MTM Números Complexos(1)

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- Números Complexos
Unidade Imaginária
Define-se a unidade imaginária, representada pela letra i, como sendo a raiz quadrada de -1. Podese escrever então: i =
Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais,
a exemplo das raízes quadradas de números negativos.
Ex:
Potências de i
Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo 1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro
a partir do expoente zero.
Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta elevá-lo ao resto da divisão do
expoente por 4. Assim , podemos resumir:
1) Calcule
.
Solução:
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo
2) Calcule o número complexo
.
Solução.
3) O valor da expressão
solução:
é:
.
4) Determine o número natural n tal que
.
Solução:
5) Calcule
.
solução:
Número Complexo
Definição: Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo:
z = a + bi , onde i =
é a unidade imaginária .
Exemplos:
z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3)
w = -3 -5i (a = -3 e b = -5)
u = 100i ( a = 0 e b = 100)
Notas:
a)
b)
diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z.
dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária.
Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) .
c)
se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex:
z = 3i .
d)
e)
se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real . Ex: z = 5 = 5 + 0i .
do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja, o conjunto dos números
reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos.
f)
um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z =
(a,b) .
Conjugado de um Número Complexo
Dado um número complexo z = a + bi , chama-se conjugado de z e representa-se por , a um outro
número complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária
de z .
z = a + bi  =
= a - bi
Ex: z = 3 + 5i ;
= 3 - 5i
Obs.: Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma de pares
ordenados. Assim é que z = a + bi = (a, b).
Portanto, por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas, pode-se representar graficamente
qualquer número complexo z num sistema de coordenadas cartesianas, bastando marcar a parte real a no eixo
horizontal e a parte imaginária b no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo
vertical é chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso, denomina-se plano de Argand-Gauss. O
ponto que representa o número complexo z , denomina-se afixo de z.
Divisão de Números Complexos
Regra: Para dividir um número complexo z por outro w  0 , basta multiplicar numerador e
denominador pelo complexo conjugado do denominador, ou seja:
Exercícios
1) Sendo z = 5i + 3i - 2i + 4i e w = 2i - 3i , calcule Im(z).w + Im(w).z .
2
solução:
3
27
12
15
2) O número complexo 2z, tal que 5z +
= 12 + 6i é:
solução:
3) Para que o produto (a + i). (3 - 2i) seja real, a deve ser:
solução:
4) Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac + b é:
solução:
5) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a + bi , sabendo-se que z + w é um número
real e z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de
.
Solução:
Representação Gráfica de um Número Complexo (Plano de Argan-Gauss)
Módulo de um Número Complexo
Dado o número Complexo Z = a + bi, seu módulo será representado por |Z| ou então por .
Argumento de um Número Complexo
é o ângulo  formado pelo módulo e o eixo real.
----- Lembretes Importantes:
sen
cos
1º Q
+
+
2º Q
+
-
3º Q
-
4º Q
+
Redução ao Primeiro Quadrante
do 2º quadrante  x = 180° - 
do 3º quadrante  x =  - 180°
do 4º quadrante  x = 360° - 
0°
sen
0
cos
1
30°
45°
60°
90°
1
...
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