A PARÁBOLA REVISITADA Sergio Alves IME – USP INTRODUÇÃO

A PARÁBOLA REVISITADA
Sergio Alves
IME – USP
INTRODUÇÃO
Tradicionalmente o ensino das cônicas é feito na geometria analítica por meio da
dedução de suas equações e o conseqüente estabelecimento de alguns resultados
geométricos, por exemplo, as propriedades refletoras.
A parábola, por sua vez, é apresentada ao aluno do Ensino Fundamental como o
gráfico de uma das mais importantes funções estudadas naquele segmento: a função
quadrática. Seu desenho aparece na totalidade dos livros didáticos, mas na maioria das
vezes, pouca atenção é dada aos métodos de se obter tal curva.
Desenvolveremos nestas notas diversas propriedades notáveis da parábola que,
apesar de pouco conhecidas da maioria dos estudantes e professores, são plenamente
acessíveis e podem ser estabelecidas pelo método sintético da geometria elementar.
Um destaque especial é dado à construção desta curva. São discutidos diversos
métodos para a obtenção dos pontos de uma parábola bem como são apresentados
vários problemas em que uma parábola é determinada com régua e compasso a partir de
alguns dados. Além disso, investigaremos diversas construções em que uma parábola é
definida como a envoltória da família de suas tangentes.
1 O TRAÇADO DA PARÁBOLA
Num fixado plano euclidiano E consideremos uma reta d e um ponto F, F ∉ d.
Definimos a parábola como o conjunto ℘ dos pontos P ∈ E que são eqüidistantes de F
e de d. Assim,
℘ = {P ∈ E tais que dist(P, F) = dist(P, d)}.
O ponto F e a reta d são chamados, respectivamente, o foco e a diretriz da
parábola ℘. Esses dois elementos determinam completamente a parábola.
A distância do foco F à diretriz d é o parâmetro da parábola ℘.
• P
• • • • • F
• • • d
Se H indica o semi-plano de E determinado pela reta d e que contém o foco F
então ℘ ⊂ H. Com efeito, se P e F estão em lados opostos de d ou se P ∈ d então
dist(P, F) > dist(P, d).
Dado um ponto P ∈ E seja X a projeção ortogonal de P sobre d e considere a
circunferência Γ de centro P e raio PF. A igualdade PF = PX é equivalente a dizer que
Γ é tangente à reta d em X.
Logo, a parábola ℘ de foco F e diretriz d pode também ser definida como o
conjunto dos centros das circunferências que passam por F e são tangentes a d.
d
Γ
P
•
X
•
F
A reta e que passa por F e é perpendicular a d é chamada o eixo da parábola ℘.
Se um ponto P pertence a ℘ então o seu simétrico P′ em relação à reta e ainda pertence
a ℘ de modo que e é um eixo de simetria da parábola.
2 • X
P
• F
• • e
d
• • P′
X′
Lema A. Seja r uma reta perpendicular à diretriz d de uma parábola ℘. Então r
intersecta ℘ num único ponto.
Prova. Sendo F o foco de ℘ existe um único ponto P pertencente a r que é eqüidistante
de F e de d. Mais precisamente, se r é perpendicular a d em X então P é a intersecção de
r com a mediatriz do segmento FX.
„
No caso especial em que r é o eixo e de uma parábola ℘, o único ponto V em
que e intersecta ℘ é chamado o vértice da parábola ℘.
É importante observar que a demonstração do lema acima nos dá também uma
maneira de obter pontos de uma parábola com régua não graduada e compasso.
•
X
•
•
•
•
•
P
•
•
r
F
•
•
d
3 Dados uma reta d e um ponto F, F ∉ d, escolhemos um ponto arbitrário X ∈ d e
traçamos a reta r perpendicular a d em X. A intersecção de r com a mediatriz do
segmento FX é um ponto da parábola de foco F e diretriz d. Variando a escolha de X ∈
d obtém-se outros pontos da parábola.
Descrevemos a seguir outra maneira para determinar, com régua não graduada e
compasso, pontos de uma parábola. Dados uma reta d e um ponto F, F ∉ d, traçamos a
perpendicular a d que contém F. Seja Q a projeção ortogonal de F sobre d. Em seguida,
traçamos uma circunferência Γ de centro F e raio arbitrário r, r ≥ , obtendo o ponto A
na intersecção com a semi-reta FQ. Considere os pontos B e B′ na intersecção da reta d
com a circunferência de centro A e raio r. Finalmente, as circunferências de mesmo raio
r e centros em B e B′, respectivamente, intersectam a circunferência Γ em pontos P e P′
distintos de A e que pertencem à parábola de foco F e diretriz d. Variando a escolha do
raio r, r ≥ , obtém-se outros pares de pontos da parábola. Observando que os
quadriláteros FABP e FAB′P′ são, na verdade, dois losangos, o leitor não terá
dificuldades em justificar esta construção.
A parábola também pode ser obtida por meio de métodos mecânicos usando-se
um bloco de madeira, uma régua e um barbante. Alinha-se a base inferior do bloco ao
longo da diretriz que é representada pelo bordo da régua. Um pedaço de barbante de
mesmo comprimento que a lateral do bloco é preso, por um lado, ao extremo superior
do bloco e, na outra ponta, a um ponto fixo F. Com a ponta de um lápis localizada num
ponto P de modo a manter o barbante esticado, uma parábola de foco F será traçada
quando o bloco de madeira deslizar ao longo da diretriz.
4 Problema 1. Determinar, com régua e compasso, uma parábola dados dois de seus
pontos e o foco.
Solução. Uma parábola é determinada pelo seu foco e sua diretriz. Como são
conhecidos o foco F e dois pontos A e B pertencentes à parábola, resta determinar a sua
diretriz d.
Tal diretriz é tangente tanto à circunferência de centro A e raio AF quanto à
circunferência de centro B e raio BF. Logo, a reta procurada d é a tangente comum a
essas duas circunferências com a condição adicional de que d não contém o ponto F.
A
• F
• • B
d2
d1
Se A, B e F não forem colineares, as duas circunferências, sendo secantes,
admitirão duas tangentes comuns e, portanto, existem duas parábolas que satisfazem as
condições do enunciado. O resultado será o mesmo se A, B e F forem colineares com o
ponto F entre A e B. Mas quando F pertencer a um dos prolongamentos do segmento
AB, não haverá nenhuma solução.
