Y (x|y ) =
,
fY (y )
fY |X (y |x) =
com fX (x) > 0
com fY (y ) > 0
1. Caso discreto
P[a < X < b|Y = y ] =
X
fX |Y (x|y )
a<x<b
2. Caso contínuo
Z
P[a < X < b|Y = y ] =
b
fX |Y (x|y )dx
a
Função Distribuição de Probabilidade (fdp) Condicional
Exemplos
1. Caso discreto:
No exemplo das canetas, determine a distribuição condicional de X ,
dado Y = 1 e a empregue para calcular P[X = 0|Y = 1].
2. Caso contínuo:
A fdp conjunta para as v.a.’s (X , Y ), em que X = variação unitária
de temperatura e Y = proporção de variação do espectro produzido
por uma determinada partícula atômica, é dada por
10xy 2 ,
0<x <y <1
fX ,Y (x, y ) =
0,
c.c.
I
I
Determine as fdp’s marginais fX (x) e fY (y ) e a fdp condicional
fY |X (y |x)
Qual a probabilidade de que o espectro varie mais que a metade do
total de observações, dado que a temperatura sofreu um acréscimo
de 0,25 unidade.
Solução
Independência Estatística
Sejam X e Y duas v.a.’s (contínuas ou discretas) com fdp conjunta
fX ,Y (·, ·) e distribuições marginais fX (x) e fY (y ).
As v.a.’s X e Y são ditas estatisticamente independentes se, e somente
se,
fX ,Y (x, y ) = fX (x)fY (y ), ∀(x, y )
(Demonstração)
Independência Estatística para v.a.’s discretas
É possível que o produto das fdp’s marginais seja igual à fdp conjunta
para algumas (mas não todas as) combinações de (x, y ). Portanto, se
existir algum ponto (x, y ) para o qual fX ,Y (x, y ) é definida e tal que
fX ,Y (x, y ) 6= fX (x)fY (y ), as v.a.’s discretas X e Y não são
estatisticamente independentes.
Independência Estatística
Exemplos
1. Caso discreto:
No exemplo das canetas, mostre que as v.a.’s X e Y não são
estatisticamente independentes.
2. Caso contínuo:
Verifique se as v.a.’s X e Y cuja fdp conjunta é dada por
x
(1 + 3y 2 ),
0 < x < 2, 0 < y < 1
4
fX ,Y (x, y ) =
0,
c.c.
são estatisticamente independentes.
Solução