Os elementos - Hack@UNIRIO 2017

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Os elementos
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Vicenre Pleitez
Edi tores-Assistmtes
Anderson
Nobara
Hcnriquc
Zanardi
[org
•••
••
I crcira Filho
Tradução e Introdução
lrineu Bicudo
Livro I
Definições
II
aquilo de que nada é parte.
Ill)
[lnha
comprimento sem largura.
rnidades de uma linha são pontos.
lI'
I
Iinlta r ta é a que está posta por igual com os pontos sobre si mesma.
111
rfície é aquilo que tem somente comprimento e largura.
'I r
midades de uma superfície são retas.
III
I
I
ulo plano é a inclinação, entre elas, de duas linhas no plano, que
1\
I
I
ie plana é a que está posta por igual com as retas sobre si mesma.
1'((
I )
arn e não estão postas sobre uma reta.
'111,
ndo as linhas que contêm o ângulo sejam retas,
° ângulo
é cha-
r tilíneo.
1111111
I 'I' 1i1 ndo uma reta, tendo sido alteada sobre uma reta, faça os ângulos
ntes iguais, cada um dos ângulos é reto, e a reta que se alteou é
111),1
da uma perpendicular àquela sobre a qual se alteou.
11111\\,
'11 obtuso é o maior do que um. reto.
11
I
o, o menor do que um reto.
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int
II
11Ii"l1
I
Ilul
11111
111
ira é aquilo que é extremidade de alguma coisa.
é o que é contido por alguma ou algumas fronteiras.
é uma figura plana contida por uma linha [que é chamada cir-
rência], em relação à qual todas as retas que a encontram [até a
unferência
do círculo], a partir de um ponto dos postos no interior
II II iura, são iguais entre si.
97
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17. E diâmetro do círculo é alguma
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minando, em cada um dos lados, pela circunferência
corta o círculo em dois.
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do círculo, e que
iguais, enquanto escaleno,
° que tem
eqüilátera
I!
S
dobros da mesma coisa são iguais entre si.
I\ as metades da mesma coisa são iguais entre si.]
• 1\ fl coisas que se ajustam uma à outra são iguais entre si.
i. U todo [é] maior do que a parte.
° que tem só dois lados
I
1\ duas retas não contêm uma área,
I
os três lados desiguais.
tem um ângulo reto, e, por outro lado, obtusângulo,
22. E das figuras quadriláteras,
d igLI'~j sejam subtraídas iguais, as restantes são iguais.
Ii
° que tem
21. E, ainda das figuras triláteras, por um lado, triângulo retângulo é
ângulo obtuso, enquanto acutângulo,
° que
° que tem os três ângulos
° que
1.
tem um
agudos.
Construir um triângulo eqüilátero sobre a reta limitada dada.
por um lado, quadrado é aquela que é tanto
quanto retangular, e, por outro lado, oblongo, a que, por um
Seja a reta limitada
lado, é retangular, e, por outro lado, não é eqüilátera, enquanto losango,
eqüilátero.
rombóide, a que tem tanto os lados opostos quanto os ângulos opostos
Fique descrito, por um lado, com
iguais entre si, a qual não é equilátera nem retangular; e as quadriláteras,
círculo BCD, e, de novo, fique descrito, por um
23. Paralelas são retas que, estando no mesmo plano, e sendo prolongadas
lado, com o centro B, e, por outro lado, com a
em cada um dos lados, em nenhum se encontram.
,11
I. Fique postulado
I
2. Também prolongar
uma reta limitada, continuamente,
sobre uma reta.
3. E, com todo centro e distância, descrever um círculo.
4. E serem iguais entre si todos os ângulos retos.
do mesmo lado menores do que dois retos, sendo prolongadas as duas
do que dois retos.
encontrarem-se
ncia BA,
I '1l1
I
no lado no qual estão os menores
° círculo
ACE, e, a partir do ponto C, no qual os círculos se
urtam, até os pontos A, B, fiquem ligadas as retas CA, CB.
° ponto
A é centro do círculo CDB, a AC é igual à AB; de novo,
o ponto B é centro do círculo CAE, a BC é igual à BA. Mas a CA foi
unbérn provada igual à AB; portanto,
cada uma das CA, CB é igual à AB.
t\1.\S as coisas iguais à mesma coisa são também iguais entre si; portanto,
I .unbérn a CA é igual à CB, portanto, as três CA, AB, BC são iguais entre si.
5. E, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça os ângulos interiores e
retas, ilimitadamente,
ti
II, como
traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto.
° centro
°
A, e, por outro lado, com a distância AB,
além dessas, sejam chamadas trapézios.
Postulados
dada AB. É preciso,
então, sobre a reta AB construir um triângulo
a que, por um lado, é eqüilátera, e, por outro lado, não é retangular, e
ilimitadamente
também iguais entre si.
li, ns iguais sejam adicionadas a desiguais, os todos são desiguais.
