Espaços Quociente e sua Topologia

Universidade Federal da Rondônia
Núcleo de Ciências Exatas e da Terra
Departamento de Matemática
Curso de Matemática
Espaços Quociente e sua Topologia
Quéssia de Oliveira Gimenes
2014
Universidade Federal de Rondônia
Núcleo de Ciências Exatas e da Terra
Departamento de Matemática
Curso de Matemática
Espaços Quociente e sua Topologia
por
Quéssia de Oliveira Gimenes
sob orientação do
Prof. MSc. Thiago Ginez Velanga Moreira
Outubro de 2014
Porto Velho-RO
ii
Universidade Federal de Rondônia
Núcleo de Ciências Exatas e da Terra
Departamento de Matemática
Curso de Matemática
Espaços Quociente e sua Topologia
por
Quéssia de Oliveira Gimenes
Monogra…a apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal
da Rondônia, como requisito para a obtenção do grau de Lincenciado em Matemática.
Área de Concentração: Geometria/Topologia
Aprovada por:
Prof. Msc. Thiago Ginez Velanga Moreira - UNIR (Orientador)
Prof. Dr. Abel Ahmed Ahbid Delgado Ortiz - UNIR (Membro Titular)
Prof. Dr. Tomas Daniel Menéndez Rodriguez - UNIR (Membro Titular)
iii
A minha mãe, com todo amor.
iv
Agradecimentos
Primeiramente agradeço a Deus, por esta conquista e por me dar forças e por colocar
ao meu lado pessoas que me incentivaram a conclusão deste trabalho.
A minha mãe, Francisca Ediane Brito de Oliveira, razão da minha vida, que sempre
me apoiou, me motivou a seguir com meus estudos, a pessoa que me deu força para
alcançar os meus objetivos, lutando por mim e comigo quando precisei e principalmente
me dando amor e carinho que só uma mãe pode dar ao seu …lho.
Aos meus amigos e colegas acadêmicos que estiveram comigo ao longo dessa
caminhada.
Aos meus professores, que acreditaram em mim e me incentivaram a chegar até aqui.
E, principalmente ao meu orientador, Prof. Ms. Thiago G. Velanga Moreira, que
me deu todo apoio necessário para desenvolver este trabalho, dedicando muito do seu
tempo e paciência.
v
Resumo
Este trabalho é o resultado de um estudo sobre os Espaços Quociente, também
conhecido como espaço identi…cação, e a sua Topologia. Serão mostrados alguns
resultados preliminares em Teoria dos Conjuntos e Lógica, tendo como principal
resultado nessa primeira parte o Teorema Fundamental das Classes de Equivalência.
Logo em seguida, passando pela Topologia Geral, são enuciados conceitos básicos que
se farão necessários para uma melhor compreensão do tema principal. Finalmente,
apresentaremos os Espaços Quociente e a sua Topologia de…nindo Topologia Quociente,
Aplicação Quociente e Espaço Quociente, explicando o motivo dele também ser
conhecido como espaço identi…cação e a sua relação com o conceito de Conjunto
Quociente dos cursos de Álgebra utilizando o Teorema Fundamental das Classes de
Equivalêcia como vínculo. Como exemplo, mostraremos a construção do Toro e
da Esfera e a topologia quociente existentes neles. Os resultados principais estão
destacados na última seção.
Palavras-Chave: Espaço quociente. Topologia Quociente. Aplicação quociente.
Espaço Identi…cação. Classes de Equivalência.
vi
"Um monstro ou uma bela senhora, a forma como vemos a Matemática é produto
dos nossos esforços."
(Prof. Jerriomar Ferreira)
vii
Sumário
1 Tópicos em Teoria dos Conjuntos e Lógica
1.1 Relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Relações de equivalência e partições . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Noções de Topologia Geral
2.1 Espaços Topológicos . . . . . . .
2.2 Bases para uma topologia . . . .
2.3 A topologia produto sobre X Y
2.4 Funções contínuas . . . . . . . . .
2.5 Subespaços e topologia relativa .
2.6 Homeomor…smos . . . . . . . . .
2.7 Espaços de Hausdor¤ . . . . . . .
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3 Espaços Quociente e sua Topologia
3.1 A aplicação quociente . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 A topologia quociente . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 O espaço identi…cação . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 A esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 O toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Os principais resultados . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Restrição de aplicações quociente . . . . .
3.4.2 Composição de aplicações quociente . . . .
3.4.3 Produto cartesiano de aplicações quociente
3.4.4 Funções contínuas sobre espaços quociente
viii
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32
34
Introdução
Este trabalho de conclusão de curso é fruto de estudos realizados pela autora, em
co-autoria com seu orientador professor MSc. Thiago Ginez Velanga Moreira, dentro
do Grupo de Estudos e Pesquisa em Matemática Avançada (GEMA), em sua linha de
pesquisa "Estudos em Topologia Algébrica", durante todo ano de 2014. Paralelamente,
parte dele, especi…camente, a construção algébrica e topológica do toro e da esfera,
foi desenvolvida no projeto de iniciação cientí…ca "Integrando a Amazônia"vinculado
à Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). Tal construção também foi apresentada
no III Colóquio de Matemática da Região Norte (III CMRN 2014) em sua I Jornada de
Iniciação Cientí…ca como parte das atividades da autora no projeto, podendo também
ser encontrado em http://www.dmat.unir.br/:
O Capítulo 1 é básico, visto geralmente num primeiro curso de Álgebra ou Teoria
dos Conjuntos, tem a pretensão de estabelecer o vínculo entre a Álgebra e a Topologia
utilizadas neste trabalho, via Teorema Fundamental das Classes de Equivalência,
resultado principal do capítulo.
O Capítulo 2 reune alguns fatos básicos da Topologia Geral que se farão necessários
para a compreensão de nosso resultado principal que se encontra no Capítulo 3. Neste
último capítulo, atingimos nosso principal objetivo ao estudar os Espaços Quociente e
sua topologia. Introduzimos o conceito de espaço quociente (também conhecido como
espaço identi…cação) e apresentamos aí um tratamento completo desses espaços e de
sua topologia (a Topologia Quociente), passando por todas as de…nições, propriedades
e resultados que fundamentam a teoria, incluindo vários exemplos que a ilustram. Os
principais exemplos do Capítulo 3 são o toro e a esfera, os quais construímos e os
apresentamos como exemplos de espaço identi…cação colocando seus abertos à mostra.
Para …nalizar, gostaríamos de incentivar o leitor a ir mais além ao lembrá-lo que
este último capítulo é também um pré-requisito essencial para o estudo da Topologia
Algébrica. Trata-se de uma poderosa ferramenta a ser utilizada neste vasto ramo da
Topologia que, por sua vez, é amplamente estudado e cobrado em disciplinas e exames
de quali…cação de programas de mestrado e doutorado acadêmicos em matemática
pura no Brasil e fora dele. Cumpridas estas etapas, o leitor estará apto a aplicar tais
conhecimentos para ajudá-lo a compreender por exemplo [4], nossa principal referência
para o estudo da área.
ix
Capítulo 1
Tópicos em Teoria dos Conjuntos e
Lógica
1.1
Relações
Não de…niremos relações aqui, para maiores detalhes veja, por exemplo, [1].
1.1.1
Relações de equivalência e partições
De…nição 1.1.1 Seja R uma relação de…nida num conjunto A. Dizemos que R é
uma relação de equivalência em A quando, para quaisquer x; y; z 2 A, as seguintes
propriedades são satisfeitas:
1. xRx (Re‡exiva)
2. xRy , yRx (Simétrica)
3. [xRy e yRz] ) xRz (Transitiva)
De…nição 1.1.2 Uma classe de equivalência do elemento x 2 A com respeito à relação
é o conjunto
[x] = fa 2 A; a xg.
De…nição 1.1.3 O conjunto formado por todas as classes [x], com x 2 A, é chamado
conjunto quociente de A pela relação de equivalência
Proposição 1.1.4 Seja ~ uma relação de equivalência em um conjunto A e sejam
x; y 2 A. Então,
1. [x] = [y] , x
y;
2. [x] 6= [y] ) [x] \ [y] = ?;
1
3. [ [x] = A.
x2A
Demonstração:
1. Suponha que[x] = [y], vamos mostrar que x
y. Temos que
x 2 [x] = [y] ) x 2 [y]
)x
Suponha que x
y.
y, vamos mostrar que [x] = [y]. Mostraremos
[x]
[y]
(1.1)
[y]
[x] .
(1.2)
e
Seja a 2 [x], vamos mostrar que a 2 [y]. Temos
a 2 [x] ) a
e, temos por hipótese que x
que
y. Como
x
é uma relação de equivalência, temos
y ) a 2 [y] .
a
Isso mostra (1.1). Para mostrar (1.2),
a 2 [y] ) a
Como x
y, por simetria vale que y
(a
y.
x. Assim,
yey
x) ) a
x
) a 2 [x],
obtendo (1.2). Logo, obtemos a igualdade [x] = [y], provando o primeiro item.
2. Suponha que
[x] \ [y] 6= ?
e seja a 2 [x] \ [y]. Então,
a 2 [x] e a 2 [y]
) [a
xea
y]
) [x
aea
y]
)x
Pelo item (1); segue que [x] = [y].
2
y
3. Mostraremos que
[ [x].
A
x2A
(1.3)
Seja x 2 A qualquer. Vamos mostrar que [ [x].
x2A
x 2 A ) x 2 [x]
) x 2 [ [x],
x2A
mostrando que [ [x]. Por outro lado dado a 2 [ [x], então existe x0 2 A tal
x2A
x2A
que
a 2 [x0 ] = fa 2 A; a x0 g
) a 2 A,
mostrando que
[ [x]
x2A
A:
(1.4)
De (1.3) e (1.4), vem que [ [x] = A e a proposição está provada.
x2A
De…nição 1.1.5 (Partição) Uma partição de um conjunto A é uma coleção de
subconjuntos não-vazios e disjuntos de A cuja união é igual a A. Mais explicitamente,
dizemos que uma coleção P
P (A) é uma partição do conjunto A quando forem
satisfeitas as seguintes condições:
(i) Para todos B1 ; B2 2 P, com B1 6= B2 , tem-se que B1 \ B2 = ?;
(ii) [ B = A.