Veremos a seguir que uma parábola ℘ divide o plano euclidiano E em duas
regiões distinguidas.
Seja P um ponto do plano euclidiano E, P não pertencente a uma parábola ℘.
Sendo r a reta que passa por P e é perpendicular à diretriz d de ℘, consideremos os
pontos X e Y em que r intersecta d e ℘, respectivamente. Se tivermos P – Y – X (leia-se
5 o ponto Y está entre os pontos P e X) dizemos que P pertence ao interior da parábola
℘. Caso contrário, dizemos que P pertence ao exterior da parábola ℘.
Note que o foco F de ℘ pertence ao interior de ℘ enquanto que os pontos da
diretriz d pertencem ao exterior de ℘.
Proposição 1. Seja ℘ uma parábola de foco F e diretriz d. Um ponto P pertence ao
interior de ℘ se, e somente se, dist(P, F) < dist(P, d). Um ponto P pertence ao exterior
de ℘ se, e somente se, dist(P, F) > dist(P, d).
Prova. Dado P pertencente ao interior da parábola ℘ seja X a projeção ortogonal de P
sobre a diretriz d e Y a intersecção da reta que contém P e X com a parábola ℘. Por
hipótese, temos P – Y – X de modo que dist(P, F) = PF < PY + YF = PY + YX = PX =
dist(P, d).
Por outro lado, seja P um ponto pertencente ao exterior de ℘. Se P e F estão em
lados opostos da diretriz d ou se P ∈ d, é imediato que dist(P, F) > dist(P, d). Suponha
que P e F estejam do mesmo lado da diretriz d.
Sendo X a projeção ortogonal de P sobre a diretriz d e Y a intersecção da reta que
contém P e X com a parábola ℘ temos, por hipótese, Y – P – X de modo que YP + PF >
YF = YX = YP + PX. Portanto, dist(P, F) = PF > PX = dist(P, d).
Em resumo, temos provado que se P pertence ao interior de ℘ então dist(P, F) <
dist(P, d) e se P pertence ao exterior de ℘ então dist(P, F) > dist(P, d). As demais
implicações agora seguem trivialmente.
„
A FORMA DAS PARÁBOLAS
Os textos didáticos freqüentemente descrevem duas figuras semelhantes como
tendo a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Esta idéia intuitiva
de semelhança funciona bem para triângulos, quadriláteros, polígonos em geral e para
circunferências onde quaisquer duas circunferências são semelhantes entre si.
B′
B
A
C
A′
6 C′
Se considerarmos a semelhança entre outras classes de figuras, particularmente
entre as não limitadas, nossa intuição pode causar certa confusão a respeito desse
conceito. Por exemplo, se perguntarmos aos nossos alunos se as duas parábolas abaixo
desenhadas têm a “mesma forma”, certamente não haverá o mesmo consenso existente
em relação à conhecida representação de triângulos nessa mesma condição.
Desde que “mesma forma” não é um conceito matemático claramente definido,
podemos reformular nossa pergunta como: São as parábolas acima semelhantes?
Evidentemente, a resposta depende de uma definição apropriada de figuras semelhantes.
É o que apresentaremos agora.
Uma semelhança do plano euclidiano E é uma aplicação bijetora σ: E → E tal
que existe um número real k > 0 de modo que, para todo par P, Q de pontos de E, temos
P′Q′ = k PQ onde P′ = σ(P) e Q′ = σ(Q). O número k é chamado a razão da semelhança
σ.
Dados ℘1 ⊂ E e ℘2 ⊂ E, dizemos que ℘1 é semelhante a ℘2 se existir uma
semelhança σ: E → E tal que σ(℘1) = ℘2.
Segue-se imediatamente da definição acima que se σ1: E → E é uma semelhança
de razão k1 e σ2: E → E é uma semelhança de razão k2 então a composta σ2σ1: E → E é
uma semelhança de razão k1k2.
Quando k = 1, a aplicação σ é chamada uma isometria do plano euclidiano E.
Neste caso, σ preserva a distância entre pontos de E e como exemplos dessa classe
especial de semelhanças citamos a translação, a rotação e a simetria em relação a uma
reta.
7 B
A
A′
B
A′
B′
C
A
B′
C′
O
B
C
A
m
A′
C′
B′
O principal exemplo de semelhança que não é necessariamente uma isometria é
descrito a seguir.
Seja O um ponto do plano euclidiano E e λ um número real não nulo. A
homotetia de centro O e razão λ é a aplicação HO,λ: E → E que fixa o ponto O e
associa a cada ponto P ∈ E, P distinto de O, o único ponto P′ pertencente à reta OP,
com P e P′ do mesmo lado ou em lados opostos de O conforme λ > 0 ou λ < 0,
respectivamente, e tal que OP′ = |λ|OP.
•
HO,3
•
P′
HO,−2
•
P
•
O
•
P′
O
•
P
Observamos que se λ = 1 então HO,1 é a aplicação identidade e se λ = −1 então
HO,−1 é a rotação de centro O e ângulo 180, isto é, HO,−1 coincide com a simetria em
relação ao ponto O.
8 O leitor não terá dificuldades em verificar que HO,λ: E → E é uma aplicação
bijetora cuja inversa (HO,λ)−1 é a homotetia de centro O e razão 1/λ, ou seja, (HO,λ)−1 =
HO,1/λ. Utilizando o critério LAL de semelhança de triângulos estabelecemos facilmente
que HO,λ: E → E é uma semelhança de razão |λ|. Além disso, dada uma reta m, então
HO,λ(m) é uma reta paralela a m e HO,λ(m) = m se, e somente se, m contém O. Outra
propriedade importante é que se m e n são retas perpendiculares, o mesmo vale para as
retas HO,λ(m) e HO,λ(n).
Se σ: E → E é uma isometria e ℘ é uma parábola de foco F e diretriz d,
verificamos facilmente que σ(℘) é uma parábola de foco F′ = σ(F) e diretriz d′ = σ(d).
Qual a imagem, por uma homotetia HO,λ de uma parábola? Se ℘ é uma parábola
de foco F e diretriz d, afirmamos que HO,λ(℘) é uma parábola de foco F′ = HO,λ(F) e
diretriz d′ = HO,λ(d). Note que d e d′ são retas paralelas.