I
as contidas por mais do que quatro retas.
os três lados iguais, e, por outro lado, isósceles,
i a sã
I I, nso S jnm adi i nada coisas iguais a coisas iguais, os todos são iguais.
11,
as por quatro, enquanto
eqüilátero é
isns i uais à mesma
, I Ii n
19. Figuras retilíneas são as contidas por retas, por um lado, triláteras,
20. E, das figuras triláteras, por um lado, triângulo
1\.'
I,
I
ferência cortada por ele. E centro do semicírculo é o mesmo do círculo.
multiláteras,
nUI11
1'-
18. E semicírculo é a figura contida tanto pelo diâmetro quanto pela circun-
as por três, e, por outro lado, quadriláteras,
1~I/IMlltI
I rtanto,
1,111
° triângulo
ABC é eqüilátero,
e foi construído
sobre a reta
i tada dada AB.
[[ ortanto, sobre a reta limitada dada, foi construído
l.uero]: o que era preciso fazer.
99
um triângulo eqüi-
1:'" II'/~K
(, ~/ml
2.
I,
HIl
IllItI
Põr, no ponto dado) uma reta igual à reta dada.
Sejam, por um lado,
° ponto
I
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dado A, e, por outro lado, a reta dada BC;
A
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111
l/liI~
duas r tas de igurti AB,
n r
,foi subtraída da maior AB
qLLeera preciso fazer.
é preciso, então, pôr, no ponto A, uma reta igual à reta dada BC.
Fique, pois, ligada, do ponto A até aponto
a reta AB, e fique construído sobre ela
B,
4.
° triângulo
eqüilátero DAB, e fiquem prolongadas sobre uma
lado, com
° centro
B e, por outro lado, com a
distância BC, fique descrito
de novo, com
descrito
° centro
° círculo
° círculo
dois triângulos tenham os dois lados iguais [aos] dois lados) cada
/lI/I ti cada um) e tenham o ângulo contido pelas retas iguais igual ao
nn uio, também terão a base igual à base) e o triângulo será igual
II I 11'1 ngulo) e os ângulos restantes serão iguais aos ângulos restantes) cada
um a cada um) sob os quais se estendem os lados iguais.
11
reta com as DA, DB as retas AE, BF, e, por um
CGH, e,
F
O e a distância DG, fique
GKL.
Como, de fato, aponto
B é centro do círculo
CGH, a BC é igual à BG. De novo, como
E
Sejam os dois triângulos ABC, DEF, tendo os dois la-
° ponto
A
dos AB, AC iguais aos dois lados DE, DF, cada um a cada
O é centro do círculo KLG, a DL é igual à DG, das quais a DA é igual ~
um, por um lado,
DB. Portanto,
DF, e
a restante AL é igual à restante BG. Mas também a BC foi
provada igual à BG; portanto,
cada uma das AL, BC é igual à BG. Mas as
coisas iguais à mesma coisa são iguais entre si; portanto,
D
° triângulo
ABC
°
iguais aos ângulos restantes, cada um a cada um, sob os
quais se estendem os lados iguais, por um lado,
° sob ABC
° DEF e, por outro lado, ° sob ACB ao sob DFE.
Pois, ° triângulo ABC, sendo ajustado sobre ° triângulo
DEF, e sendo posto, por LLmlado, ° ponto A sobre ° ponto
que era preciso fazer.
ao sob
I~
F
3.
lI,
Dadas duas retas desiguais) subtrair da maior uma reta igual à menor.
Sejam as duas retas desiguais dadas AB, C, das
maior AB uma reta igual à menor C.
Fique posta no ponto A a AO igual à C; e, por
I 11111 ao
I,
___---+-=E
° círculo
DEF.
100
B
I
1111i'
sob EDF; desse modo, também
I
Ir
11111
° ponto
° ângulo
° E; desse
° F, não
sob BAC
C se ajustará sobre
r ser, de novo, a AC igual à DF. Mas, por certo, também
° ponto
° B ajustou-se
modo, a base BC se ajustará sobre a base EF. Pois se a base
I\C , tendo, por um lado,
F
B se ajustará
o E, por ser a AB igual à DE; então, tendo se ajustado a AB sobre a
I )I~, também a reta AC se ajustará sobre a DF, por ser
c
A, e, por outro lado, com a
distância AO, fique descrito
,I ar outro lado, a reta AB sobre a DE, também aponto
11/11'
quais seja maior a AB; é preciso, então, subtrair da
° centro
sob BAC igual ao ângulo sob EDF. Digo
será igual ao triângulo DEF, e os ângLLlosrestantes serão
igual à BC.
um lado, com
° AC ao
e, por outro lado,
que também a base BC é igual à base EF, e
C
também a AL é
Portanto, no ponto dado A, foi posta a reta AL igual à reta dada BC;
° ângulo
° AB ao DE,
° B se ajustado
sobre
° E, e, por
outro lado,
se ajustar sobre a EF, duas retas conterão uma área;
°C
° que
é
ssível. Portanto, a base BC ajustar-se-á sobre a EF e será igual a ela;
101