B2P
Proposição 1.1.6 Seja A um conjunto. Dada uma partição P do conjunto A existe
uma única relação de equivalência sobre A tal que
A= = P
Demonstração: De…na sobre A a seguinte relação:
x; y 2 A; x
y , 9B 2 P; x; y 2 B.
A relação é re‡exiva pois, dado x 2 A temos pela condição (ii) da De…nição 1.1.5 que
x 2 [ B. Logo, existe B 2 P tal que x 2 B, mostrando que
B2P
x
x; 8x 2 A.
Para ver que a relação é simétrica, sejam dados x; y 2 A tais que x y. Então, existe
B 2 P tal que x; y 2 B. Assim, y
x, mostrando a simetria. Mostraremos agora a
3
transitividade da relação. Sejam dados x; y; z 2 A arbitrários. Suponha que x
y z. Então, existem B1 ; B2 2 P tais que
y e
x; y 2 B1
=) y 2 B1 \ B2 .
y; z 2 B2
Segue da condição (i) da De…nição 1.1.5 que B1 = B2 . Pondo B = B1 = B2 , obtemos
que x; z 2 B, com B 2 P. Daí, vem que x z. Falta mostrar a igualdade
A= = P.
Por de…nição, temos que
A= = f[x] ; x 2 Ag :
Seja dado C 2 A= . Existe x 2 A tal que
C = [x] = fy 2 A; y
xg .
Como x 2 A = [ B, existe B = Bx 2 P tal que x 2 Bx . A…rmamos que C = Bx 2 P.
B2P
De fato,
Por outro lado,
y 2 Bx ) y; x 2 Bx , com Bx 2 P
)
y x
)
y 2 [x] = C.
y 2 C = [x] )
y x
.
) 9B 0 2 P; y; x 2 B 0
Como x 2 Bx , segue que Bx \ B 0 6= ?, com Bx ; B 0 2 P. Então, segue da condição (i)
da De…nição 1.1.5 que y 2 B 0 = Bx , donde vem que C = Bx 2 P: Reciprocamente,
seja C 2 P: Existe x 2 C, para algum x 2 A (pois C é subconjunto não-vazio de A).
Mostraremos que C = [x] 2 A= : De fato,
y 2 C ) y; x 2 C, com C 2 P
)
y x
)
y 2 [x]
Por outro lado,
y 2 [x] )
y x
) 9B 2 P; y; x 2 B
Como x 2 C, segue que x 2 B \ C onde B; C 2 P. Novamente pela condição (i) da
De…nição 1.1.5, y 2 B = C, mostrando que C = [x] 2 A= . Portanto, concluímos que
A= = P:
Prova da Unicidade: Suponhamos que existem duas relações de equivalência R1 e
R2 sobre A tais que
A=R1 = P=A=R2 :
4
Mostraremos que
R1 = R2 :
Basta mostrar que
yR1 x , yR2 x,
para todos x; y 2 A. De fato, sejam dados x; y 2 A quaisquer e, ponha
E1 = fz 2 A; zR1 xg e E2 = fz 2 A; zR2 xg .
Então, E1 2 A=R1 e E2 2 A=R2 . Segue da hipótese que E1 ; E2 2 P e, como x 2 E1 \E2 ,
segue que E1 = E2 : Assim,
yR1 x , y 2 E1 = E2
,
yR2 x
para todos x; y 2 A. Concluímos que
R1 = R2 :
Podemos então enunciar agora o Teorema Fundamental das Classes de
Equivalência
Teorema 1.1.7 Seja A um conjunto não vãzio.
(1) Se
de…ne uma relação de equivalência sobre A então o conjunto quociente
A= := f[x]; x 2 Ag
das classes de equivalência de
forma uma partição de A.
(2) Se P é uma partição de A então, existe uma única relação de equivalência sobre
A cujas classes de equivalência são exatamente os elementos da partição P. Isto
é,
A= = P.
Demonstração: Consequência imediata das proposições 1.1.4 e 1.1.6:
5
Capítulo 2
Noções de Topologia Geral
Neste capítulo, reunimos alguns fatos básicos da Topologia Geral que se farão
necessários para a compreensão de nosso resultado principal, que são os Espaços
Quociente e sua topologia. Alguns resultados encontram-se apenas enunciados, sem
demonstração. Para um estudo mais detalhado neste assunto recomendamos [8], [9],
[5], [11] e [10], nesta ordem de prioridade. Muitas vezes usaremos ao longo de todo
trabalho e, sem mencionar, resultados básicos da teoria de conjuntos e funções. O
leitor em dúvida poderá (e deverá) consultar [6, Capítulo 1].
2.1
Espaços Topológicos
Lembremos da de…nição de espaços topológicos.
De…nição 2.1.1 Seja X um conjunto qualquer. Uma topologia em X é uma coleção
de subconjuntos de X, chamados conjuntos abertos, que satisfaz:
a) A união qualquer de elementos de
b) A interseção …nita de elementos de
é também um elemento de ;
é também um elemento de
;
c) X e ? pertencem a
Dizemos que (X; ) é um espaço topológico, que abreviaremos para X quando não
houver possibilidade de confusão.
De…nição 2.1.2 Se X é um espaço topológico e E X, dizemos que E é fechado em
X se, e somente se, seu complementar X E é aberto.
De…nição 2.1.3 Dado um subconjunto A de um espaço topológico X, de…nimos o
fecho de A como sendo a interseção de todos os subconjuntos fechados de X contendo
A.
O fecho de A é denotado por A.
6
De…nição 2.1.4 Seja X um espaço topológico e seja x 2 X. Uma vizinhança de x é
qualquer subconjunto U X aberto que contém x.
Um exercício fácil e útil é o seguinte:
Proposição 2.1.5 Sejam dados um espaço topológico X e um subconjunto A
Então, A é fechado em X se, e somente se, A = A.
X.
De…nição 2.1.6 Um ponto de acumulação de um conjunto A em um espaço
topológico X é um ponto x 2 X tal que cada vizinhança de x contém algum ponto
de A, diferente de x. O conjunto A0 formado por todos os pontos de acumalação de A
é chamado derivado de A.
Proposição 2.1.7 Tem-se que A = A [ A0 .
2.2
Bases para uma topologia
De…nição 2.2.1 Seja X um conjunto. Uma base para uma topologia em X é uma
coleção B de subconjuntos de X (chamados elementos básicos) que cumpre as seguintes
condições:
1. Para cada x 2 X, existe B 2 B tal que x 2 B:
2. Dados x 2 X e B1 ; B2 2 B tais que x 2 B1 \ B2 , existe B3 2 B tal que
x 2 B3
B1 \ B2 :
A partir de uma base B, de…nimos a topologia
De…na
uma coleção de subconjuntos U
gerada por B como segue:
X tais que
8x 2 U; 9Bx 2 B tal que x 2 Bx
Note que B
Mostraremos que
U.
.
é uma topologia em X. De fato,
(i) ? e X 2
? 2 (por vacuidade). Agora, dado x 2 X, pelo item (1) da De…nição 2.2.1,
existe B = Bx 2 B tal que
x 2 Bx X,
mostrando que X 2 .
7
n
(ii) Dados U1 ; :::; Un 2 , tem-se
\ Ui 2 :
i=1
Primeiro provaremos que se U1 ; U2 2
então (U1 \ U2 ) 2 . De fato, tome
x 2 U1 \ U2 . Então x 2 U1 e x 2 U2 . Como U1 ; U2 2 , existem B1 ; B2 2 B tais
que
x 2 B1
x 2 B2
U1
U2
) x 2 B1 \ B2
U1 \ U2 :
Pelo item (2) da De…nição 2.2.1, existe B3 2 B tal que
x 2 B3
B1 \ B2
U1 \ U2 ,
provando que U1 \ U2 2 . Por indução, mostraremos que dados n 2 N e
n
U1 ; U2 ; :::; Un 2 , tem-se \ Ui 2 . Isto concluírá (ii). De fato, se n = 1
i=1
a propriedade é claramente satisfeita. Suponha que a propriedade seja verdadeira
para n > 1, isto é
(U1 ; U2 ; :::; Un 2 ) )
n
\ Ui 2
(hipótese de indução):
i=1
Devemos mostrar que
n+1
(U1 ; U2 ; :::; Un ; Un+1 2 ) )
\ Ui
i=1
2
(tese)
De fato, segue da hipótese de indução que
n
\ Ui 2 .
i=1
Pela primeira parte da demosntração obtem-se
n+1
\ Ui
i=1
n
\ Ui \ [n+1 2
=
i=1
concluindo a prova e provando (ii).
(iii) Seja fUi gi2I uma família de elementos Ui 2 . Mostraremos que
De fato, dado x 2
[ Ui
i2I
x2B
)
[ Ui
i2I
2
2 .
existe i0 2 I tal que x 2 Ui0 . Como Ui0 2 , existe
Bx = B 2 B tal que
mostrando que
[ Ui
i2I
[ Ui
Ui0
x2B
i2I
[ Ui ,
i2I
e concluindo (iii).
8
Segue de (i), (ii) e (iii) que
é topologia.
de…nida em X logo acima é chamada topologia gerada
De…nição 2.2.2 A topologia
pela base B em X.
2.3
A topologia produto sobre X
Y
Sejam X e Y espaços topológicos. Mostraremos que é possível de…nir uma topologia
em X Y que tem como base o conjunto
B= fU
V
Y ; U é aberto em X e V aberto em Y g.
X
Tal topologia será chamada topologia produto (ou box topology) sobre X Y .
De fato, mostraremos que B é base para uma topologia em X Y . Para isso,
mostraremos que valem os itens (1) e (2) da De…nição 2.2.1.
Prova de (1): Seja dado (x; y) 2 X Y . Pondo B = X Y , temos que B 2 B tal
que (x; y) 2 B. Isto prova (1).
Prova de (2): Sejam dados (x; y) 2 X Y e B1 ; B2 2 B tais que
(x; y) 2 B1 \ B2 :
Mostraremos que existe B3 2 B tal que
(x; y) 2 B3
B1 \ B2 .
