Os conjuntos numéricos 1ª U.L

NOME: ______________________________________________ TURMA: ___________
SANTO ANDRÉ, ____________ DE ____________________________ DE __________
EXERCICIOS COMPLEMENTARES – OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos números naturais
-Representado pela letra N, este conjunto abrange todos os números inteiros
positivos, incluindo o zero.
N = {0,1,2,3,4,5...}
-N* representa o conjunto sem o zero
- É um conjunto infinito
Conjunto dos números inteiros
- Representado pela letra Z, este conjunto é formado por todos os números que
pertencem ao conjunto dos naturais mais seus opostos negativos
Z = { ..., -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4...}
- Z+ = inteiros positivos
- Z- = inteiros negativos
- Z+* = inteiros positivos e não nulos (diferentes de zero)
- Z-* = inteiros negativos e não nulos (diferentes de zero)
Conjunto dos números racionais
- Representado pela letra Q, este conjunto engloba os números inteiros (Z),
números decimais finitos e os decimais infinitos periódicos (dízimas periódicas)
A TEORIA DOS CONJUNTOS
Quando você agrupa objetos com uma mesma característica, você organiza um
conjunto. Por exemplo, os alunos de sua classe formam um conjunto.
Um conjunto é considerado bem definido quando se pode dizer se cada objeto
pertence ou não a ele. Tais objetos são denominados elementos.
O fato de um objeto g ser elemento de M permite que se escreva:
g ∈ M (lê-se: g pertence a M ou g é elemento de M)
Se g não pertence a M escreve-se:
g
M (lê-se g não pertence a M ou g não é elemento de M)
Se para dois conjuntos N e M, cada elemento de M é também elemento de M,
dizemos que N é subconjunto de M ou que N está contido em M
N ⊂ M (lê-se N está contido em M ou N é subconjunto de M)
Por isso, pode-se dizer que M contém N ou que M ⊃ N (lê-se : M contém N)
Já se existir pelo menos um elemento de um conjunto P qualquer que não
pertence ao conjunto M, dizemos que:
P ⊄ M (lê-se: P não está contido em M ou P não é subconjunto de M)
Sempre que não houver elementos em um conjunto este é denominado conjunto
vazio. Por mais estranho que possa parecer, o vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
Por exemplo: W = {1,2,3}, seus subconjuntos são: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} e
{}
Representação de um conjunto
1. Enumeração dos elementos: S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
2. Diagrama:
2
1
4
5
3
6
7
9
8
0
3. Linguagem simbólica: S = { x ∈ N / x < 10} (Lê-se: x pertence ao conjunto dos números
naturais, tal que x seja um número menor que 10)
Dízima Periódica
A divisão entre dois números inteiros pode ser um decimal exato ou infinito. Esse
decimal infinito tem uma característica interessante: há um algarismo ou grupo de
algarismos que se repete por um período. Para transformar uma dízima periódica em
fração procedemos da seguinte maneira:
- Fração geratriz de dízima periódica simples
0,2222...
Período 2
Coloca-se o período no numerador da fração e para cada algarismo dele coloca-se um
algarismo 9 no denominador.
0,222... =
2
9
0,3131... =
Período 31
(1 algarismo)
31
99
(2 algarismos)
1,555...
Período 5 (1 algarismo)
Nesse caso, temos uma dízima simples e a parte inteira diferente de zero. Então
separamos a parte inteira da decimal.
1,555... = 1 + 0,555 = 1 +
5
=
9
9+5
9
=
14
9
- Fração geratriz de dízimas periódicas compostas
Aqui a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda coloca-se
um algarismo 9 no denominador. Mas agora, para cada algarismo do antiperíodo, colocase um zero, também no denominador.
Para o numerador faz a seguinte conta:
Parte inteira com antiperíodo e período – parte inteira com antiperíodo
Assim:
0, 27777...
Período 7
Antiperíodo: 2
Parte inteira com
antiperíodo e
período
0,2777 =
Devido ao 7 do
périodo
Parte inteira
com antiperíodo
27−2
90
=
25
90
Devido ao 2 do
antiperíodo
Dá certo pois:
- Chama-se a fração geratriz de x
- Para encontrar o valor de x encontram-se múltiplos dele com apenas o período
na parte decimal.
x = 0,2777..
10 x = 2,7777
100 x = 27,7777
E subtraem-se as duas igualdades:
100x – 10x = 27,7777 – 2,7777
90x = 25
25
x=
90
Exercícios Extras
1) Dado o conjunto B = {0,3,6,9,12,15,18...} e o subconjunto C = {24,27}
complete com ∈, ∉, ⊄, ⊃, ⊂.
a) 12 ___ B
b) 14 ___ B
c) C ___ B
d) B ___ C
2) Enumere os elementos dos conjuntos:
a) {x ∈ N / -5 < x < 5}
b) {y ∈ Z/ y < 1}
c) {a ∈ N/ a < 0}
d) {w ∈ Z/ w ≥ -3}
3) Escreva as frações na forma de números decimais, classificando-os em
decimal exato, dízima periódica simples ou dízima periódica composta. No
caso das dízimas, destaque o período e o antiperíodo, se ela for composta:
a)
5
=
13
d)
95
=
11
b)
9
=
5
e)
13
=
7
c)
1
3
=
4) Encontre a fração geratriz de cada dízima periódica:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2,0909...
0,5727272...
1,4373737...
0,666...
1,333...
6,0666...
0,1414...
h)
i)
j)
k)
12,787878...
3,07676...
0,1232323...
4,77777...
5) Reescreva os conjuntos abaixo utilizando a linguagem simbólica:
a)
b)
c)
d)
A = {-2,-1,1,2,3}
K: conjuntos dos números naturais menos que 1.
J: conjunto do números inteiros compreendidos entra 0,4 e 0,5.
B: conjunto dos números inteiros compreendidos entre -4 (inclusive) e 3
(inclusive).
e) Z: conjunto dos números racionais maiores ou iguais a 0,22.
6) Complete utilizando o símbolo adequado:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
-5 ___ N
16 ___ Z
0,8 ___Z
0 ____ Q*
N ____ Q
Z ____ N
Sendo A = {0,2,4,6,8...} e B = {1,3,5,7...} podemos dizer que A ____B.