Espaços Quociente

ESPAÇOS QUOCIENTE
THIAGO GINEZ VELANGA MOREIRA
Abstract. O Teorema Fundamental das Relações de Equivalência é demonstrado para esclarecer que as noções de particão de um conjunto e relação de
equivalência coincidem. A segunda seção fornece os conceitos de aplicação e
espaço quocientes, também conhecido como espaço identi…cação. Tais nomenclaturas são aí justi…cadas a…m de fundamentar a construção matemática da
esfera e do toro. Uma boa oportunidade é criada para que o vínculo entre a
Topologia e a Álgebra seja apreciado.
1. UM POUCO DE TEORIA DOS CONJUNTOS
1.1. Conjunto Quociente Vs. Partição. Uma partição de um conjunto A é
uma coleção de subconjuntos disjuntos não-vazios de A cuja união é igual A. Uma
relação de equivalência sobre um conjunto não-vazio A de…ne uma partição do
conjunto A. Reciprocamente, temos o
Teorema 1 (Teorema Fundamental das Relações de Equivalência). Seja A um
conjunto não-vazio. Dada uma partição P do conjunto A existe uma única relação
de equivalência sobre A tal que conjunto quociente A= = P.
2. A TOPOLOGIA QUOCIENTE
2.1. Aplicação Quociente e Conjuntos Saturados. Uma aplicação sobrejetiva
entre espaços topológicos p : X ! Y é chamada aplicação quociente quando, para
cada U Y , vale
U é aberto em Y , p
1
(U ) é aberto em X.
De…nição 1. Sejam X e Y conjuntos quaisquer e p : X ! Y uma aplicação
sobrejetiva. Um subconjunto C
X é dito saturado (com respeito à aplicação
sobrejetiva p) quando C contém cada conjunto p 1 (fyg) que o intersecta. Em
símbolos:
C
p
1
(fyg), sempre que p
1
(fyg) \ C 6= ?:
Proposição 1. Seja p : X ! Y uma aplicação sobrejetiva entre conjuntos. Um
subconjunto C
X é saturado (com respeito a p) se, somente se, C é a imagem
inversa de algum subconjunto de Y .
Date : Submetido ao III Colóquio de Matemática da Região Norte em 21 de Agosto de 2014.
Key words and phrases. Topologia Quociente, Aplicação Quociente, Espaço Quociente.
O autor é professor/pesquisador líder do Grupo de Estudos e Pesquisa em Matemática
Avançada (GEMA) vinculado ao Departamento de Matemática da UNIR, no qual é coordenador
do projeto de pesquisa "Estudos em Topologia Algébrica".
1
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THIAGO GINEZ VELANGA M OREIRA
Proof. Suponha que exista U
Y tal que C = p 1 (U ). Seja dado y 2 Y tal que
1
p (fyg) \ C 6= ?. Mostraremos que C p 1 (fyg). De fato,
? 6= p
1
(fyg) \ C = p
1
(fyg) \ p
1
(U ) = p
1
(fyg \ U ).
Daí, segue que fyg \ U 6= ? e, portanto, y 2 U . Agora, dado x 2 p 1 (fyg), tem-se
que p(x) = y 2 U , donde vem que x 2 p 1 (U ) = C, mostrando que C p 1 (fyg).
Reciprocamente, se C é saturado mostraremos que C = p 1 (U ), com U = p(C).
A inclusão C
p 1 (p (C)) é sempre verdadeira. Por outro lado, x 2 p 1 (p(C))
implica a existência de x0 2 C tal que p(x) = p(x0 ). Então, x0 2 p 1 (fp(x)g) \ C.
Como C é saturado, C p 1 (fp(x)g) 2 x, o que nos dá a outra inclusão e, portanto,
a igualdade desejada.
Isto nos dá uma outra caracterização dos conjuntos saturados.
Proposição 2. Seja p : X ! Y uma aplicação sobrejetiva entre conjuntos X
e Y . Um subconjunto C
X é saturado (com respeito a p) se, e somonte se,
C = p 1 (p(C)):
Proposição 3. Seja p : X ! Y uma aplicação sobrejetiva entre espaços topológicos. Então, p é uma aplicação quciente se, e somente se, p é continua e leva aberto
saturado de X em aberto de Y .
Proof. Suponha p uma aplicação quociente. Segue da de…nição que p é contínua.
Se C X é aberto saturado em X então, p 1 (p(C)) = C é aberto em X. Como p
é aplicação quociente, p(C) é aberto em Y . Reciprocamente, suponha p : X ! Y
contínua que leva aberto saturado de X em aberto de Y . Seja dado U Y , se C =
p 1 (U ) é aberto em X, segue da Proposição 1 que C é saturado (com respeito a p).
Usando o fato de p ser sobrejetiva e a hipótese, obtemos que U = p(p 1 (U )) = p(C)
é aberto em Y . Segue que p é uma aplicação quociente.