Temos que
B1 = U1
V1 e B2 = U2
V2 ,
com U1 ; U2 abertos em X e V1 ; V2 em abertos em Y . Por hipótese,
(x; y) 2 (U1
Pondo B3 = (U1 \ U2 )
V1 ) \ (U2
V2 ) = (U1 \ U2 )
(V1 \ V2 ).
(V1 \ V2 ) segue que B3 2 B tal que
(x; y) 2 B3 = B1 \ B2 ;
provando (2).
Assim, concluímos que B é base para uma topologia em X
De…nição 2.3.1 A topologia em X
B= fU
V
X
Y:
Y que tem a coleção
Y ; U é aberto em X e V aberto em Y g
como base, é chamada topologia produto (ou box topology) de X
Y
Teorema 2.3.2 Seja (X; ) um espaço topológico no qual sua topologia
uma base B. Então, para cada U 2 , existe C B tal que
é gerada por
U= [V
V 2C
Em outras palavras, cada aberto da topologia pode ser representado como união de
elementos da base.
9
2.4
Funções contínuas
De…nição 2.4.1 Sejam X e Y espaços topológicos e seja f : X ! Y uma função.
Então f é continua em x0 2 X se e somente se para cada vizinhança V de f (x0 ) em
Y , existir uma vizinhança U de x0 em X tal que f (U ) V: Dizemos que f é contínua
em X quando f for contínua em cada ponto de X.
Teorema 2.4.2 Se X e Y são espaços topológicos e f : X ! Y é uma função, as
seguintes a…rmações são equivalentes:
(a) f é contínua;
(b) para cada aberto H em Y , temos que f
1
(H) é aberto em X;
1
(c) para cada fechado K em Y , temos que f
(d) para cada E
X, f (ClX (E))
(K) é fechado em X;
ClY (f (E)).
Proposição 2.4.3 Seja f : X ! Y uma função entre espaços topológicos e suponha
que a topologia de Y é dada por uma base B. A…m de mostrar que f é contínua, é
su…ciente mostrar que
f 1 (B) é aberto em X,8B 2 B:
(2.1)
Demonstração: De fato, suponha que a topologia de Y seja gerada pela base B e que
f cumpra a condição (2.1). Mostraremos que f é contínua. Dados U aberto em Y , pelo
Teorema (2.3.2) existe C B tal que
U = [ V:
V 2C
Logo,
f
1
(U ) = f
1
( [ V)
V 2C
1
= [f
Como f satisfaz (2.1), segue que f
f
1
1
(V )
V 2C
(V ) é aberto em X, para cada V 2 C: Portanto,
(U ) = [ f
1
V 2C
(V )
é aberto em X. Isto mostra que f é contínua.
Teorema 2.4.4 Se X; Y e Z são espaços topológicos e f : X ! Y e g : Y
funções contínuas, então a composta g f : X ! Z é contínua.
! Z são
Demonstração: Seja dado H é aberto em Z. Sabemos que
(g f )
1
(H) = f
1
g
1
(H) .
Como g é contínua, temos que g 1 (H) é aberto em Y . Como f é contínua, obtemos
que
(g f ) 1 (H) = f 1 g 1 (H)
é aberto em X. A continuidade da composta (g f ) segue portanto do Teorema 2.4.2:
10
2.5
Subespaços e topologia relativa
0
De…nição 2.5.1 Se (X; ) é um espaço topológico e A X, a coleção = fG\A; G 2
g é uma topologa em A, chamada topologia relativa. Um subconjunto A de um
espaço topológico (X; ), com a topologia relatica, é chamado subespaço.
Teorema 2.5.2 Seja A um subespaço de um espaço topológico X. Então,
(a) H
A é aberto em A se, e somente se, H = G \ A, com G aberto em X;
(b) F
A é fechado em A se, e somente se F = K \ A, com K fechado em X;
(c) Se E
A, então ClA (E) = A \ ClX (E);
(d) Se x 2 A, então, V é uma vizinhança de x em A se, e somente se, V = U \ A,
onde U é uma vizinhança de x em X;
(e) Se x 2 A e se Bx é uma base de vizinhanças para x 2 X, então fB \ A; B 2 Bx g
é uma base de vizinhanças para x em A;
(f) Se B é base para X então, fB \ A; B 2 Bg é uma base para A.
Exercício 2.5.3 Mostre que se Y é subespaço de X, e A Y , então a topologia que
A herda como subespaço de Y é a mesma topologia que A herda como subespaço de X:
Demonstração: Ponhamos (X; ) e (Y; Y ), com Y subespaço de X. Suponha A Y
e sejam 1 e 2 as topologias que A herda como subespaço de Y e X, respectivamente.
Mostraremos que 1 = 2 . De fato,
G2
1
,
G = A \ U , com U 2 y
, G = A \ (Y \ V ), com V 2
,
G = A \ V , com V 2
,
G 2 2,
mostrando que
1
=
(pois Y é subespaço de X)
(pois A Y )
2.
Teorema 2.5.4 Seja X um espaço topológico e Y
X fechado em X. Um subconjunto
F Y é fechado em Y se, e somente se, F é fechado em X.
Demonstração:
X tal que
Suponha F
Y fechado em Y . Então, existe K
Como Y é fechado em X, segue que
F = K \ Y:
F = K \ Y é fechado em X.
Reciprocamente, se F
Y é fechado em X então,
F =F \Y,
com F fechado em X. Logo, F é fechado em Y .
11
X fechado em
Observação 2.5.5 Note que o Teorema 2.5.4 também é verdadeiro com "aberto"no
lugar de "fechado":
De…nição 2.5.6 Se f : X ! Y e A X, denotaremos por f jA a restrição de f a A,
ou seja, a função
f jA : A ! Y
dada por f jA (a) = f (a), para cada a em A:
Proposição 2.5.7 Se A X e f : X ! Y é contínua então, f jA : A ! Y é contínua.
Demonstração: Se H é aberto em Y; então (f jA ) 1 (H) = f 1 (H)\A, e este conjunto
é aberto na topologia relativa de A.
Teorema 2.5.8 Se X = A [ B, com A e B abertos (ou ambos fechados) em X, e
f : X ! Y é uma função tal que f jA e f jB são contínuas, então f é contínua.
Demonstração: Suponha A e B ambos abertos em X e seja H aberto em Y . Como
f
1
(H) = (f jA )
1
(H) [ (f jB )
1
(H);
e como (f jA ) e (f jB ) são contínuas, temos que (f jA ) 1 (H) e (f jB ) 1 (H) são abertos
em A e B, respectivamente. Como A e B são abertos em X, segue que (f jA ) 1 (H) e
(f jB ) 1 (H) são também abertos em X. Daí f 1 (H) é aberto em X, pois é união de
abertos.
Exercício 2.5.9 Suponha Y
Z e f : X ! Y . Mostre que f é contínua se, e somente
se, f vista como função de X em Z é contínua.
2.6
Homeomor…smos
De…nição 2.6.1 Se X e Y são espaços topológicos, f : X ! Y é contínua, bijetiva e
f 1 é contínua, dizemos que f é um homeomor…smo e que X e Y são homeomorfos.
Se f : X ! Y é injetiva e f : X ! f (X) é um homeomor…smo, dizemos que f é
um mergulho de X em Y; e que X está mergulhado em Y por f:
Teorema 2.6.2 Se X e Y são espaços topológicos e f : X ! Y é bijetiva, as seguintes
a…rmações são equivalentes:
(a) f é um homeomor…smo;
(b) se G
X, então f (G) é aberto em Y se e somente se G é aberto em X;
(c) se F
X, então f (F ) é fechado em Y se e somente se F é fechado em X;
(d) se E
X, então f (ClX (E)) = ClY (f (E))
12
2.7
Espaços de Hausdor¤
De…nição 2.7.1 Dizemos que um espaço topológico X é um espaço de Hausdorjj se,
para cada x1 e x2 , elementos distintos de X, existem abertos disjuntos que separam x1
e x2 .
Em R, considere a topologia do complementar …nito, isto é
= fU
Seja F
R; (R
U ) é …nito ou (R
U ) = Rg
R um subconjunto …nito de R. Digamos
F = fx1 ; :::; xn g.
Então, (R
F ) 2 , donde vem que F é fechado.
De…nição 2.7.2 Dizemos que um espaço topológico X satisfaz o axioma T1 quando
todo subconjunto …nito de X é fechado.
Teorema 2.7.3 Seja X um espaço topológico. Se X é Hausdor¤ então, X satisfaz o
axioma T1 .
A recíproca nao é verdadeira em geral. Considere (R; ), onde é a topologia do
complementar …nito. Temos que R satisfaz o axioma T1 mas (R; ) não é Hausdor¤.
Para provar (R; ) não é hausdor¤. Tome x1 ; x2 2 R, com x1 6= x2 . Sejam dados
A1 ; A2 abertos arbitrários em X tais que x1 2 A1 e x2 2 A2 . Mostraremos que
A1 \ A2 6= ?: De fato, como A1 ; A2 6= ? então (R A1 ); (R A2 ) 6= R. Logo,
devemos ter (R A1 ) e (R A2 ) ambos …nitos. Suponha agora, por absurdo, que fosse
A1 \ A2 = ?. Então,
R=R
(A1 \ A2 ) = (R
A1 ) [ (R
donde vem que R seria um conjunto …nito, um absurdo.
13
A2 )
Capítulo 3
Espaços Quociente e sua Topologia
3.1
A aplicação quociente
Nesta seção apresentaremos o conceito chave de aplicação quociente e, em seguida,
apresentamos sua versão equivalente para conjuntos fechados.
De…nição 3.1.1 Sejam X e Y espaços topológicos e seja p : X ! Y uma aplicação
sobrejetora. Dizemos que p é uma aplicação quociente quando
p 1 (U ) é aberto em X , U é aberto em Y ,
para todo subconjunto U
Y.
Observação 3.1.2 Ao substituir "aberto"por "fechado"na de…nição acima, obtemos
de…nições equivalentes. Para ver isto, basta lembrar que
p 1 (Y
U) = X
p 1 (U );
para todo subconjunto U
Y . A igualdade acima é um fato elementar em teoria de
conjuntos. Uma prova pode ser encontrada, por exemplo, em [6, pág. 20].
