prova 1 - Escola Carlos Nabais

PROVA 1
Exercício 1:
A quantidade de chamadas de telefones portáteis (x) na Ilha da Tecnologia
é caracterizada pela seguinte expressão:
QxD ( Px , Py , M )  90  2Px  aPy  0.01M
Qx (Px,Py) =90 –2Px + aPy +0,0M
onde Px Px representa o preço das chamadas nos telefones portáteis, Py
representa o preço das chamadas nos telefones fixos (que são substitutas
das chamadas nos telefones portáteis) e M é o rendimento médio dos
habitantes da Ilha.
a)
O bem x é um bem normal ou inferior? Qual o sinal de a. Justifique
devidamente as suas respostas
Resolução: O bem x é um bem normal porquanto a elasticidade rendimento da
sua procura é positiva. Por outro lado, como os bens x e y são substitutos a
elasticidade preço cruzada tem de ser positiva, pelo que a é positivo.
b) Na Ilha, a oferta de chamadas em telefones portáteis é caracterizada pela
seguinte expressão: Px=2. Sabendo que Py=2, M= 1000 e que, se Px=6
, a quantidade procurada de x é de 90 unidades, calcule o equilíbrio no
mercado de chamadas em telefones portáteis e represente-o graficamente.
Resolução: Tendo em conta a informação disponível sobre a procura podemos concluir
que:
90 = 90-2x 6 + 2a + 0,01 x 1000 a=1
Mas então, o equilíbrio de mercado verifica-se com Px=2 e.
Qx = 90 –2x2 + 2 + 0,01x1000 =98
c) Comente a seguinte afirmação, justificando devidamente a sua posição:
1/7
“Os operadores de telefones portáteis não estão a maximizar a sua
receita.”
Resolução: Para maximizar a receita dever-se-ia estar a vender no ponto da procura em
que a elasticidade preço fosse igual a –1. Ora a elasticidade é dada por:
 Qx , Px  2 
Px
Qx
,
pelo que, para os valores indicados, a elasticidade preço seria unitária quando. Px
= 51/2
5,0
D
4,0
Px
3,0
S
2,0
1,0
0,0
92
94
96
98
100
102
104
Qx
Exercício 2:
Considere uma empresa cujo processo produtivo pode ser descrito pela
função de produção:
2
1 1 
F ( K , L)     ,
L K
onde L representa o número de trabalhadores empregues e K representa o
número de unidades de capital utilizadas.
a) Caracterize os rendimentos de escala desta função de produção. Se a
produção, com custo mínimo, de 10000 unidades passar por contratar 200
unidades de cada factor produtivo, que quantidades dos factores se deverão
utilizar para, com custo mínimo, aumentar a produção em 1%?
Resolução: A função exibe rendimentos crescentes à escala iguais a 2, pois:
2/7
1 
 1
F (K , L)  


 L K 
2
 2 F ( K , L) .
Nas condições dadas, dever-se-á utilizar mais 1 unidade (0.5%) de cada factor.
b) Suponha que o preço do factor K é igual a 4 e o do factor L é igual a 1.
Verifique que a TMST de trabalho por capital é dada K / L  e que a curva
2
de custos totais da empresa é descrita por CT (Q)  9 Q . Existem
economias ou deseconomias de escala? Relacione a sua resposta com a
resposta dada na alínea anterior.
Resolução: A produtividade marginal de cada factor é dada por:
3
PMgL:
F
1 1 
 2 L 2    ;
L
L K
3
F
1 1 
 2 K 2    .
K
L K
Portanto a TMST é dada por:
PMgK:
2
dK  K 
TMST  
  .
dL  L 
Para determinar a função de custos totais resolvemos então o seguinte sistema
(que decorre das condições de primeira ordem para a minimização dos custos de
produção):
 K  2 1
3
  

Q
4
 L 
K 
2
,


2

L  3 Q
1 1 

Q   L  K 



de onde resulta a função de custo total CT (Q)  9 Q . Existem, portanto,
economias de escala, as quais se devem à presença de rendimentos crescentes à
escala na função de produção.
c) Este produtor é monopolista num mercado cuja curva de procura é
descrita por Q 
144
1

  P
2

2
. Determine a quantidade que ele deve produzir
(e o preço que deve cobrar) de forma a maximizar o seu lucro. Que
quantidades de factores serão utilizadas e que lucro será alcançado?
Resolução: O monopolista maximiza o seu lucro resolvendo o problema:
 1 12 
Q  9 Q ,
max   
 2

Q


de onde vem a condição de primeira ordem:
3/7
1
6
9


 0  Q 9.
2
Q 2 Q
Estas unidades serão produzidas utilizando 9 unidades de L e 4.5 unidades de K.
O lucro assim alcançado será de 4.5.