2.2. Topologia e Espaço Quocientes.
Proposição 4. Sejam X um espaço topológico, A um conjunto qualquer e p : X !
A uma aplicação sobrejetiva. Existe uma única topologia em A com relação a
qual p é uma aplicação quociente.
Proof. Mostra-se que a coleção p := G A; p 1 (G) é aberto em X é uma topologia em A. Desta de…nição resulta imediatamente que p é uma topologia em A com
relação a qual p : X ! (A; p ) é uma aplicação quociente. Suponha agora que exista uma outra topologia em A com relação a qual p : X ! (A; ) seja uma
aplicação quociente. Daí,
G2
,G
A; p
1
(G) é aberto em X , G 2
p,
mostrando que as topologias coincidem.
De…nimos topologia quociente induzida por p em A como sendo a única topologia
p em A que torna a aplicação sobrejetiva p : X ! A uma aplicação quociente.
De…nição 2. Seja X um espaço topológico e seja X uma partição de X. Seja
p : X ! X a aplicação sobrejetiva que leva cada ponto x 2 X no elemento de X
que o contém. Quando X está munido com a topologia quociente induzida por p,
dizemos que (X ; p ) é um espaço quociente de X.
A TOPOLOGIA QUOCIENTE
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Agora, dado X , vimos que existe uma única relação de equivalência sobre A
tal que os elementos de X são as classes de equivalência daquela relação. Sendo
assim, note que poderíamos ter obtido a partição X "identi…cando" cada par de
pontos equivalentes. Por esta razão, o espaço quociente X é também conhecido
como um espaço identi…cação, ou um espaço decomposição, do espaço X.
3. CONSTRUINDO A ESFERA E O TORO
3.1. A Esfera. Seja X o círculo unitário fechado (x; y) 2 R2 ; x2 + y 2 1 no R2 ,
e seja X a partição de X formada por todos os conjuntos unitários f(x; y)g intX
e pela fronteira S 1 = (x; y) 2 R2 ; x2 + y 2 = 1 do círculo X. Considere a aplicação
p : X ! X dada por
p (x; y) =
f(x; y)g ;
S1;
se (x; y) 2 X S 1
se (x; y) 2 S 1
.
Note que p é a aplicação sobrejetora que leva cada ponto de X no elemento da
partição (portanto, subconjunto de X) que o contém. Munindo X com a topologia
quociente induzida por p, obtemos o espaço quociente X do círculo X: Acontece
que identi…car os pontos equivalentes, isto é, aqueles que pertencem a uma mesma
classe (elemento da partição) de X, é o mesmo que construir a esfera (superfície
de uma bola no R3 ) a partir do disco X colidindo toda sua fronteira S 1 a um único
ponto; veja Figura 1.
3.2. O Toro. Considere o retângulo X = [0; 1] [0; 1]. De…na uma partição X
de X constituída por subconjuntos de X da forma:
(a):
(b):
(c):
(d):
Conjuntos unitários f(x; y)g, onde (x; y) 2 (0; 1) (0; 1);
Conjuntos com dois elementos f(x; 0) ; (x; 1)g, onde 0 < x < 1;
Conjuntos com dois elementos f(0; y) ; (1; y)g, onde 0 < y < 1;
Conjunto dos vétices V = f(0; 0) ; (0; 1) ; (1; 0) ; (1; 1)g :
Uma aplicação sobrejetora p : X ! X que leva cada ponto de X no elemento
da partição X que o contém, pode ser de…nida pondo
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>
>
<
f(x; y)g ;
f(x; 0) ; (x; 1)g
p (x; y) =
f(0; y) ; (1; y)g
>
>
:
V
se (x; y) 2 (0; 1) (0; 1)
se (x; y) 2 A1 [ A2
,
se (x; y) 2 B1 [ B2
se (x; y) 2 V
onde A1 ; A2 e B1 ; B2 são os pares de lados do retângulo X V paralelos aos eixos
coordenados Ox e Oy, respectivamente (veja Figura 2). Agora podemos munir
X com a topologia quociente induzida por p. Isto nos fornece o espaço quociente
X do retângulo X. Note que, identi…car os pontos de X que pertencem a um
mesmo elemento (classe de equivalência) da partição X também nos fornece o
toro (superfície de uma "rosquinha", ou doughnut em inglês). Isto pode ser feito
"colando" apropriadamente os lados A1 com A2 do retângulo X e, em seguida,
"colando" os lados B1 com B2 . O resultado …nal é o toro; veja Figura 2.
References
[1] Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, NY, 2001.
[2] James R. Munkres, Topology Second Edition, Prantice-Hall, Inc., NJ, 2000.
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THIAGO GINEZ VELANGA M OREIRA
Departamento de Matemática, Universidade Federal de Rondônia, Campus-BR 364,
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