É possível, e também útil, caracterizar aplicações quocientes via conjuntos
saturados, os quais de…niremos logo abaixo.
De…nição 3.1.3 Seja p : X ! Y uma aplicação sobrejetiva entre conjuntos quaisquer.
Um subconjunto C
X é dito saturado (com respeito à aplicação sobrejetiva p)
quando C contém cada conjunto p 1 (fyg) que o intersecta. Em símbolos:
C
p 1 (fyg); sempre que p 1 (fyg) \ C 6= ?:
Note que na de…nição acima não foi exigido que X e Y sejam espaços topológicos.
Basta que sejam conjuntos quaisquer.
14
Proposição 3.1.4 Seja p : X ! Y uma aplicação sobrejetiva entre conjuntos e seja
C
X. Se C é a imagem inversa, via p, de algum subconjunto de Y então, C é
saturado (com respeito a p).
Demonstração: Suponha que exista U
Y tal que
C = p 1 (U ):
Seja dado y 2 Y tal que
p 1 (fyg) \ C 6= ?,
mostraremos que
C
p 1 (fyg):
(3.1)
Temos que
? 6= p 1 (fyg) \ C = p 1 (fyg) \ p 1 (U )
=
p 1 (fyg \ U ).
Assim
p 1 (fyg \ U ) 6= ? ) (fyg \ U ) 6= ?
)
y 2 U.
Agora,
x 2 p 1 (fyg) ) x 2 X; p (x) 2 fyg
) x 2 X; p (x) = y 2 U
)
x 2 p 1 (U ) ,
mostrando (3.1) e, portanto, concluindo a prova.
Proposição 3.1.5 Seja p : X ! Y uma aplicação sobrejetiva entre conjuntos e seja
C X. Se C X é saturado em X (com respeito à aplicação sobrejetiva p : X ! Y ),
então, C é a imagem inversa de algum subconjunto U Y .
Demonstração: Ponha U = p(C). Mostraremos que
C = p 1 (U ):
Já sabemos que a inclusão ( ) sempre ocorre (para qualquer função) pois,
x 2 C ) p(x) 2 p(C)
) x 2 p 1 (p(C))
Basta mostrar que p 1 (p(C))
C. De fato,
x 2 p 1 (p(C)) )
p(x) 2 p(C)
) p(x) = p(x0 ), para algum x0 2 C
)
x0 2 p 1 (fp(x)g) \ C
15
e, como C é saturado em X, segue que
C
p 1 (fp(x)g),
e, portanto,
x 2 p 1 (fp(x)g)
C,
concluindo a demonstração.
Podemos agora enunciar a seguinte caracterização dos conjuntos saturados.
Proposição 3.1.6 Seja p : X ! Y uma aplicação sobrejetiva entre conjuntos X e Y
quaisquer. Um subconjunto C
X é saturado (com respeito a p) se, e somonte se,
C = p 1 (p(C)):
A partir de agora, precisaremos exigir que os conjuntos X e Y sejam espaços
topológicos. Daremos, a seguir, uma caracterização de aplicação quociente utilizando o
conceito de conjunto saturado.
Proposição 3.1.7 Seja p : X ! Y uma aplicação sobrejetiva entre espaços topológicos.
Então, p é uma aplicação quciente se, e somente se, p é continua e leva aberto saturado
de X (respectivamente, saturado fechado de X) em aberto de Y (respectivamente,
fechado de X).
Demonstração: Suponha p uma aplicação quociente. Da própria De…nição 3.1.1
segue que p é contínua. Além disso, se C
X é aberto saturado em X então, pela
Proposição 3.1.6,
p 1 (p(C)) = C:
Como C é aberto em X e p é aplicação quociente, segue da De…nição 3.1.1 que
p(C) é aberto em Y .
Reciprocamente, suponha que p : X ! Y é contínua e leva aberto saturado de X em
aberto de Y . Seja dado U Y arbitrário. Como p é continua obtemos que
U aberto em Y ) p 1 (U ) é aberto em X.
(3.2)
Pondo C = p 1 (U ), segue de (3.2) e da Proposição 3.1.4 que C é aberto saturado (com
respeito a p) em X. Da hipótese e do fato de p ser sobrejetiva obtemos que
U = p(p 1 (U )) = p(C) é aberto em Y ,
mostrando que
p 1 (U ) é aberto em X ) U é aberto em Y
De (3:2) e (3:3) segue que p é uma aplicação quociente.
16
(3.3)
De…nição 3.1.8 Uma aplicação f : X ! Y entre espaços topológicos é chamada
aplicação aberta quando, para cada aberto U de X, o conjunto f (U ) é aberto em Y .
De…nição 3.1.9 Uma aplicação f : X ! Y entre espaços topológicos é chamada
aplicação fechada quando, para cada fechado U de X, o conjunto f (U ) é fechado em
Y.
Observação 3.1.10 De agora em diante, neste trabalho, consideraremos apenas
aplicações entre espaços topológicos, a menos que algo seja mencionado em contrário.
Proposição 3.1.11 Se uma aplicação p : X ! Y é sobrejetiva, contínua e aberta (ou
fechada), então, p é uma aplicação quociente.
Demonstração: Mostraremos que
p 1 (U ) é aberto em X , U é aberto em Y ,
(3.4)
para todo subconjunto U Y: A implicação (() segue da hipótese de que p é contínua:
Para mostrar ()), suponha que p 1 (U ) seja aberto em X, com U
Y . Como p é
sobrejetiva,
U = p(p 1 (U )).
Como p é aberta, segue queU = p(p 1 (U )) é aberto em Y . Isto conclui (3.4), mostrando
que p é aplicação quociente. Mostraremos agora que (3.4) também é verdade quando p
é uma aplicação fechada. De fato, temos novamente que implicação (() é consequência
da hipótese de p ser contínua. Para mostrar ()), suponha que p 1 (U ) seja aberto em
X, com U Y . Então,
X p 1 (U ) é fechado em X.
Como
X
p 1 (U ) = p 1 (Y
U)
e p é sobrejetiva, tem-se que
Y
U = p(X
p 1 (U )) é fechado em Y ,
pois p é fechada: Segue que U é aberto em Y . Isto prova (3.4) e, portanto, conclui que
p é uma aplicação quociente.
Observação 3.1.12 A recíproca da Proposição 3.1.11 não é verdadeira. Isto é, existem
aplicações quociente que não são abertas nem fechadas. O Exercício 3 de [8, pág. 145]
traz um contra-exemplo:
A seguir um exemplo de aplicação quociente fechada que não é aberta.
17
Exemplo 3.1.13 Considere o subespaço X = [0; 1] [ [2; 3] de R, e seja Y = [0; 2]
subespaço topológico de R. De…na a aplicação p : X ! Y dada por
x,
p(x) =
x
se x 2 [0; 1]
:
1, se x 2 [2; 3]
Vejamos primeiro que p está bem de…nida. De fato, sejam dados x; y 2 X quaisquer
com x = y. Se for x 2 [0; 1] obtemos p (x) = p (y). Se for x 2 [2; 3], obtemos
p(x) = x
1 =y
1 = p(y).
Em todo caso, tem-se p (x) = p (y), mostrando que p está bem de…nida. A continuidade
de p segue do Teorema 8.8 de [9].
Para ver que p é sobrejetiva, tome y 2 [0; 2] arbitrário. Se for y 2 (1; 2], escolhendo
x = y + 1, tem-se que x 2 (2; 3] X com
y=x
1 = p(x):
Se for y 2 [0; 1], basta escolher x = y e obter que
y = x = p (x) .
Em todo caso, existe x 2 X tal que y = p (x), mostrando que p é sobrejetora.
Mostraremos agora que p é uma aplicação fechada. De fato, seja dado F
X
fechado em X = [0; 1] [ [2; 3]. Existe K R fechado em R tal que F = K \ X. Temos
daí que,
p (F ) = p (K \ X)
= p (K \ ([0; 1] [ [2; 3]))
= p ((K \ ([0; 1]) [ (K \ [2; 3]))
= p(K \ ([0; 1]) [ p(K \ [2; 3])
= (K \ ([0; 1]) [ p(K \ [2; 3])
O último membro da igualdade acima é fechado em Y . Para ver isso, primeiro note
que
p(K \ [0; 1]) = K \ [0; 1];
que é fechado em Y , pois
(K \ [0; 1]) = (K \ [0; 1]) \ Y ,
com (K \ [0; 1]) fechado em R. Para mostrar que p(K \ [2; 3]) também é fechado em
Y , note que a restrição pj[2;3] é um homeomor…smo de [2; 3] em [1; 2] (Veja os cálculos
na Observação 3.1.14 logo abaixo). Pelo Teorema 2.6.2, segue que
p (K \ [2; 3]) = pj[2;3] (K \ [2; 3])
18
é fechado em [1; 2]. Do Teorema 2.5.4, segue que pj[2;3] (K \ [2; 3]) é fechado em Y .
Daí,
p(F ) = (K \ [0; 1]) [ p(K \ [2; 3])
é fechado em Y , mostrando que p é aplicação fechada. Com isso, temos concluído até
aqui que p é contínua, sobrejetora e fechada. Segue da Proposição (3.1.11) que p é uma
aplicação quociente.
Mostraremos agora que p não é aberta. De fato, o conjunto [0; 1] é aberto em
X = [0; 1] [ [2; 3] pois,
1 3
;
\ X,
[0; 1] =
2 2
1 3
onde
; é aberto em R. Como Y [0; 1] = (1; 2] não é fechado R, segue do Teorema
2 2
(2.5.4) que Y [0; 1] não é fechado em Y e, porntanto, p([0; 1]) = [0; 1] não é aberto
em Y . Isto mostra que p não é uma aplicação aberta.
Observação 3.1.14 Mostraremos que a restrição
pj[2;3] : [2; 3] !