Sendo ℘′ a parábola de foco F′ = HO,λ(F) e diretriz d′ = HO,λ(d), provaremos que
HO,λ(℘) ⊂ ℘′ e ℘′ ⊂ HO,λ(℘).
Com efeito, dado P ∈ ℘ seja X a projeção ortogonal de P sobre a diretriz d.
Sendo P′ = HO,λ(P) e X′ = HO,λ(X), temos que X′ é a projeção ortogonal de P′ sobre a
reta d′ = HO,λ(d) uma vez que a homotetia HO,λ leva retas perpendiculares em retas
perpendiculares. Além disso, P′F′ = |λ| PF e P′X′ = |λ| PX, pois HO,λ é uma semelhança
de razão |λ|. Como P ∈ ℘ temos PF = PX. Concluímos que P′F′ = P′X′ de maneira que
P′ ∈ ℘′ e, portanto, HO,λ(℘) ⊂ ℘′. A prova de ℘′ ⊂ HO,λ(℘) é análoga.
9 Reciprocamente, dadas duas parábolas com diretrizes paralelas, estarão elas
relacionadas por uma homotetia? Veremos agora que, em certas situações, isso é
verdadeiro.
Lema B. Sejam ℘ uma parábola de foco F e diretriz d e ℘′ uma parábola de foco F′ e
diretriz d′ onde d e d′ são retas paralelas. Então existe uma semelhança σ: E → E tal que
σ(℘) = ℘′.
Prova. Como d e d′ são retas paralelas, existe uma translação T1: E → E tal que T1(d) =
d′. Sendo ℘1 = T1(℘) temos que ℘1 é uma parábola de foco T1(F) = F1 e diretriz T1(d)
= d′. Se F1 = F′ então ℘1 = ℘′ e T1(℘) = ℘′.
Supondo que F1 e F′ sejam pontos distintos temos dois casos a considerar
dependendo das retas F1F′ e d′ se intersectarem ou não.
No caso em que tais retas se intersectam num ponto O, considere λ =
tivermos O – F1 – F′ ou O – F′ – F1 e λ = −
se
se tivermos F1 – O – F′. Sendo ℘2 =
HO,λ(℘1) temos que ℘2 é uma parábola de foco HO,λ(F1) = F′ e diretriz HO,λ(d′) = d′.
Logo ℘2 = ℘′ e HO,λ(℘1) = ℘′, ou seja, (HO,λT1)(℘) = ℘′.
10 Se as retas F1F′ e d′ não se intersectam considere a translação T2: E → E
definida pelo vetor representado pelo segmento orientado F1F′ e tome ℘2 = T2(℘1).
Então ℘2 é uma parábola de foco T2(F1) = F′ e diretriz T2(d′) = d′, isto é, ℘2 = ℘′ e
T2(℘1) = ℘′. Neste caso (T2T1)(℘) = ℘′.
„
11 O que podemos dizer a respeito de duas parábolas ℘ e ℘′ com diretrizes não
necessariamente paralelas? Utilizando uma adequada rotação, transformamos ℘ em
uma nova parábola cuja diretriz é paralela à diretriz de ℘′ e caímos na situação do lema
anterior. Em resumo, temos estabelecido uma surpreendente propriedade que vale tanto
para a parábola quanto para a circunferência.
Proposição 2. Duas parábolas quaisquer são semelhantes entre si.
A TANGENTE A UMA PARÁBOLA
Pretendemos agora definir reta tangente a uma parábola ℘. Resumidamente, a
idéia é fixar um determinado ponto P ∈ ℘ e considerar um ponto variável P′ ∈ ℘, P′
próximo de P. Traçando a reta secante que contém P e P′, a reta tangente a ℘ em P será
vista como a posição limite da secante variável quando P′ desliza ao longo da parábola
℘ em direção a P.
Lema C. Se por um ponto P pertencente ao exterior de uma circunferência Γ traçarmos
uma secante a Γ (em A e B) e uma tangente a Γ (em T) então PA.PB = PT2.
Prova. Supondo P – A – B, temos a congruência dos ângulos ∠PBT e ∠PTA de modo
que ΔPBT ∼ ΔPTA e o resultado desejado segue-se imediatamente.
„
Observação. Seja Γ uma circunferência do plano euclidiano E de centro O e raio r.
Dado um ponto arbitrário P ∈ E, o número p = PO2 − r2 é chamado a potência de P
relativamente a Γ. No caso em que P pertence ao exterior de Γ, aplicamos o teorema de
Pitágoras ao triângulo retângulo ΔPOT descrito no lema acima e obtemos PA.PB = PT2
= p.
Uma conseqüência imediata do lema anterior é o seguinte fato que será usado no
argumento a seguir: “Duas circunferências Γ e Γ′ se cortam em dois pontos F e G e uma
reta tangente comum as toca em X e X′, respectivamente. Nestas condições, a reta que
contém F e G intersecta o segmento XX′ em seu ponto médio”. Observe que essa
propriedade continua válida no caso em que Γ e Γ′ são tangentes externamente em F.
12 Sejam P e P′ dois pontos distintos de uma parábola ℘, centros de duas
circunferências Γ e Γ′ que passam pelo foco F de ℘ e tangentes à sua diretriz d nos
pontos X e X′, respectivamente. A reta que contém P e P′ é perpendicular à reta r que
passa por F e pelo ponto médio M do segmento XX′.
Fixemos o ponto P e suponha que P′ se aproxime de P ao longo da parábola ℘.
Neste caso, a circunferência Γ′ se aproximará da circunferência Γ, o ponto X′ se
aproximará do ponto X e, portanto, o ponto M do ponto X. Logo r tenderá, na posição
limite, à reta que contém os pontos F e X. Conseqüentemente, a reta determinada pelos
pontos P e P′ tenderá, na posição limite, à perpendicular ao segmento FX no seu ponto
médio, ou seja, tenderá para a mediatriz do segmento FX.
As considerações acima justificam a seguinte definição geométrica de reta
tangente a uma parábola.
13 Dado um ponto P pertencente a uma parábola ℘ de foco F e diretriz d, a reta
tangente a ℘ em P é, por definição, a mediatriz do segmento FX onde X é a projeção
ortogonal de P sobre a diretriz d.
Evidentemente, P pertence à reta tangente a ℘ em P uma vez que PF = PX.
Além disso, dado um ponto arbitrário P ∈ ℘ existe uma única reta tangente a ℘ em P.