Exercício 3:
O Sr. Rogério produz um bem (x) que é vendido a retalhistas que o
colocam à venda no mercado. A produção deste bem envolve custos totais
que
podem
ser
descritos
pela
expressão
CT(x,K)  0.05x 3  1.45x 2  ( 14.25  K)x  5K 2 onde x é a produção e K a
capacidade instalada.
a) Sabendo que a expressão acima representa uma família de curvas de
custos totais de curto-prazo determine o efeito de uma variação de K nos
custos variáveis e nos custos fixos. Verifique que a curva de custos totais
de longo-prazo é descrita por CT ( x)  0.05x 3  1.5x 2  14.25x .
Resolução: O efeito de uma variação de K nos custos variáveis e fixo é:
CV
Custo variável:
  x , o aumento do factor fixo implica uma diminuição do custo
K
variável igual ao número de unidades produzidas;
CF
Custo fixo:
 10 K , o aumento do factor fixo implica um aumento do custo fixo
K
igual ao decuplo da capacidade instalada.
Para determinar o custo total de longo prazo determina-se a capacidade óptima:
CT CP
 0  K  0.1x ,
K
e substitui-se na função de custo de curto prazo, para obter:
CT (q)  0.05 x 3  1.5x 2  14.25 x .
b) Dado que o Sr. Rogério produz ao nível mínimo do seu custo médio de
longo prazo, determine a quantidade de x produzida. Será que nesse ponto
existem economias de escala?
Resolução: A quantidade de q produzida é igual a 15, não existindo neste ponto
economias ou deseconomias de escala.
4/7
c) O Sr. Rogério vende o seu produto x aos retalhistas a um preço de 50.
Estes por sua vez colocam-no à venda no mercado a um preço de 60.
Enquanto consumidor, o Sr. Rogério tem um nível de utilidade descrito
 3 
pela função U ( x, y)  2 min 3x, y  , que depende quer do consumo de x,
 2 
quer do consumo de um outro bem, y, que pode adquirir ao preço de 25. O
único rendimento do Sr. Rogério é o proveniente dos lucros da empresa
que produz x.
i) Verifique que a restrição orçamental é dada pela expressão y  28.2  2 x .
Represente-a graficamente e interprete-a.
Resolução: A restrição orçamental pode ser escrita por:
25 y  5015  x  45 ,
onde x e y são as quantidades consumidas de cada bem e 45 é o custo total de
produzir 15 unidades de x. Reescrevendo-a, obtemos a expressão indicada na
questão, cuja representação gráfica é a seguinte:
30
25
y
20
15
10
5
0
0
5
10
15
x
ii) Calcule as quantidades consumidas pelo Sr. Rogério de x e de y, a
quantidade vendida do bem x, o rendimento (lucro) e o nível de utilidade
alcançada. Represente o cabaz óptimo graficamente. (Cotação: 1 valor)
Resolução: Tendo em conta a função de utilidade ter-se-á:
3

 x  7.05
3x  y
,

2

y  14.1


 y  28.2  2 x
pelo que se venderão 7.95 unidades de x, o rendimento será 352.2 e o nível de
utilidade será 42.3. Esta situação está representada no seguinte gráfico:
5/7
30
25
y
20
15
10
5
0
0
5
10
15
x
iii) Suponha que o governo criava um imposto sobre os lucros de 10%.
Explique, sem tornar a resolver de novo o problema de maximização, quais
serão os novos valores de consumo de ambos os bens. Em quanto é que
teria de aumentar o preço de venda do bem x para que o Sr. Rogério
mantivesse o mesmo nível de lucro.
Resolução: Mantendo-se o preço, o lucro reduzir-se-ia em 10%, pelo que o consumo de
cada bem também se reduziria em 10%, isto é:
 x  6.345
.

 y  12.69
O lucro só se manteria se o preço de X aumentasse para 59.43 (isto é 9.85%).
Exercício 4:
Responda brevemente (não mais de uma página por questão) às seguintes
questões.
a) Dê exemplo de dois tipos de investimentos específicos e descreva a
forma como estes afectam a actividade das empresas.
Resolução: Compra de uma máquina, formação profissional
b) Descreva brevemente o que entende por economias de aprendizagem,
referindo um sector em que estas pareçam ser importantes
Resolução: Existem economias de aprendizagem quando os custos médios de produção
por unidade de tempo vão diminuindo em função da experiência acumulada
anterior (normalmente captada pela produção acumulada nos períodos anteriores).
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c) Um monopolista maximizador do lucro que tenha duas fábricas com a
mesma função de custos em cada fábrica, deve produzir a mesma
quantidade em cada fábrica. Comente.
Resolução: A afirmação é correcta se os custos marginais forem sempre crescentes. Se os
custos marginais forem constantes é irrelevante a forma como se distribui a
produção pelas duas fábricas. Se os custos marginais forem decrescentes, deve
produzir-se apenas numa fábrica.
7/7