Y
x
7 ! (x 1)
é um merguho de [2; 3] em Y . De fato, sabemos da Proposição 2.5.7 que pj[2;3] é
contínua. Temos também que pj[2;3] é injetora. Para ver isso, dados x; y 2 [2; 3]
quaisquer tem-se
pj[2;3] (x) = pj[2;3] (y) =)
p(x) = p(y)
=) x 1 = y 1
=)
x=y
e a restrição é injetora. Restringindo o contra-domínio Y a [1; 2] = pj[2;3] ([2; 3])
obtemos que a função
Y,
pj[2;3] : [2; 3] ! pj[2;3] ([2; 3])
x
7 !
(x 1)
é uma bijeção contínua, cuja inversa
pj[2;3]
1
: [1; 2] ! [2; 3]
y
7 ! (y 1)
é também contínua. Segue que pj[2;3] : [2; 3] ! pj[2;3] ([2; 3]) é um homeomor…smo.
Exemplo 3.1.15 Considere o conjunto A = [0; 1)[[2; 3] subespaço de X e seja q = pjA
a restrição da aplicação p do exemplo anterior ao conjunto A. Então, q : A ! Y é
contínua e sobrejetiva. Como [2; 3] = q 1 ([1; 2]), segue que [2; 3] é um conjunto saturado
de X e, como
3
; 4 \ X,
[2; 3] =
2
19
com 32 ; 4 aberto em R, segue que [2; 3] é aberto saturado de X. Porém, q([2; 3]) = [1; 2]
não é aberto em Y . De fato, seu complementar Y [1; 2] = [0; 1) não é fechado em R
e, pelo Teorema (2.5.4), Y [1; 2] não é fechado em Y . Portanto q([2; 3]) = [1; 2] não
é aberto em Y . Segue da Proposição 3.1.7 que q não é uma aplicação quociente.
3.2
A topologia quociente
Mostraremos agora como a noção de aplicação quociente pode ser usada para
construir uma topologia num conjunto qualquer.
Proposição 3.2.1 Sejam X um espaço topológico, A um conjunto qualquer e
p:X !A
uma aplicação sobrejetiva. Existe (e é única) uma topologia
p é uma aplicação quociente.
em A com relação a qual
Demonstração: De…na
p
A; p 1 (G) é aberto em X :
= G
Mostraremos que p é uma topologia em A. De fato, temos que p 1 (;) = ; o qual, por
sua vez, é aberto em X e, portanto, ; 2 p . Temos também que
p 1 (A) = X,
que é aberto em X, mostrando portanto que ;; A 2 p .
Sejam dados G1 ; G2 ; G3 ; :::; Gn 2 p , mostraremos que
n
\ Gi 2
i=1
A tal que p 1 (Gi ) é aberto em X. Como X é
Para cada i = 1; 2; :::; n, temos que Gi
um espaço topológico, obtemos
1
p
(3.5)
p:
n
n
i=1
i=1
\ Gi = \ p 1 (Gi ),
o qual é aberto em X. Isso conclui (3.5).
Seja agora (G ) 2L uma família de elementos de
[G
2
2L
p.
Mostraremos que
p:
Temos que G
A tal que p 1 (G ) é aberto em X, para cada
topológico, obtemos que
p
1
[G
2L
= [ p 1 (G ),
2L
20
(3.6)
2 L. Como X é espaço
o qual é aberto em X. Isso conclui (3.6). Segue que p é uma topologia em A.
Vamos mostrar agora que p é uma topologia em A com relação à qual p é uma
aplicação quociente. Para ver isto, basta notar que
p : X ! (A; p )
é uma aplicação sobrejetiva entre espaços topológicos que satisfaz a De…nição 3.1.1.
A Unicidade da topologia p .
Suponha que exista uma outra topologia em A com relação a qual p é a aplicação
quociente. Mostraremos que = p : Da hipótese temos que
p : X ! (A; )
é uma aplicação quociente. Daí, pela De…nção 3.1.1
U2
sempre que U
, p 1 (U ) é aberto em X,
A. Daí,
U2
mostrando que as topologias coincidem.
,U 2
p
De…nição 3.2.2 (Topologia Quociente) Sejm X um espaço topológico, A um
conjunto qualquer e p : X ! A uma função sobrejetiva. Vimos que a coleção
p
:= G
A; p 1 (G) é aberto em X
é a única topologia em A que torna p uma aplicação quociente. Esta topologia
chamada topologia quociente induzida por p em A.
Exemplo 3.2.3 Considere o conjunto A = fa; b; cg e de…na p : R ! A dada por
8
< a, se x > 0
b, se x < 0
p(x) =
:
c, se x = 0
Observe que p é sobrejetora. Vamos determinar a topologia quociente
p
= G
A; p 1 (G) é aberto em R
induzida por p em A. A coleção de todos os subconjuntos de A é dada por
2A = f?; A; fag ; fbg ; fcg ; fa; bg ; fa; cg ; fb; cgg .
Temos que
p 1 (fag) = (0; +1), que é aberto em R;
p 1 (fbg) = ( 1; 0), que é aberto em R;
p 1 (fcg) = f0g, que não é aberto em R;
p 1 (fa; bg) = ( 1; 0) [ (0; +1), que é aberto em R;
p 1 (fa; cg) = f0g [ (0; +1) = [0; +1), que não é aberto em R;
p 1 (fb; cg) = ( 1; 0) [ f0g = ( 1; 0], que não é aberto em R:
Portanto, p = f?; A; fag; fbg; fa; bgg:
21
p
é
3.3
O espaço identi…cação
Existe uma situação especial na qual a topologia quociente ocorre com frequência.
A situação é a seguinte:
De…nição 3.3.1 (Espaços Quociente) Seja X um espaço topológico e seja X uma
partição de X em subconjuntos disjuntos não-vazios cuja união é igual ao X todo. Seja
p:X !X
a aplicação sobrejetiva que leva cada ponto x 2 X no elemento (subconjunto de X) de
X que o contém. Quando X está munido com a topologia quociente induzida por p,
dizemos que (X ; p ) é um espaço quociente de X.
O conceito de Espaço Quociente que apresentamos acima está intimamente
relacionado com o conceito de Conjunto Quociente que aprendemos nos cursos de
Álgebra. A conexão entre os dois é feita pelo Teorema Fundamental das Classes de
Equivalência (Teorema 1.1.7), da seguinte maneira: Sejam X um espaço topológico e
X o seu espaço quociente. O Teorema 1.1.7 nos garante a existência de uma relação
de equivalência de…nida sobre X cuja coleção X= = f[x]; x 2 Xg de suas classes de
equivalência coincide com X , isto é
X= = X .
Por este motivo o espaço quociente X é também conhecido como espaço
identi…cação (ou ainda espaço decomposição) do espaço X, pois X pode ser
obtido a partir de X "identi…cando"os pontos que pertencem a uma mesma classe de
equivalência.
Lema 3.3.2 Todo subconjunto U X é uma coleção de classes de equivalência cuja
imagem inversa p 1 (U) é exatamente a união das classes de equivalência pertencentes
a U.
Demonstração: Seja dado U X . Sabemos do Teorema 1.1.7 que existe (e é única)
a relação de equivalência
sobre X tal que X= = X . Assim, podemos escrever
U = ([x ]) 2L X . Mostraremos que
[ [x ] = p 1 (U).
2L
De fato,
x 2 [ [x ] ,
2L
9
, 9
,
,
0
0
2 L tal que x 2 [x 0 ]
2 L tal que p(x) = [x 0 ]
p(x) 2 A
x 2 p 1 (A)
provando (3.7).
22
(3.7)
A seguir apresentamos uma caracterização da topologia (quociente) de X :
Proposição 3.3.3 Sejam X um espaço topológico e X seu espaço quociente. Um
aberto (respec. fechado) em X é uma coleção de classes de equivalência cuja união é
um aberto (respect. fechado) de X.
Demonstração: Seja dado
A = ([x ])
2L
X
um aberto de X . Segue do Lema 3.3.2 que
[ [x ] = p 1 (A).
2L
Pela de…nição da topologia quociente de X obtemos que
[ [x ] = p 1 (A)
2L
é aberto em X.
Reciprocamente, suponha que A seja uma coleção de classes de equivalência
A = ([x ])
2L
X
cuja união [ [x ] é um aberto em X. Pelo Lema 3.3.2 obtemos que
2L
[ [x ] = p 1 (A).
2L
Como [ [x ] é aberto em X, segue que A é aberto em X (na topologia quociente).
2L
A prova para os fechados é idêntica, basta substituir a palavra "aberto"por
"fechado"onde houver.
3.3.1
A esfera
A esfera como espaço identi…cação do círculo
Seja X = f(x; y) 2 R2 ; x2 + y 2 1g a bola unitária fechada no R2 e, seja X a
partição de X formada por todos os conjuntos unitários f(x; y)g intX e pela fronteira
S 1 = f(x; y) 2 R2 ; x2 + y 2 = 1g do círculo X. Considere a aplicação p : X ! X dada
por
f(x; y)g ; se (x; y) 2 (X S 1 )
p (x; y) =
.
S 1;
se (x; y) 2 S 1
Note que p é a aplicação sobrejetora que leva cada ponto de X no elemento da partição
(portanto, subconjunto de X) que o contém. Munindo X com a topologia quociente
induzida por p, obtemos o espaço quociente X do círculo X. Acontece que identi…car
23
os pontos equivalentes, isto é, aqueles que pertencem a uma mesma classe (elemento
da partição) de X, é o mesmo que construir a esfera (superfície de uma bola no R3 ) a
partir do disco X colidindo toda sua fronteira S 1 a um único ponto; veja Figura 1.
Figura 1
A topologia quociente da esfera
Note que a restrição pj(X S 1 ) : (X S 1 ) ! X é injetora. Mostraremos agora que
subconjuntos de X, da forma como U e V abaixo (regiões hachuradas da Figura 2), são
abertos saturados (com respeito a p) em X.
Figura 2
1. Vejamos que o conjunto V da Figura 2 é aberto e saturado (com respeito a p) em
X.