Em particular, a reta tangente à parábola ℘ no seu vértice V é a perpendicular, em V, ao
eixo da parábola.
Destacamos a seguir algumas propriedades básicas envolvendo a noção de reta
tangente a uma parábola. A primeira estabelece a equivalência entre a definição acima e
a encontrada em outros textos.
Proposição 3. Uma reta t é tangente a uma parábola ℘ em P se, e somente se, t ∩ ℘ =
{P} e todo ponto Q de t, Q distinto de P, pertence ao exterior de ℘.
Prova. Suponha inicialmente que t seja a mediatriz do segmento FX onde F é o foco de
℘ e X é a projeção ortogonal de P sobre a diretriz d.
Dado Q ∈ t temos QF = QX e se Q é distinto de P então o segmento QX não é
perpendicular a d de modo que QX > dist(Q, d). Concluímos que QF > dist(Q, d), ou
seja, Q pertence ao exterior de ℘.
Q
X
P
t
F
d
14 Reciprocamente, suponha t ∩ ℘ = {P} e que todo ponto Q de t, Q distinto de P,
pertença ao exterior de ℘. Note que a reta t não é perpendicular à diretriz d. Sendo F′ o
simétrico de F em relação a t, provaremos que F′ coincide com a projeção ortogonal X
de P sobre d. Conclui-se daí que t é a mediatriz do segmento FX.
Se F′ ∈ d com F′ ≠ X então PF′ = PF = PX o que é um absurdo, pois o segmento
PX é perpendicular a d enquanto que o segmento PF′ é oblíquo.
Se F′ pertence ao semi-plano de E determinado pela reta d e que não contém o
foco F então PF′ > PX = PF o que novamente é um absurdo, pois PF′ = PF.
t
d
Γ
P
X
M
Y
F′
F
Q
Γ′
Finalmente, se F′ pertence ao semi-plano de E determinado pela reta d e que
contém o foco F, considere a circunferência Γ de centro P e que é tangente a d no ponto
X. Como P ∈ ℘, segue que Γ passa por F e, portanto, também por F′. Sendo M o ponto
em que as retas (não paralelas!) FF′ e d se intersectam, seja Y ∈ d tal que M é o ponto
médio do segmento XY. A perpendicular a d em Y intersecta a reta t num ponto Q que é
o centro de uma circunferência Γ′ que passa por F e F′ e é tangente à diretriz d no ponto
Y. Logo Q ∈ t ∩ ℘ o que é um absurdo, pois Q é distinto de P e t ∩ ℘ = {P}.
„
Proposição 4. (Propriedade refletora das parábolas) Seja ℘ uma parábola de foco F
e diretriz d. Uma reta t é tangente à parábola ℘ em P se, e somente se, t contém a
bissetriz do ∠FPX onde X é a projeção ortogonal de P sobre a diretriz d.
15 Prova. No caso em que P é o vértice da parábola ℘ temos que P é o ponto médio do
segmento FX com F, P e X pertencentes ao eixo de ℘. O resultado desejado é imediato.
Se P é distinto do vértice de ℘ então ΔFPX é um triângulo isósceles com PF =
PX e uma reta t é a mediatriz do segmento FX se, e somente se, t contém a bissetriz do
∠FPX.
„
Como é sabido, se um raio de luz é refletido num espelho então o ângulo de
incidência é congruente ao ângulo de reflexão. Nessa propriedade admite-se o chamado
princípio de Fermat segundo o qual um raio de luz atravessa um sistema óptico
percorrendo a trajetória que minimiza seu tempo total de percurso. Quando o raio de luz
percorre um único meio uniforme, tempo mínimo é equivalente a trajetória de menor
comprimento.
Girando a parábola em torno de seu eixo obtemos uma superfície de rotação
chamada parabolóide. Se um raio de luz emana do foco da parábola, a proposição
acima nos garante que o parabolóide o refletirá paralelamente ao eixo. Esse é o
princípio dos faróis e das lanternas. Evidentemente, esse princípio funciona na direção
contrária. Um raio de luz que incida paralelamente ao eixo numa superfície espelhada
na forma de um parabolóide será refletido para o foco e esse é o segredo dos telescópios
refletores, dos painéis solares e das antenas parabólicas.
16 A PARÁBOLA COMO ENVOLTÓRIA DE SUAS TANGENTES
Uma das propriedades notáveis da parábola é que podemos determiná-la por
meio de suas tangentes. Vejamos como.
Proposição 5. Seja ℘ uma parábola de foco F e diretriz d. Um ponto X pertence a d se,
e somente se, X é o simétrico de F em relação a uma reta tangente a ℘.
Prova. Se X é o simétrico de F em relação à reta tangente a ℘ em P então X é a
projeção ortogonal de P sobre a diretriz d e, portanto, pertence a d.
Reciprocamente, seja X um ponto pertencente à diretriz d. A perpendicular a d
em X intersecta a mediatriz do segmento FX num ponto P da parábola ℘ e X é o
simétrico de F em relação à reta tangente a ℘ em P.
„
17 A propriedade acima justifica a seguinte construção. Dados uma reta d e um
ponto F ∉ d, escolhemos um ponto arbitrário X ∈ d e traçamos a mediatriz t do
segmento FX. A intersecção da perpendicular a d em X com tal mediatriz é um ponto P
da parábola de foco F e diretriz d. Além disso, t será a reta tangente à parábola em P.
Variando a escolha de X ∈ d obtém-se outras tangentes à parábola. Diremos, neste caso,
que a parábola é definida como a envoltória da família de suas tangentes.
Problema 2. Determinar, com régua e compasso, uma parábola dados um de seus
pontos, o foco e uma reta tangente.
Solução. Como é conhecido o foco F da parábola ℘, um ponto A ∈ ℘ e uma reta t
tangente a ℘, resta determinar a sua diretriz d.
O simétrico X de F em relação a t pertence à diretriz d que, por sua vez, é
tangente à circunferência Γ de centro A e raio AF. Logo, a reta procurada d é a tangente
à circunferência Γ pelo ponto X com a condição adicional de que d não contém o ponto
F.
X
•
F
d2
•A
t
Γ
d1
O problema admitirá até duas soluções se AX > AF, isto é, se A e F estiverem do
mesmo lado da reta t. A solução será única se A ∈ t (AX = AF) e não haverá solução se
A e F estiverem em lados opostos de t (AX < AF).
