REVISÃO Trigonometria: Tópicos de interesse à Topografia

REVISÃO MATEMÁTICA
1. Unidades de medida
1.1. Medida de comprimento - metro (m)
O metro é uma unidade básica para a representação de medidas de
comprimento no sistema internacional de unidades (SI).
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Prefixos utilizados com unidades SI
Fator
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Prefixos
Símbolo
10-18
atto
a
10-15
femto
f
10-12
pico
p
10-9
nano
n
10-6
micro
µ
10-3
mili
m
10-2
centi
c
10-1
deci
d
101
deca
da
102
hecto
h
103
quilo
k
106
mega
M
109
giga
G
1012
tera
T
1015
peta
P
1018
exa
E
2
1. Unidades de medida
1.2. Medida Angular
1.2.1. Medição Sexagesimal
α é o ângulo formado pela rotação de uma semi-reta em torno de um
ponto fixo (o vértice do ângulo).
B
D
O
α
C
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A
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1.2.1. Medição Sexagesimal
Dividindo-se a rotação completa em 360 partes iguais, teremos 360
ângulos iguais, cada um deles denominado de grau e denotado 1 °.
Cada grau é dividido em 60 minutos (60’).
Cada minuto é dividido em 60 segundos (60”).
Círculo é dividido em quatro (4) partes iguais chamadas quadrantes,
cada um formando um ângulo reto (90°).
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1.2.2. Medição Centesimal
Para tornar o sistema de medida de ângulos coerente com outras
medidas métricas, decidiu-se dividir o ângulo reto em 100 partes iguais
e, consequentemente, o círculo inteiro em 400 partes.
Os ângulos assim obtidos foram chamados de grados (grd).
1 ângulo reto = 100 grados
1 grado = 100 minutos
1 minuto = 100 segundo
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1.2.3. Medição Circular
É um método absoluto, pois independe da divisão de um ângulo reto
em qualquer número arbitrário de partes, 90 ou 100.
A unidade é obtida da seguinte maneira: em um círculo de centro O,
façamos com que um raio OA gire para a posição OB, de forma que
o comprimento do arco AB seja igual ao comprimento do raio.
B
r
C
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r
A
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1.2.3. Medição Circular
Fazendo-se isso, forma-se o ângulo AÔB, cuja unidade de medida é
chamada radiano. O tamanho do ângulo será o mesmo, qualquer que
seja o raio tomado. Sua magnitude é absoluta.
B
r
Radiano = rad
C
A
r
Convertendo-se ao sistema sexagesimal, temos que 1 radiano é
aproximadamente igual a 57°17’44,8”.
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1.2.3. Medição Circular
TEOREMA: “A razão entre a circunferência de um círculo e seu
diâmetro é fixa para todos os círculos”
Circunferência/diâmetro = constante = π = aprox. 3,1416
Portanto: circunferência = π. Diâmetro
Ou: c = 2 π r
“Um radiano é o ângulo subtendido ao centro de um círculo por um
arco de comprimento igual ao seu raio”.
Arco semicircular = π. Raio
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1.2.3. Medição Circular
B
r
C
AB = raio (r)
A
r
O arco do semicírculo ABC subtende dois ângulos retos e o arco AB
subtende 1 radiano. Como o arco do semicírculo é π vezes o arco
AB, o ângulo subtendido pelo arco do semicírculo é π vezes o
ângulo subtendido pelo arco AB (“Os ângulos ao centro de um
círculo são proporcionais aos arcos pelos quais são subtendidos”).
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1.2.3. Medição Circular
Isto é:
Dois ângulos retos = π rad
180° = π rad
Portanto: 1 rad =180° / π = aproximadamente 57 ° 17’45’’
Conversão de graus em radianos
180 ° = π rad
Portanto: 1 ° = π / 180 rad
e
θ ° = (θ. π / 180) rad
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REVISÃO MATEMÁTICA
2. Funções Trigonométricas
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2. Funções Trigonométricas
Exemplo de Aplicação
Em um ponto (O), distante horizontalmente 160 m da base de uma
torre, o ângulo de elevação (α) para o topo da torre é 40°20’.
Determinar a altura da torre, em relação ao nível do solo.
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Cálculos com ângulos
 sen 34º18’23,4” =
 cotg 76º33’15,7” =
 65º45’57” + 77º10’42” =
 42º30’ - 20°40’ =
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3 Relações entre lados e ângulos de um triângulo
3.1 Lei dos Senos
“Em qualquer triângulo, os lados são
proporcionais aos senos dos ângulos
opostos”
senA =
a
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senB
b
=
senC
c
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3.2 Lei dos Cossenos
Determinação dos ângulos de um triângulo
quando todos os seus lados são conhecidos
cosA = b2 + c2 - a2
2bc
Determinação do terceiro lado de um triângulo, quando dois lados e o
ângulo contido por eles forem conhecidos
a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A
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3.3 Seno de um ângulo de um triângulo em termos dos lados
senA = 2 √s (s - a) (s - b) (s - c)
bc
Em que:
s = semi-perímetro = a + b + c
2
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4. Área de um triângulo
4.1 Fórmula da base e da altura (geometria elementar)
Normalmente, na Topografia, h não é
medido diretamente no campo, daí a
conveniência de se empregarem outros
meios no cálculo da área do triângulo,
como será visto a seguir.
∆=a.h
2
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4. Área de um triângulo
4.2 Fórmula do seno
Pela observação da figura:
AD / AC = senC
Ou
h / b = senC
Portanto, h = b senC
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4.2 Fórmula do seno
Substituindo-se h na fórmula da geometria
elementar:
∆ = 1 a.h
2
portanto
∆ = 1 a.b.senC
2
Analogamente podem ser utilizados os outros lados como bases.
Logo:
“A área de um triângulo é igual à metade do produto de dois lados e do
seno do ângulo contido por eles.”
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4.2 Área em termos dos lados do triângulo
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