De fato, V é uma bola aberta de R2 com V
X
S 1 . Como
V = X \ V; com V aberto em R2 ,
segue que V é aberto em X. Da …gura pode ser visto que V é saturado, pois
V = q 1 (V ),
(3.8)
onde V = ff(x; y)g; (x; y) 2 V g. Para provar (3.8) primeiro note que
b 2
[ ff(x; y)gg , 9(x0 ; y0 ) 2 B tal que b 2 ff(x0 ; y0 )gg
(x;y)2V
,
,
b = f(x0 ; y0 )g; com (x0 ; y0 ) 2 V
b 2V
24
,
mostrando que
V =
Agora, como V
X
[ ff(x; y)gg.
(x;y)2V
S 1 , obtemos que
p 1 (V ) = p 1 ( [ ff(x; y)gg)
(x;y)2V
=
=
[ p 1 (ff(x; y)gg)
(x;y)2V
[ f(x; y)g
(x;y)2V
=V,
provando (3.8) e, portanto, concluindo, pela Proposição 3.1.4, que V é conjunto
saturado (com respeito a p) de X.
2. Conjuntos como U da Figura 2 são abertos e saturados (com respeito a p) em X.
De fato, note que o conjunto U da …gura pode ser escrito como
U =X
(B [ S 1 ),
para alguma bola fechada B em R2 contida em X
U = X (B [ S 1 )
= (X B) \ (X
S 1 : Então,
S 1 ),
que é aberto em X (interseções de abertos em X). Para ver que U é saturado em
X, de…na
U = ff(x; y)g; (x; y) 2 U g.
Basta mostrar que
p 1 (U ) = U:
(3.9)
Temos
(x; y) 2 U ) (x; y) 2 X tal que p(x; y) = f(x; y)g 2 U
)
(x; y) 2 p 1 (U ).
Por outro lado,
(x; y) 2 p 1 (U ) )
(x; y) 2 X tal que p(x; y) 2 U
:
) 9(a; b) 2 U X S 1 tal que p(x; y) = f(a; b)g
Então,
pjX
S 1 (x; y)
e, como a restrição pj(X
= p(x; y) = f(a; b)g = p(a; b) = pjX
S1)
S 1 (a; b)
é injetora, vem que
(x; y) = (a; b) 2 U .
Logo, (x; y) 2 X tal que p(x; y) = f(x; y)g 2 U e, portanto, (x; y) 2 p 1 (U ).
Isto conclui a prova de (3.9). Pela Proposição 3.1.4 obtemos que U é saturado.
25
Observação 3.3.4 Nos itens (1) e (2) acima, mostramos que conjuntos da forma como
U e V na Figura 2 são os abertos saturados do disco unitário X. Segue da Proposição
3.1.7 que as imagens de tais conjuntos via p são abertos no espaço quociente X (são
os abertos da esfera).
3.3.2
O toro
Considere o retângulo X = [0; 1]
por subconjuntos de X da forma:
[0; 1]. De…na uma partição X de X constituída
(a) Conjuntos unitários f(x; y)g, onde (x; y) 2 (0; 1)
(0; 1);
(b) Conjuntos com dois elementos f(x; 0) ; (x; 1)g, onde 0 < x < 1;
(c) Conjuntos com dois elementos f(0; y) ; (1; y)g, onde 0 < y < 1;
(d) Conjunto dos vétices Ve = f(0; 0) ; (0; 1) ; (1; 0) ; (1; 1)g :
Uma aplicação sobrejetora p : X ! X que leva cada ponto de X no elemento da
partição X que o contém, pode ser de…nida pondo
8
f(x; y)g ;
se (x; y) 2 (0; 1) (0; 1)
>
>
<
f(x; 0) ; (x; 1)g
se (x; y) 2 A1 [ A2
p (x; y) =
,
f(0;
y)
;
(1;
y)g
se
(x; y) 2 B1 [ B2
>
>
:
Ve
se (x; y) 2 Ve
onde A1 ; A2 e B1 ; B2 são os pares de lados do retângulo X V paralelos aos eixos
coordenados Ox e Oy, respectivamente (veja Figura 3). Agora podemos munir X
com a topologia quociente induzida por p. Isto nos fornece o espaço quociente X do
retângulo X. Note que, identi…car os pontos de X que pertencem a um mesmo elemento
(classe de equivalência) da partição X também nos fornece o toro (superfície de uma
"rosquinha", ou doughnut em inglês). Isto pode ser feito "colando"apropriadamente
os lados A1 com A2 do retângulo X e, em seguida, "colando"os lados B1 com B2 . O
resultado …nal é o toro; veja Figura 3.
Figura 3
26
A topologia quociente do toro
Nosso objetivo aqui é reconhecer os abertos saturados de X e, com isso, usar
as proposições 3.1.7 e 3.3.3 para apresentar os abertos do toro X . A…rmamos que
conjuntos como U; V e W da Figura 4 (apenas as regiões sombreadas) abaixo são abertos
saturados de X.
Figura 4
Conforme de…nimos acima, temos que p : X ! X é dada por
8
f(x; y)g ;
se (x; y) 2 (0; 1) (0; 1)
>
>
<
f(x; 0) ; (x; 1)g ;
se (x; y) 2 A1 [ A2
p (x; y) =
,
f(0;
y)
;
(1;
y)g
;
se
(x; y) 2 B1 [ B2
>
>
:
Ve ;
se (x; y) 2 Ve
onde:
A1 = f(x; y) 2 X; 0 < x < 1 e y = 0g
A2 = f(x; y) 2 X; 0 < x < 1 e y = 1g
B1 = f(x; y) 2 X; x = 0 e 0 < y < 1g
B2 = f(x; y) 2 X; x = 1 e 0 < y < 1g
Ve = f(0; 0); (0; 1); (1; 0); (1; 1)g.
Observação 3.3.5 Faremos o estudo apenas para o conjunto U da Figura 4, os demais
conjuntos devem ser estudados de maneira análoga.
Note primeiro que o conjunto U da Figura 3 é da forma
4
U = [ (X \ Bj ) ;
j=1
para algum raio 0 < r < 1 e bolas abertas de R2
8
B1 = B((0; 0); r)
>
>
<
B2 = B((0; 1); r)
B3 = B((1; 0); r)
>
>
:
B4 = B((1; 1); r)
centradas nos vértices do retângulo X. Segue daí que U é aberto em X. Para ver que
U é saturado (com respeito a p) em X, considere U X a coleção de toda as classes
de equivalência da forma:
27
(a) [ax ] = f(x; 0); (x; 1)g, onde 0 < x < r
(b) [ay ] = f(0; y); (1; y)g, onde 0 < y < r
(c) [ay ] = f(0; y); (1; y)g, onde 1
r<y<1
(d) [ax ] = f(x; 0); (x; 1)g, onde 1
r<x<1
(e) Ve = f(0; 0); (1; 0); (0; 1); (1; 1)g
(f) f(x; y)g, onde (x; y) 2 U
(A1 [ A2 [ B1 [ B2 ).
Do Lema 3.3.2 obtemos que
p
1
(U) =
[ [ax ] [
x2(0;r)
[ Ve [
[ [ay ] [
y2(0;r)
[
(x;y)2U (A1 [A2 [B1 [B2 )
[
y2(1 r;1)
[ay ] [
[
x2(1 r;1)
[ax ] [
f(x; y)g
= U,
mostrando que U é saturado (com respeito a p) em X. Como p é aplicação quociente
devemos ter da Proposição 3.1.7 que p (U ) (analogamente p(V ) e p (W )) é aberto em
X . Se enxergarmos X como um toro (espaço identi…cação do retângulo X), isto é,
procedendo como na Figura 3, obtemos seus abertos
Figura 5
Resumindo: a forma como descrevemos X enquanto espaço quociente é exatamente
a maneira matemática de dizer o que expressamos nos desenhos quando colamos os lados
de um retângulo para formar um toro.
3.4
3.4.1
Os principais resultados
Restrição de aplicações quociente
Seja p : X ! Y uma aplicação quociente e seja A subespaço de X. A aplicação
q : A ! p(A) obtida restringindo p, pode não ser uma aplicação quociente. Lembre que
subespaços não se comportam bem. Estamos diante dos seguintes problemas:
28
Problem 3.4.1 Dado G aberto em p(A), deverá ser q 1 (G) aberto em A?
Assumindo G aberto em p(A), existe U aberto em Y tal que
G = p(A) \ U .
Daí,
q 1 (G) = q 1 (p(A) \ U )
= q 1 (p(A)) \ q 1 (U )
e, se U * p(A), não tem sentido escrever q 1 (U ).
Problem 3.4.2 Dado G p(A), com q 1 (G) aberto em A, a …m de saber se a restrição
q : A ! p(A) é uma aplicação quociente, perguntamos se G é aberto em p (A). Sabemos
que a resposta é a…rmativa quando G é aberto em Y . Então surge a pergunta: Será que
G é aberto em Y ?
Assumindo q 1 (G) aberto em A, existe V aberto em X tal que
q 1 (G) = A \ V
e, como q é sobrejetiva,
G = q(A \ V )
q(A) \ q (V ) .
(3.10)
O primeiro obstáculo é que apenas um lado da inclusão ( ) em 3.10 é verdade, em
geral (a menos que q seja injetiva). Depois, ainda que tivéssemos tal igualdade, qual
a garantia de que q(V ) seria aberto em Y ? O próximo resultado nos diz sob quais
condições a restrição q : A ! p(A) será uma aplicação quociente.
Teorema 3.4.3 Seja p : X ! Y uma aplicação quociente e seja A um subconjunto
saturado de X com respeito a p. Considere a aplicação q : A ! p(A) obtida restringindo
p ao conjunto A. Então,
(1) Se A é aberto ou fechado em X;então q é aplicação quociente;
(2) Se p é aberta ou fechada, então q é aplicação quociente.
Demonstração: 1 Passo: Mostraremos que
q 1 (V ) = p 1 (V ),
sempre que V
p(A)
p(U \ A) = p(U ) \ p(A), sempre que U X
Suponha V
p(A), como A é saturado
p 1 (V )
q 1 (V )
p 1 (p(A)) = A
q 1 (p(A)) = A
29
(3.11)
Assim,
x 2 q 1 (V ) , p(x) = q(x) 2 V
,
,
x 2 p 1 (V )
mostrando a primeira igualdade de (3.11). Para provar a segunda igualdade de (3.11),
sabemos que a inclusão p(U \ A)
p(U ) \ p(A) sempre é verdadeira (para qualquer
função). Por outro lado, tomando y 2 p(U ) \ p(A) existem u; a 2 X tais que
y = p(u); com u 2 U
y = p(a); com a 2 A.