Problema 3. Determinar, com régua e compasso, uma parábola dados um de seus
pontos, a diretriz e uma reta tangente.
Solução. Como é conhecido a diretriz d da parábola ℘, um ponto A ∈ ℘ e uma reta t
tangente a ℘, resta determinar o seu foco F.
Sabemos que o simétrico de F em relação a t pertence à diretriz d e, portanto, F
pertence à reta d′, simétrica da reta d em relação à t. Por outro lado, F pertence à
circunferência Γ de centro A e que é tangente a d.
Logo, o ponto procurado F é a intersecção da reta d′ com a circunferência Γ.
d′
F2
•A
Γ
t
d
18 F1
O problema terá duas, uma ou nenhuma solução conforme dist(A, d′) seja,
respectivamente, menor, igual ou maior que dist(A, d). Como exercício, caracterize
essas condições a partir dos dados A, d e t.
Proposição 6. Seja ℘ uma parábola de foco F e r a reta tangente a ℘ em seu vértice V.
Um ponto Z pertence a r se, e somente se, Z é a projeção ortogonal de F sobre uma reta
tangente a ℘.
Prova. Sendo Y a projeção ortogonal de F sobre a diretriz d temos que r é a mediatriz
do segmento FY.
Se Z é a projeção ortogonal de F sobre a reta tangente a ℘ em P então Z é o
ponto médio do segmento FX onde X é a projeção ortogonal de P sobre a diretriz d.
Quando P é distinto de V, ΔXYF é um triângulo retângulo com hipotenusa FX. Logo ZF
= ZX = ZY de modo que Z pertence a r. Quando P coincide com V, o resultado é
imediato.
Reciprocamente, seja Z um ponto pertencente a r. Logo ZF = ZY. Sendo X o
ponto tal que Z é o ponto médio do segmento FX temos que ∠XYF é um ângulo reto, ou
seja, X pertence à diretriz d. A perpendicular a d em X intersecta a mediatriz do
segmento FX num ponto P da parábola ℘ e Z é a projeção ortogonal de F sobre a reta
tangente a ℘ em P.
„
Corolário. Se um ângulo reto do plano euclidiano E varia de modo que seu vértice
descreve uma fixada reta r e um de seus lados passa por um ponto fixo F, F não
pertencente a r, então o outro lado desenvolve uma parábola de foco F e cuja reta
tangente no vértice é r.
O corolário acima nos permite determinar, com um esquadro, as retas tangentes
a uma parábola. Traçamos uma reta r e escolhemos um ponto F ∉ r a uma distância
conveniente de r (exatamente o quanto é essa distância depende do tamanho de seu
esquadro). Posicionamos o esquadro de modo que o vértice do ângulo reto pertença a r
e um dos catetos passe por F. A reta determinada pelo outro cateto do esquadro é
19 tangente à parábola de foco F. Variando a posição do esquadro, sempre com o vértice
do ângulo reto sobre r e um cateto passando por F, obtemos outras tangentes à parábola
de foco F.
t
r
•
F
O corolário acima pode ser estendido para um ângulo não necessariamente reto.
A resposta ainda é uma parábola.
Proposição 7. Se um ângulo do plano euclidiano E varia de modo que seu vértice
descreve uma fixada reta r e um de seus lados passa por um ponto fixo F, F não
pertencente a r, então o outro lado desenvolve uma parábola de foco F.
Prova. Seja ∠XAY um ângulo de medida α tal que A ∈ r com X e Y pertencentes ao
semi-plano de E determinado pela reta r e que contém o ponto F. Suponha ainda que o
lado AX do ângulo passe pelo ponto F.
20 Sendo B e C as projeções ortogonais de F sobre as retas r e AY, respectivamente,
temos que B e C pertencem à circunferência de diâmetro AF e, portanto, ∠FBC é um
ângulo de medida α. Em outras palavras, a reta s que contém os pontos B e C é
determinada a partir de B e da medida α.
Quando α = 90 as retas r e s coincidem e, conforme vimos no corolário anterior,
obtemos a parábola de foco F cuja reta tangente no vértice é r.
Para α ≠ 90 consideramos o ângulo reto ∠FCY. Seu vértice descreve a fixada
reta s, o lado CF passa pelo ponto F e, assim, o segundo lado CY desenvolve uma
parábola de foco F cuja reta tangente no vértice é s.
„
Problema 4. Determinar, com régua e compasso, uma parábola dados duas retas
tangentes e o foco.
Solução. Como são conhecidos o foco F da parábola ℘ e duas retas t1 e t2 tangentes a
℘, resta determinar a sua diretriz d.
As projeções ortogonais Z1 e Z2 de F sobre t1 e t2, respectivamente, pertencem à
reta tangente a ℘ em seu vértice que está assim determinada, pois Z1 e Z2 são distintos.
A partir da reta que contém os pontos Z1 e Z2, a diretriz é facilmente obtida.
d
t1
Z1
•F
t2
Z2
O problema terá uma única solução se a reta Z1Z2 não passar pelo foco F, ou
seja, se as retas t1 e t2 não forem paralelas.
Problema 5. Determinar, com régua e compasso, uma parábola dados duas retas
tangentes e a diretriz.
Solução. Como são conhecidos a diretriz d da parábola ℘ e duas retas t1 e t2 tangentes a
℘, resta determinar o seu foco F.
t1
d
d2′
F
d1′
t2
21 Sabemos que os simétricos X1 e X2 de F em relação à t1 e t2, respectivamente,
pertence à diretriz d. Portanto, F pertence às retas d1′ e d2′, simétricas da reta d em
relação a t1 e t2, respectivamente.
O problema admitirá uma infinidade de soluções se d1′ e d2′ forem retas
coincidentes e nenhuma solução se d1′ e d2′ forem paralelas e distintas. Se d1′ e d2′
forem retas concorrentes, a solução será única.
Podemos caracterizar essas condições a partir dos dados d, t1 e t2. Teremos uma
infinidade de soluções se t1 e t2 forem perpendiculares entre si num ponto pertencente a
d. Se t1 e t2 forem paralelas ou perpendiculares entre si num ponto fora de d, o problema
não admite solução. Para as demais posições relativas de t1 e t2, o problema tem uma
única solução.
Os resultados a seguir descrevem interessantes propriedades geométricas das
projeções ortogonais, sobre o eixo de uma parábola, tanto de um segmento tangente
quanto de um segmento normal.
