Exercício Proposto

NUMEROS COMPLEXOS
Frente: 01
PROFº: HENRY PÍPOLOS
Aula: 13
ITA100807
(PE//ES/CN)
2. POTÊNCIAS DE BASE i:
1. INTRODUÇÃO:
Sabe-se que o conjunto dos números reais (IR) é
o mais amplo que conhecemos até então. Sendo assim,
surge o seguinte questionamento: “como resolver em IR
equações do tipo”: x2 + 1 = 0; x2 + 4 = 0 ou x2 + 9 = 0, •
onde ∆ < 0?
Até o presente momento, afirmava-se que para
equações deste tipo, não havia solução no campo dos
números reais. E durante muitos séculos essa resposta
foi aceita, até que, em 1572 o matemático Raffaelli
Bombeli publicou seu tratado de Álgebra, que falava a
respeito de raiz quadrada de números negativos.
Desta forma surgia um novo e maravilhoso
conjunto, o dos NÚMEROS COMPLEXOS (C), com todos
os elementos de IR e nos quais as equações acima
passaram a ter solução.
Criou-se então os NÚMEROS IMAGINÁRIOS ou
UNIDADADES IMAGINÁRIAS, simbolizados pela letra “i”,
−1 .
que substituiria a
Exemplos 1:
Estudando as potências de i (in, n ∈ IN), temos:
i
1
=1
3
=i
i
4
= i . i = (-1). (-1) = 1
i
5
=i
i
6
i = -1
. i = -1. i = - i
2
2
4
.i=1.i=i
5
2
=i .i=i.i=i =-1
7
i =i
i
2
i =i
i
8
2
0
6
. i = -1 . i = - i
7
2
= i . i = - i . i = - i = - (-1) = 1
Então pode-se concluir que:
=i
4
i =i
5
i
0
1
i
2
i
3
=i
6
=i
7
=i
=i
8
9
= …= i
4n
=…=i
4 n +1
=i
= -1
=1
=i
10
=…= i
4n+ 2
=i
11
=…= i
4 n+3
=-i
01. Encontre, em C, o conjunto solução das equações
abaixo:
Portanto, para determinarmos uma potência de
base i superior a 4, basta dividirmos o expoente de i por
4 e considerarmos apenas i elevado ao resto dessa
divisão.
a) x2 + 1 = 0
Exemplo 2:
Solução:
x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = -1 ⇒ x = ±
S = {- i, + i}
b) x2 + 4 = 0
−1 ⇒ x = ± i
02. Calcule as potências:
a) i1991
b) i36
c) i61
Resolução:
a) 1991: 4 = 497 ⇒ resto = 3, assim temos que:
Solução:
(− 1).4
x + 4 = 0 ⇒ x = -4 ⇒ x = ± − 4 ⇒ x = ±
2
2
− 1 ⇒ x = ± 2 ⇒ x = ± 2i
1991
2
S = {2 + i, 2 - i}
n
p
Como
4
q
r = {0,1,2,3}
− 1 = i ⇒ -1 = i2
36
0
i
61
=i =i
1
Exercício Proposto
Desta forma concluí-se que: IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR ⊂ C
ATENÇÃO!!!
i
=i =1
c) 61: 4 = 15 ⇒ resto = 1, assim temos que:
S = {-2 i, +2 i}
c) x - 4x + 5 = 0
3
i
=i =-i
b) 36: 4 = 9 ⇒ resto = 0, assim temos que:
01. Calcule:
a) i158
c) i517
318
b) i
d) i43
e) (1 + i)2
f) (1 - i)2
g) (1 + i)3
h) (1 + i)8
02. Resolva as equações no campo dos complexos:
a) x2 + 49 = 0
b) x2 - 2x + 5 = 0
Gabarito.
01. a) -1
e) 2i
b) -1
f) -2i
02.
a) S = {-7i; +7i}
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c) i
g) 2i – 2
d) –i
h) 1
b) S = {1 + 2i; 1 – 2i}
04. Encontre o valor de m, se existir, para que o número
3. FORMA ALGÉBRICA:
Todo número complexo pode ser escrito na forma
z = a + b.i, com a, b ∈ IR, denominada forma algébrica.
O número real a é denominado parte real de z, e
o número real b é denominado parte imaginária de z.
Assim temos que:
z = a + bi
⇒ a = Re(z) ∈ IR e b = Im(z) ∈ IR.
Logo: z = Re(z) + Im(z)
Exemplo 3:
Identifique nos complexos abaixo, sua parte real e
imaginária:
a) z = 3 + 5i ⇒ Re(z) = 3 e Im(z) = 5
b) z = -2 + 7i ⇒ Re(z) = -2 e Im(z) = 7
c) z = -2/3
⇒ Re(z) = -2/3 e Im(z) = 0
d) z = -2i
⇒ Re(z) = 0 e Im(z) = -2
ATENÇÃO!!!
• Quando a parte real de um número complexo
é nula (a = 0) e sua parte imaginária é não-nula
(b
≠ 0) este número complexo é chamado de
Imaginário puro.
• Quando a parte imaginária de um número
complexo for nula (b = 0), este número é chamado de
Real.
Resumindo:
Dado o complexo z = Re(z) + Im(z)
Real ⇔ Im(z) = 0
Im. Puro ⇔ Re(z) = 0 e Im(z) ≠ 0
Exemplos 4:
01. Classifique em Real ou Imaginário Puro, os números
complexos abaixo:
a) z = 5i
Resolução:
Este número complexo é dito imaginário puro,
pois sua parte real é nula e sua parte imaginária é
diferente de zero, ou seja, a = 0 e b = 5 ≠ 0.
b) z = 6
Resolução:
Este complexo é dito real, pois sua parte
imaginária é nula, ou seja, b = 0.
02. Determine o valor de k, para que o número complexo
z = (k - 3) + 6i seja imaginário puro.
Resolução:
Lembre: Img. Puro ⇔ Re(z) = 0 e Im(z) ≠ 0
k-3=0 ⇒k=3
03. Determinar os valores de m, para que o número
complexo z = 6 + (m2 - 9)i seja um número real.
Resolução:
Lembre: Real ⇔ Im(z) = 0
m2 - 9 = 0 ⇒ m2 = 9 ⇒ m = ± 3
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