Assim, a 2 p 1 (fyg), donde vem que p 1 (fyg) \ A 6= ?. Como A é saturado, segue que
p 1 (fyg)
Como u 2 p 1 (fyg)
A.
A, concluímos que
)
y = p(u), com u 2 U \ A
;
y 2 p(U \ A)
provando que
p(U \ A)
p(U ) \ p(A),
e a segunda igualdade de (3.11) segue.
2 Passo: Suponha que A é fechado em X ou p fechada. Mostraremos que q é
aplicação quociente. Primeiro soponha que A seja fechado em X. Basta mostrar que
dado V
p(A) tem-se
q 1 (V ) é fechado em A , V é fechado em p(A).
(3.12)
De fato, seja dado V
p(A). Se q 1 (V ) é fechado em A então, como A é fechado em
1
X, obtemos que q (V ) é fechado em X. Daí e de (3.11) vem que
p 1 (V ) = q 1 (V ) é fechado em X.
Como p é aplicação quociente, segue que V é fechado em Y . Assim,
)
V = p(A) \ V , com V fechado em Y
V é fechado em p(A).
Reciprocamente, suponha que V seja fechado em p(A). Existe F fechado em Y tal que
V = p(A) \ F .
Usando (3.11) e o fato de A ser saturado, obtemos
q 1 (V ) = p 1 (V )
= p 1 (p(A) \ F )
= p 1 (p(A)) \ p 1 (F )
= A \ p 1 (F ).
30
Como p é aplicação quociente e F é fechado em Y , segue que p 1 (F ) é fechado em
X. Logo, q 1 (V ) = A \ p 1 (F ) é fechado em A. Isto conclui (3.12) e prova que q é
aplicação quociente.
Suponha agora que p seja aplicação fechada. Mostraremos que também valerá (3.12):
De fato, seja dado V
p(A) arbitrário. Se q 1 (V ) é fechado em A, existe F
X
fechado em X tal que
q 1 (V ) = F \ A.
Usando (3.11) obtemos que
p 1 (V ) = q 1 (V ) = F \ A.
Usando (3.11) novamente e o fato de p ser sobrejetora, obtemos que
V = p(p 1 (V ))
= p(F \ A)
= p(F ) \ p(A).
Como p é aplicação fechada, obtemos p(F ) fechado em Y . Logo, V é fechado em p(A).
Reciprocamente, suponha que V seja fechado em p(A). Existe F
X fechado em X
tal que
V = p(A) \ F .
Daí, usando (3.11) e o fato de A ser saturado, obtemos
q 1 (V ) = p 1 (V )
= p 1 (p(A) \ F )
= p 1 (p(A)) \ p 1 (F )
= A \ p 1 (F )
Como p é aplicação quociete e F é fechado em X, segue que p 1 (F ) é fechado em X.
Portanto,
q 1 (V ) = A \ p 1 (F )
é fechado em A. Isso conclui (3.12) e, portanto, q é aplicação quociente. Até
aqui mostramos que se A for fechado em X ou p for uma aplicação fechada então,
q : A ! p(A) será uma aplicação quociente.
3 Passo: A prova para A aberto em X ou q aberta é obtida substituindo a palavra
"fechado"pela palavra "aberto"em todo o 2 passo.
3.4.2
Composição de aplicações quociente
Composições de funções se comportam bem. Veri…caremos a seguir que a composta
de aplicações quocientes é também uma aplicação quociente.
31
Teorema 3.4.4 Se p : X ! Y e q : Y ! Z são aplicações quociente então, a composta
q p : X ! Z também o é.
Demonstração: De fato, considere a composta
q p : X ! Z.
Mostraremos que para cada U
Z, vale
(q p) 1 (U ) é aberto em X) , (U é aberto em Z).
Para isso, seja dado U
6 Z arbitrário. Se U é aberto em Z, temos
(q p) 1 (U ) = p 1 (q 1 (U )).
Como q é quociente e U é aberto em Z, obtemos q 1 (U ) aberto em Y . Como p é
quociente e q 1 (U ) aberto em Y , obtemos
(q p) 1 (U ) = p 1 (q 1 (U )) aberto em X.
A recíproca se faz de modo análogo.
3.4.3
Produto cartesiano de aplicações quociente
Começamos de…nindo o produto cartesiano de funções. Em seguida, veremos que
tais produtos não se comportam bem.
De…nição 3.4.5 Sejam f : A ! B e g : C ! D funções. De…nimos a função produto
cartesiano de f por g como sendo a função
f
g: A C
!
(a; c) 7 ! (f
B D
g)(a; c) = (f (a); g(c))
Observação 3.4.6 Note que, sendo f e g funções, o produto f
g …ca bem defenido.
O resultado seguinte trata da continuidade de tais funções.
Proposição 3.4.7 Sejam f : A ! B e g : C ! D funções contínuas. Então, o produto
cartesiano f g : A C ! B D é uma funcão contínua.
Demonstração: Seja V um aberto básico de B
B e VD em D tais que V = VB VD . Temos que
(a; c) 2 (f
g) 1 (VB
D. Então, existem abertos VB em
VD ) , (f g)(a; c) 2 (VB VD )
,
(f (a); g(c)) 2 (VB VD )
,
f (a) 2 VB e g(c) 2 VD
, a 2 f 1 (VB ) e c 2 g 1 (VD )
, (a; c) 2 f 1 (VB ) g 1 (VD ),
32
mostrando que
(f
g) 1 (VB
VD ) = f
1
(VB )
g 1 (VD ).
Daí,
g) 1 (V ) = (f g) 1 (VB VD )
= f 1 (VB ) g 1 (VD )
(f
que é aberto (básico) de A C. Segue da Proposição 2.4.3 que (f g) é contínua.
O produto cartesiano de aplicações quociente pode não ser uma aplicação quociente.
Um bom contra-exemplo é [8, p. 143, Exemplo 7]. No entanto, quando as aplicações
quociente forem abertas teremos uma resposta a…rmativa. É o que diz a
Proposição 3.4.8 Sejam f : X ! Y e g : A ! B aplicações quociente e abertas.
Então o produto (f g) : (X A) ! (Y B) é uma aplicação quociente.
Demonstração: Mostraremos que (f g) é contínua, sobrejetora e aberta. Como f
e g são contínuas, a Proposição 3.4.7 nos dá que (f g) é contínua. Para mostrar que
(f g) é sobrejetora, mostraremos primeiro que
(f
para todo subconjunto U
(w; s) 2 (f
g)(U
g)(U
V
X
V ) = f (U )
g(V ),
A. De fato,
V ) , 9(u; v) 2 (U V ) tal que (w; s) = (f g)(u; v)
,
w = f (u),com u 2 U e s = g(v), com v 2 V
,
w 2 f (U ) e s 2 g(V )
,
(w; s) 2 f (U ) g(V )
Em particular,
(f
g)(X
A) = f (X)
g(A).
Como f e g são sobrejetivas, vem que
(f
g)(X
A) = f (X) g(A)
=A B
mostrando que (f g) é sobrejetiva.
Vamos mostrar que (f g) é aberta. Basta mostrar que (f g)(G) é aberta em
Y B, para todo G aberto básico de X A. Assim, tome G aberto básico de X A.
Então, existem U aberto de X e V aberto de A tal que G = U V . Daí, como vimos,
(f
g)(G) = (f g)(U V )
= f (U ) g(V ).
Como f e g são aplicações abertas, segue que f (U ) é aberto em Y e g(V ) é aberto em
B. Daí,
(f g)(G) = f (U ) g(V )
é aberto (básico) de Y
B. Pela Proposição 3.1.7 o resultado segue.
33
Observação 3.4.9 A…m de mostrar que uma aplicação f : X ! Y entre espaços
topológicos é aberta, é su…ciente mostrar que f leva aberto básico de X em aberto de
Y.
3.4.4
Funções contínuas sobre espaços quociente
Talvez o problema mais importante no estudo dos espaços quociente seja a
construção de funções contínuas de…nidas num espaço quociente. Nesta seção,
estabeleceremos critérios para determinar quando uma aplicação f : X
! Z,
"saindo"de um espaço quociente, será contínua.
Veremos também aqui que a condição de Hausdor¤ é outro assunto que não se
comporta bem no estudo dos espaços quociente. Seja X um espaço topológico e X seu
espaço quociente. Mesmo que X seja Hausdorf, não há motivos para que X também o
seja. Encontrar razões que assegurem que X seja Hausdor¤ é uma das questões mais
delicadas sobre espaços quocientes.
Por outro lado existe uma razão que assegura que X cumpra o axioma T1 :
Proposição 3.4.10 Se cada elemento da partição X é fechado em X, então, X
cumpre o axioma T1 .
Demonstração: Mostramos na Proposição 3.3.3 que um conjunto F X é fechado
em X se, e somente se, a reunião de seus elementos (classes de equivalentes) é fechado
em X. Assim se F X é um subconjunto …nito, digamos
F = f[x1 ]; : : : ; [xn ]g ,
então, pelo Lema 3.3.2,
p
1
n
(F ) = [ [xj ]
j=1
e, sendo cada [xj ], j = 1; : : : ; n é fechado em X, obtem-se que p 1 (F ) é fechado em
X (pois é uma união …nita de fechados). Como p é aplicação quociente, segue que F é
fechado. O resultado segue.
Teorema 3.4.11 Seja p : X ! Y uma aplicação quociente e seja g : X ! Z uma
aplicação entre espaços topológicos que é constante em cada subconjunto p 1 (fyg), com
y 2 Y . A aplicação g induz uma aplicação f : Y ! Z tal que g = f p. Além disso, f é
contínua se, e somente se, g é contínua; f é quociente se, e somente se, g é quociente.