Proposição 8. Seja ℘ uma parábola de foco F e diretriz d. Se a reta tangente a ℘ em P
intersecta o seu eixo e no ponto T e se U é a projeção ortogonal de P sobre e então o
ponto médio do segmento TU coincide com o vértice da parábola ℘.
Prova. Sendo X a projeção ortogonal de P sobre a diretriz d e Z o ponto médio do
segmento FX temos que os triângulos ΔPXZ e ΔTFZ são congruentes. Logo Z é o ponto
médio do segmento PT.
Por outro lado, Z pertence à reta tangente a ℘ em seu vértice V que, por sua vez,
é paralela à reta que contém P e U. Concluímos que V é o ponto médio do segmento
TU.
„
Dado um ponto P pertencente a uma parábola ℘, a reta normal a ℘ em P é,
por definição, a reta que contém P e é perpendicular à reta tangente a ℘ em P.
22 Proposição 9. Seja ℘ uma parábola de foco F e diretriz d. Se a reta normal a ℘ em P
intersecta o seu eixo e no ponto W e se U é a projeção ortogonal de P sobre e então o
segmento UW tem comprimento constante igual ao parâmetro p da parábola ℘.
Prova. Sendo X a projeção ortogonal de P sobre a diretriz d temos que o quadrilátero
PWFX é um paralelogramo. Logo, se K é a projeção ortogonal de F sobre a reta PX
então UW = KX = dist(F, d) = p.
„
Corolário. Sendo T e W como nas proposições 8 e 9, respectivamente, o ponto médio
do segmento TW coincide com o foco F da parábola ℘.
Prova. Utilizando as mesmas notações das proposições 8 e 9 temos TF = TV + VF =
TU + = (TU + UW) = TW.
„
23 A PROPRIEDADE ISOGONAL DA PARÁBOLA
Vimos anteriormente que dado um ponto arbitrário P pertencente a uma parábola
℘, existe uma única reta tangente a ℘ em P. O próximo resultado nos garante a
existência de tangentes a uma parábola em outras situações.
Proposição 10. Seja ℘ uma parábola de foco F e diretriz d.
a) Dada uma reta r, r não perpendicular a d, existe uma única reta tangente a ℘ paralela
a r.
b) Dado um ponto A pertencente ao exterior de ℘, existem duas, e somente duas, retas
tangentes a ℘ que contém A.
Prova. Seja r uma dada reta, r não perpendicular à diretriz d. Logo, a reta que passa por
F e é perpendicular a r intersecta d num ponto X. A perpendicular a d em X intersecta a
parábola ℘ num único ponto P tal que a reta tangente a ℘ em P é paralela a r.
Seja A um ponto do exterior de ℘ de modo que dist(A, F) > dist(A, d). Logo, a
circunferência de centro A e que passa por F intersecta d em dois pontos distintos X e Y.
24 As perpendiculares a d em X e Y, respectivamente, intersectam a parábola ℘ em dois
pontos P e Q. É imediato verificar que a reta tangente a ℘ em P contém o ponto A e o
mesmo vale para a reta tangente a ℘ em Q. Observe que, neste caso, o foco F pertence
ao interior do ∠PAQ.
„
Onde estão localizados os pontos que “enxergam” uma parábola ℘ segundo um
ângulo reto? Em outras palavras, utilizando-se as notações da proposição acima, a que
subconjunto do exterior de ℘ pertence um ponto A tal que m(∠PAQ) = 90? A resposta
é dada a seguir.
Proposição 11. Seja ℘ uma parábola de foco F e diretriz d e considere as duas retas
tangentes a ℘ em P e Q, respectivamente, traçadas a partir de um ponto A pertencente
ao exterior de ℘. Uma condição necessária e suficiente para que m(∠PAQ) = 90 é que
o ponto A pertença à diretriz d. Nestas condições, o foco F pertence ao segmento PQ e
coincide com a projeção ortogonal de A sobre a reta PQ.
Prova. Sejam X e Y as projeções ortogonais de P e Q, respectivamente, sobre a diretriz
d. Os triângulos ΔAFP e ΔAXP são congruentes uma vez que são simétricos em relação
à reta AP. Logo m(∠AFP) = m(∠AXP) e m(∠PAF) = m(∠PAX). Procedendo
analogamente com os triângulos ΔAFQ e ΔAYQ temos m(∠AFQ) = m(∠AYQ) e
m(∠QAF) = m(∠QAY). Além disso, como F pertence ao interior do ∠PAQ temos
m(∠PAQ) = m(∠PAF) + m(∠QAF) = [m(∠XAF) + m(∠YAF)].
Q
P
F
Y
X
A
25 d
É agora imediato que A ∈ d se, e somente se, m(∠PAQ) = 90. Além disso,
nessas condições temos m(∠AFP) = 90 = m(∠AFQ).
„
O resultado dado a seguir é referido por alguns autores como a propriedade
isogonal (ou angular) da parábola.
Proposição 12. Seja ℘ uma parábola de foco F e considere as duas retas tangentes a ℘
em P e Q, respectivamente, traçadas a partir de um ponto A pertencente ao exterior de
℘. Nestas condições, temos ΔAFP ∼ ΔQFA. Conseqüentemente, ∠AFP ≅ ∠QFA e
(AF)2 = FP. FQ.
Prova. Sejam X e Y as projeções ortogonais de P e Q, respectivamente, sobre a diretriz
d da parábola ℘. Como A é a intersecção das mediatrizes dos segmentos FX e FY,
segue que A é o circuncentro do ΔFXY. Logo m(∠XYF) = m(∠XAF) = m(∠PAF).
Por outro lado, m(∠XYF) = m(∠AQY) e, pela propriedade refletora da parábola,
m(∠AQY) = m(∠AQF). Concluímos que m(∠PAF) = m(∠AQF).
Um argumento análogo prova que m(∠APF) = m(∠QAF) e, portanto, ΔAFP ∼
ΔQFA. Em particular, ∠AFP ≅ ∠QFA e
, ou seja, (AF)2 = FP. FQ.
„
O próximo resultado é atribuído ao matemático francês Jean-Victor Poncelet
(1788 – 1867), um dos fundadores da geometria projetiva.
