MSR – Mecânica dos Solos e das Rochas Estado de Tensões

MSR – Mecânica dos Solos e das Rochas
Estado de Tensões – Resistência ao Cisalhamento
Exercícios
(Observação: os enunciados podem diferir ligeiramente do visto em sala de aula, mas
os exercícios são os mesmos)
1)
Sendo 100 kPa e 240 kPa as tensões principais de um elemento de solo,
determinar:
a) As tensões que atuam num plano que determina um ângulo de 30º com o
plano principal maior.
b) A inclinação do plano em que a tensão normal é de 200 kPa e a tensão de
cisalhamento nesse plano.
c) A máxima tensão de cisalhamento, o plano em que ela ocorre e a tensão
normal nesse plano.
d) Os planos em que ocorre a tensão de cisalhamento de 35 kPa e as tensões
normais nesses planos.
Solução:
1)
a)
Método Analítico:
σ1 = 240 kPa
σ3 = 100 kPa
α = 30º
2
·
240
2
100
2
·
2 · 30
60,6
2
·
2
240
2
100
240
2
100
2
·
2 · 30
205,0
b)
σ = 200 kPa
2
200
170
2
70 ·
30
70
2·
32°
·
2
200
2·
2·
2·
64°
240
100
240
2
100
2
200
170
70
·
2·
240
100
2
·
2 · 32
63,2
c)
τmáx = ?
á
2
70
á
·
2
70
70
2
2
70
240
100
2
70
70
2·
·
2·
2·
90°
45°
2
2
·
240
2
100
240
2
100
2
·
2 · 45
·
2 · 15
·
2 · 75
170,0
d)
τ = 35 kPa
·
2
2
35
70
2
35
240
100
2
35
70
2·
·
2·
2·
30°; 150°
15°
75°
Para α1 = 15 kPa:
2
2
·
2
·
2
240
100
240
2
100
2
230,6
Para α1 = 75 kPa:
2
109,4
2
240
100
2
240
100
2
2)
Método Gráfico – Círculo de Mohr:
a)
τ
60,6
°
60
30°
50
100
50
100
205
200
250
150
σ
b)
τ
63
°
65
32°
150
200
250
σ
c)
τ
70
100
°
90
45°
50
150 170 200
σ
250
d)
τ
35
150°
°
75
150
30°
100
15°
50
200
250
σ
2)
Para determinado ponto “P” do maciço, na fase inicial da obra (estado em
repouso), calcule o valor (em kPa) das tensões efetivas normais e tangencial que
atuam num plano que forma um ângulo α = 30º com o plano horizontal, sabendo
que a tensão efetiva principal maior (σ1) e a tensão efetiva principal menor (σ3)
são iguais a 140 kPa e 80 kPa, respectivamente.
Solução:
1)
Método Analítico:
σ1 = 140 kPa
σ3 = 80 kPa
α = 30º
2
·
140
2
80
2
·
2 · 30
26,0
2
2
·
140
2
80
140
2
80
2
125,0
2)
Método Gráfico – Círculo de Mohr:
τ
26
50
100
125
150
200
σ
·
2 · 30
3)
No plano horizontal de um elemento atuam uma tensão vertical de 400 kPa e
uma tensão cisalhante de 100 kPa. No plano vertical, a tensão normal é de
200 kPa e a tensão de cisalhamento é de – 100 kPa. Determinar as tensões
principais e as tensões em um plano inclinado de 45º com a horizontal.
Solução:
Ponto A: (400, 100)
Ponto B: (200, -100)
τ
141
441
159
50
100
150
200
250
300
350
400
450 σ
4)
Para uma construção em um terreno plano, é necessário que seja realizada uma
escavação de 4 m de profundidade em talude vertical. Os estudos geotécnicos
determinaram que o peso específico aparente seco (γd) é de 14,35 kN/m³ e a
umidade é de 24%, a qual não sofrerá acréscimo durante a execução da obra
em virtude das condições de drenagem.
Também foi realizada uma série de ensaios de cisalhamento direto para
determinar os parâmetros de resistência (atrito e coesão), conforme tabela a
seguir.
Verificar se há necessidade de escoramento para essa obra, considerando que
em obras similares costuma-se exigir fator de segurança igual a 1,5.
Tensões normais – σ
(kPa)
50
100
200
Tensões cisalhantes – τ
(kPa)
35
56
99
Solução:
Roteiro:
a)
b)
c)
d)
Determinar os parâmetros c e ϕ, a partir do gráfico τ x σ
Determinar γn
Calcular HCR
Verificar se HCR é maior ou menor que a espessura necessária vezes o fator de
segurança.
A) DETERMINAÇÃO DE c E ϕ
120
tensão de cisalhamento ‐ τ (kPa)
100
80
ϕ
60
40
20
C
0
0
50
100
150
tensão normal ‐ σ (kPa)
200
250
B) DETERMINAÇÃO DE γn
· 1
1
14,35 · 1
0,24
17,79
/ ³
C) DETERMINAÇÃO DE HCR
2,67 ·
·
45
2,67 · 14
·
17,79
2
45
23
2
3,17
D) VERIFICAÇÃO DE HCR
·
3,17
4 · 1,5
Portanto, há necessidade de contenção.