Proposição 13. Seja ℘ uma parábola de foco F e considere as duas retas tangentes a ℘
em P e Q, respectivamente, traçadas a partir de um ponto A pertencente ao exterior de
℘. Seja r a reta que contém A e é paralela ao eixo de ℘. Então a reta que contém a
bissetriz do ∠PAQ contém também a bissetriz do ângulo agudo formado pelas retas r e
AF.
26 Prova. Se r coincide com o eixo da parábola ℘ então as retas r e AF são coincidentes.
Neste caso, os triângulos ΔPAF e ΔQAF são congruentes de modo que m(∠PAF) =
m(∠QAF).
Suponha que r é distinta do eixo de ℘. Usando as mesmas notações da
proposição anterior, temos m(∠PAF) = m(∠AQF) = m(∠AQY) = m(∠QAB) onde B ∈ r
é um ponto arbitrário pertencente ao interior de ℘. O resultado desejado segue-se
imediatamente.
„
PARÁBOLAS TANGENTES A UM TRIÂNGULO
Uma conseqüência imediata da proposição 10 é que duas retas tangentes a uma
parábola ℘ nunca são paralelas enquanto que três retas tangentes nunca são
concorrentes em um único ponto e, portanto, determinam um triângulo. Veremos a
seguir que, dado um triângulo, existe uma infinidade de parábolas tangentes às retas que
contém os lados do triângulo; porém, seus focos pertencem à circunferência circunscrita
ao triângulo e suas diretrizes são concorrentes no ortocentro do triângulo. Utilizaremos
na prova deste fato espetacular um conhecido teorema da geometria euclidiana.
Teorema. (Simson) As projeções ortogonais de um ponto P sobre as três retas que
contém os lados de um ΔABC são colineares se, e somente se, P pertence à
circunferência circunscrita ao ΔABC.
Prova. Suponha que P pertença ao arco BC da circunferência circunscrita ao ΔABC que
não contém o vértice A com dist(P, C) ≥ dist(P, B). Os demais casos são obtidos com a
renomeação de A, B e C.
Sejam D, E e F as projeções ortogonais de P sobre as retas BC, AC e AB,
respectivamente, e x = m(∠BDF), y = m(∠CDE), z = m(∠BPE). A colinearidade de D,
E e F estará estabelecida se provarmos que x = y.
27 Como os quadriláteros BFPD, DPCE e AFPE estão inscritos em uma
circunferência, segue que m(∠FPB) = x, m(∠CPE) = y e m(∠BAC) + x + z = 180.
Por hipótese, o quadrilátero ABPC está inscrito na circunferência circunscrita ao
ΔABC de modo que m(∠BAC) + z + y = 180. Comparando essas duas últimas equações
concluímos que x = y.
A recíproca é obtida revertendo-se o argumento acima.
„
A reta que contém as projeções ortogonais de P é chamada a reta de Simson de
P relativa ao ΔABC.
Como aplicação deste teorema, uma nova construção da parábola definida como
a envoltória da família de suas tangentes será apresentada.
Dado um ΔABC, seja D a projeção ortogonal do vértice A sobre a reta BC. Sendo
P e Q as projeções ortogonais sobre as retas AB e AC, respectivamente, de um ponto M
pertencente à reta BC, afirmamos que a reta PQ desenvolve uma parábola de foco D à
medida que M descreve a reta BC.
28 Com efeito, a circunferência de diâmetro AM passa pelos pontos P, Q e D. Pelo
teorema de Simson, as projeções ortogonais E, F e G do ponto D sobre as retas AB, AC
e PQ, respectivamente, são colineares.
A
E
Q
G
P
B
F
D
M
C
Assim, quando M descreve a reta BC, o ângulo reto ∠PGD varia de modo que
seu vértice G descreve a reta fixa EF e o lado GD passa pelo ponto fixo D. O outro lado
GP desenvolve então uma parábola de foco D e cuja reta tangente no vértice é EF.
Note que as retas que contém as alturas do ΔABC a partir dos vértices B e C são
tangentes a essa parábola, pois quando M coincide com B ou C a reta PQ coincide com
uma ou outra dessas retas.
Seja P um ponto pertencente à circunferência circunscrita a um ΔABC. Segue-se
do teorema de Simson que os simétricos de P em relação às retas AB, BC e AC,
respectivamente, são colineares. Mais precisamente, pertencem à imagem, pela
homotetia de centro P e razão 2, da reta de Simson de P. Alguns autores referem-se a
esta reta como a reta de Steiner de P relativa ao ΔABC e uma de suas propriedades
notáveis é que ela contém o ortocentro do ΔABC (Lema E).
Proposição 14. Seja Γ a circunferência circunscrita a um dado triângulo ΔABC. Se ℘ é
uma parábola tal que as retas que contém os lados do triângulo são tangentes a ℘ então
o foco F de ℘ pertence a Γ, excluídos os vértices A, B e C. Reciprocamente, se um
ponto F pertence a Γ, excluídos os vértices A, B e C, então F é o foco de uma parábola
℘ tal que as retas que contém os lados do triângulo são tangentes a ℘.
29 Prova. Seja ℘ uma parábola de foco F tal que as retas AB, BC e AC são tangentes a ℘.
Pela proposição 6, as projeções ortogonais de F sobre essas três retas pertencem à reta
tangente a ℘ em seu vértice e são, portanto, colineares. O resultado desejado é agora
conseqüência imediata do teorema de Simson.
Reciprocamente, seja F um ponto pertencente à circunferência Γ, com F distinto
dos vértices A, B e C. Pelo que vimos acima, os simétricos de F em relação às retas AB,
BC e AC, respectivamente, pertencem à reta de Steiner de F relativa ao ΔABC.
Indicando por d tal reta, considere a parábola ℘ de foco F e diretriz d.
30 Afirmamos que as retas que contém os lados do triângulo são tangentes a ℘.
Com efeito, se X é o simétrico de F em relação à reta AB então a perpendicular a d em X
intersecta a parábola ℘ num ponto P tal que a reta tangente a ℘ em P é a reta AB. O
argumento para as retas BC e AC é análogo.
„
A fim de estabelecermos a relação entre as diretrizes dessas parábolas e o
ortocentro do triângulo, necessitamos da mencionada propriedade notável da reta de
Steiner.
Lema D. Suponha que P ∈ Γ onde Γ é a circunferência circunscrita a um dado ΔABC.
Se U ∈ Γ é tal que as retas PU e AC são perpendiculares então a reta BU é paralela à
reta de Simson de P.
Prova. Considere a situação ilustrada na figura abaixo. Os demais casos são análogos.
31 Sendo X e Y as projeções ortogonais de P sobre as retas AB e AC,
respectivamente, temos que o quadrilátero AXYP está inscrito numa circunferência.
Logo m(∠APY) = 180 − m(∠AXY) = m(∠BXY).
Por outro lado, m(∠APY) = m(∠APU) = m(∠ABU) de modo que as retas BU e
XY são paralelas, ou seja, a reta BU é paralela à reta de Simson de P.
„
Lema E. A reta de Simson de P relativa ao ΔABC intersecta o segmento PH (H o
ortocentro do ΔABC) em seu ponto médio. Conseqüentemente, o ponto H pertence à
reta de Steiner de P relativa ao ΔABC.
Prova. Sendo D o simétrico do ortocentro H em relação à reta AC, sabemos que D ∈ Γ
onde Γ é a circunferência circunscrita ao ΔABC. Como as retas PU e BD são ambas
perpendiculares à reta AC, o quadrilátero PUBD é um trapézio e, por estar inscrito em
Γ, é um trapézio isósceles. Logo, se Q é o simétrico de P em relação à reta AC então HQ
e BU são retas paralelas e, portanto, a reta de Simson de P é paralela à reta HQ.
Finalmente, observamos que no ΔPHQ a reta de Simson de P intersecta o lado
PQ em seu ponto médio e, sendo paralela à reta HQ, também intersecta o segmento PH
em seu ponto médio.
„
Proposição 15. Dado um ΔABC, as diretrizes das parábolas tangentes às retas AB, BC e
AC são concorrentes no ortocentro H do ΔABC.
Prova. Se ℘ é uma parábola de foco F e diretriz d tal que as retas AB, BC e AC são
tangentes a ℘, vimos na proposição 14 que F pertence à circunferência circunscrita ao
ΔABC e d é a reta de Steiner de F relativa ao ΔABC. Pelo lema anterior, segue-se que H
∈ d.
32 „
Problema 6. Determinar, com régua e compasso, uma parábola dados quatro retas
tangentes.
Solução. Sendo AB, BC, CD e DA as quatro retas dadas, vamos determinar o foco F da
parábola tangente a tais retas. Seja E o ponto de intersecção das retas AB e CD e seja G
o ponto de intersecção das retas BC e DA.
Pela proposição 14, o foco F pertence à circunferência circunscrita ao ΔABG e
também à circunferência circunscrita ao ΔBCE. Estas duas circunferências, que já
possuem em comum o ponto B, cortam-se novamente no ponto procurado F.
O teorema de Simson nos garante que as projeções ortogonais I, J, K, L do ponto
F sobre as quatro retas dadas pertencem a uma mesma reta r. Segue-se, novamente pela
proposição 14, que as quatro retas dadas são tangentes à parábola de foco F e cuja
tangente no vértice é a reta r.
O problema admite uma única solução desde que duas das retas dadas não sejam
paralelas e que três delas não sejam concorrentes num único ponto.
r
E
K
C
D
I
B
F
J
A
L
G
33 O resultado dado a seguir afirma que, em uma parábola, uma tangente variável
determina sobre duas tangentes fixas AP e AQ partes proporcionais nas quais os pontos
A e P da tangente AP têm para homólogos os pontos Q e A, respectivamente, da
tangente AQ.
Proposição 16. Seja ℘ uma parábola e considere as duas retas AP e AQ tangentes a ℘
em P e Q, respectivamente, traçadas a partir de um ponto A pertencente ao exterior de
℘. Se uma arbitrária reta tangente a ℘ intersecta as retas AP e AQ nos pontos B e C,
respectivamente, então
.
Prova. Sendo F o foco da parábola ℘, a propriedade isogonal das parábolas nos garante
que ΔAFP ∼ ΔQFA. Logo m(∠AFP) = m(∠QFA) = 180 − m(∠PAQ) e
.
34 Se t é uma arbitrária reta tangente à parábola que intersecta as retas AP e AQ nos
pontos B e C, respectivamente, então, pela proposição 14, a circunferência circunscrita
ao ΔABC passa pelo foco F. Logo m(∠BFC) = 180 − m(∠PAQ) e, portanto, m(∠AFP)
= m(∠QFA) = m(∠BFC).
Segue-se que m(∠BFP) = m(∠CFA) e como m(∠FPB) = m(∠FAC) obtemos
ΔPBF ∼ ΔACF.
Concluímos que
e, finalmente,
.
„
A recíproca da proposição anterior também é válida conforme o resultado a
seguir.
Proposição 17. Sejam AP e AQ duas fixadas retas concorrentes e seja t uma reta
variável que intersecta AP e AQ nos pontos B e C, respectivamente, de modo que
. Então a reta t desenvolve uma parábola ℘ tal que as retas AP e AQ são
tangentes a ℘ em P e Q, respectivamente.
Prova. Se
então, independentemente da escolha da reta t, a circunferência
circunscrita ao ΔABC contém, além de A, outro ponto fixo F. Pela proposição 14, F é o
foco de uma parábola ℘ tal que as retas que contém os lados do ΔABC são tangentes a
℘.
„
O resultado acima justifica um conhecido traçado da parábola como a envoltória
da família de suas tangentes. Dado um ângulo arbitrário ∠PAQ com PA = AQ,
dividimos os segmentos PA e AQ num mesmo número de partes iguais. As retas que
unem os pontos dessas subdivisões de acordo com o diagrama abaixo desenvolvem uma
parábola ℘ tal que as retas AP e AQ são tangentes a ℘ em P e Q, respectivamente.
Com efeito, utilizando as notações da proposição 17 temos que a condição PA = AQ é
equivalente a PB = AC.
35 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Akopyan A. V. e Zaslavsky A. A. – Geometry of Conics – Mathematical World, Vol 26,
American Mathematical Society, 2008
Commeau J. – Géométrie: Cours de Mathématiques G. Cagnac et L. Thiberge –
Masson et Cie Éditeurs, Paris, 1963
Wagner E. – Por que as antenas são parabólicas – Revista do Professor de Matemática,
Vol 33
Sites consultados:
http://www.cut-the-knot.org/geometry.shtml
http://mathworld.wolfram.com/topics/Geometry.html
http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html
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