Demonstração: Primeiro vamos de…nir f : Y ! Z. Dado y 2 Y , como g é constante
em p 1 (fyg), poremos
g(p 1 (fyg)) = fCy g, com Cy constante em Z:
(3.13)
De…na agora f : Y ! Z dada por y 7 ! f (y) = Cy . Mostraremos que f está bem
de…nida. Isto é, dados y1 ; y2 2 Y vale
y1 = y2 ) Cy1 = Cy2 .
34
(3.14)
De fato, supondo y1 = y2 tem-se que p 1 (fy1 g) = p 1 (fy2 g). Conforme de…nimos em
(3.13), obtemos que
fCy1 g = g(p 1 (fy1 g)) = g(p 1 (fy2 g)) = fCy2 g
donde vem que Cy1 = Cy2 , provando (3.14) e mostrando que f está bem de…nia.
Mostraremos que f p = g. De fato, dado x 2 X existe (único) y 2 Z tal que
y = p(x). Então, x 2 p 1 (fyg). Da da de…nição de f e de 3.13 obtemos que
g(x) = Cy = f (y) = f (p(x)) = (f
p) (x),
para cada x 2 X. Isso mostra que (f p) = g.
Mostraremos que f é contínua se, e somente se, g é contínua. Vimos que f p = g.
Se f é contínua, como p é continua (pois p é quociente), segue do Teorema 2.4.4 que g
também o é. Reciprocamente, suponha g contínua. Mostraremos que vale o item (b)
do Teorema 2.4.2 para f . Para isso, tome U
Z aberto em Z. Como g é contínua,
1
tem-se que g (U ) é aberto em X. Daí,
g 1 (U ) = (f p) 1 (U ) =
= p 1 (f 1 (U ))
é aberto em X. Como p é aplicação quociente, f 1 (U ) é aberto em Y . Pelo Teorema
2.4.2 segue que f é contínua.
Mostraremos que f é quociente se, e somente se, g é quociente. Temos que g = f p.
Se f é quociente, como p é quociente então, pelo Teorema 3.4.4, g também o é.
Reciprocamente, suponha g quociente. Primeiro veremos que f é sobrejetora. Temos
Z =
g (X)
(pois g é sobrejetora)
= (f p)(X)
= f (p(X))
=
f (Y )
(pois p é sobrejetora)
mostrando que f é sobrejetora. Falta mostrar que
f
1
(U ) é aberto em Y , (U é aberto em Z) ,
(3.15)
para cada subconjunto U
Z. A prova de (() sai do fato de f ser contínua. Para
provar ()), tome U
Z tal que f 1 (U ) seja aberto em Y . Mostraremos que U é
aberto em Z. Como p é quociente p 1 (f 1 (U )) é aberto em X. Dai,
g 1 (U ) = (f p) 1 (U )
= p 1 (f 1 (U ))
é aberto em X. Como g é aplicação quociente obtemos que U é aberto em 6 Z. Isso
conclui (3.15) e prova, portanto, que f é aplicação quociente.
35
Corolário 3.4.12 Seja g : X ! Z uma aplicação sobrejetiva. Seja X a seguinte
coleção de subconjuntos de X:
X = fg 1 (fzg); z 2 Zg:
Considere X munido com a topologia quociente. Então,
(a) A aplicação g induz uma bijeção contínua f : X ! Z, que será um homeomor…smo
se, e somente se, g for uma aplicação quociente;
(b) Se Z é Hausdor¤, então X também o é.
Demonstração: Primeiro vamos de…nir a aplicação f : X ! Z que seja bijeção e
contínua. Lembre que p : X ! X é a aplicação que leva cada x 2 X no elemento de
partição X que o contém. Assim, dado z 2 Z tem-se que
p 1 (fg 1 (fzg)g) = g 1 (fzg).
(3.16)
De fato,
x 2 p 1 (fg 1 (fzg)g) , p(x) 2 fg 1 (fzg)g
, p(x) = g 1 (fzg)
,
x 2 g 1 (fzg)
(pela de…nição da p)
Outra forma de ver (3.16) é lembrar que, dado U
X , o conjunto p 1 (U ) é a união
das classes (elementos da partição X ) que pertencem a U (veja Lema 3.3.2).
Veremos agora que g é constante em cada conjunto p 1 (fyg), com y 2 X . Tome
1
p (fyg), com y 2 X . Para este y existe z0 2 Z tal que y = g 1 (fz0 g). Segue de (3.16)
que
p 1 (fyg) = g 1 (fz0 g).
Como g é sobrejetora,
g(p 1 (fyg)) = fz0 g;
mostrando que g é constante em cada conjunto p 1 (fyg). Pelo Teorema 3.4.11, g induz
uma aplicação f : X ! Z tal que g = f p, onde f é de…nida por
f (y) = f (g 1 (fzg)) = z:
Como g é cntinua, segue do mesmo teorema que f também o é.
Veremos que f é bijeção. Sendo g e p sobrejeções então,
Z =
g (X)
(pois g é sobrejetora)
= (f p)(X)
= f (p(X))
=
f (X )
(pois p é sobrejetora)
36
mostrando que f é sobrejetora. Para ver que f é injetora, dados y1 ; y2 2 X existem
z1 ; z2 2 Z tais que y1 = g 1 (fz1 g) e y2 = g 1 (fz2 g).Assim,
f (y1 ) = f (y2 ) ) f (g 1 fz1 g) = f (g 1 fz2 g)
)
z1 = z2
1
)
g fz1 g = g 1 fz1 g
)
y1 = y2
mostrando que f é injetora. Até aqui, obtemos uma aplicação f : X
contínua.
! Z bijeção e
Mostraremos que f é homeomor…smo se, e somente se, g é uma aplicação
quociente.
Se f é homeomor…smo, temos f sobrejetiva, contínua e aberta. Pela Proposição
3.1.11 obtemos que f é quociente. Como g = f p é composta de duas quociente, segue
do Teorema 3.4.4 que g também o é.
Reciprocamente, se g é quociente, pelo Teorema 3.4.11, f também é quociente. Para
mostrar que f é homeomor…smo, basta mostrar que
f (G) é aberto em Z , G é aberto em X ,
para todo subconjunto G
contínua e injetora,
X . Dado G
G=f
1
(3.17)
Z, suponha f (G) aberto em Z. Como f é
(f (G)) é aberto em X .
Se G aberto em X , como G = f 1 (f (G)) segue que G é aberto saturado em X (com
respeito a f ). Como f é quociente, segue da Proposição 3.1.7 que f (G) aberto em Z.
Isso conclui (3.17) e, pelo Teorema 2.6.2 segue que f é homeomor…smo. Concluí-se a
prova de (a).
Prova de (b):
Suponha Z Hausdor¤. Sejm dados y1 ; y2 2 X com y1 6= y2 . Encontraremos abertos
U1 e U2 em X contendo y1 e y2 , respectivamente, tais que U1 \ U2 = ?. De fato,
existem z1 ; z2 2 Z tais que y1 = g 1 (fz1 g) e y2 = g 1 (fz2 g). Como y1 6= y2 , devemos
ter z1 6= z2 . Sendo Z Hausdor¤ existem abertos V1 ; V2 em Z com
z1 2 V1 e z2 2 V2 tais que V1 \ V2 = ?.
Pondo U1 = f
1
(V1 ) e U2 = f
1
(V2 ) obtemos que U1 ; U2 são abertos e, além disso,
f (y1 ) = f (g 1 (fz1 g)) = z1 2 V1
f (y2 ) = f (g 1 (fz2 g)) = z2 2 V2
)
y1 2 f 1 (V1 ) = U1
y2 2 f 1 (V2 ) = U2 :
37
Os abertos U1 e U2 são disjuntos, pois
1
U1 \ U2 = f
(V1 ) \ f
1
(V2 ) = f
1
(V1 \ V2 ) = ?.
Isto mostra que X é Hausdor¤:
Note que a demonstração do teorema anterior contém demonstrações para as duas
seguinte observações, que são muitas vezes úteis.
Observação 3.4.13 Se f : X ! Y é aplicação entre espaços topológicos que é
quociente e injetora, então f é homeomor…smo.
Observação 3.4.14 f : X ! Z injetora e contínua. Então, Z Hausdor¤ ) X é
Hausdor¤.
Neste próximo exemplo utilizaremos resultados básicos do cálculo de várias variáveis.
Para maiores detalhes recomendamos [7], [2] e [3].
Exemplo 3.4.15 Seja X o subespaço do R2 que é a união de todos os segmentos de
reta [0; 1] fng, com n 2 Z+ ;
1
X = [ ([0; 1]
n=1
fng)
e, considere o conjunto
Z=
n
x;
o
x
; x 2 [0; 1] e n 2 Z+ .
n
Note que Z é a união enumerável de segmentos de reta que têm uma extremidade em
comum. De fato, dado n 2 Z+ , o segmento de reta de extremos (0; 0) e 1; n1 é o
conjunto
1
rn = (1 x) (0; 0) + x 1;
;0 x 1 :
n
O leitor em dúvida nesse ponto poderá consultar [7, pág. 13]. Assim,
1
Z = [ rn .
n=1
De…na agora a função
g:
X
!
Z
.
(x; n) 7 ! (x; nx )
g é claramente sobrejetiva e contínua. A continuidade de g é consequência de que suas
funções componentes
g1 : X R2 !
R
(x; n) 7 ! g1 (x; n) = x
e
g2 : X R2 !
R
(x; n) 7 ! g2 (x; n) = nx
38
são ambas contínuas em X.
Seja agora X a seguinte partição de X:
X = fg 1 (fzg); z 2 Zg.
Note que g 1 (f0; 0g) = f0g Z+ : Pelo Corolário 3.4.12, g induz uma bijeção contínua
f : X ! Z. Porém f não é homeomor…smo. Considere a sequência (xn )n2N de pontos
xn = ( n1 ; n) 2 X, para cada n 2 N. O conjunto
A = fxn ; n 2 Ng
X é fechado em X:
Basta mostrar que A X é fechado em R2 . Para isso, mostraremos que A = A. De
fato, pela Proposição 2.1.7, tem-se
A = A [ A0 .
Note que R2 R2 A0 . De fato, dado x 2 R2 , temos que x 2 A ou x 2
= A. No primeiro
caso, existe n0 2 N tal que x = xn0 . Pondo B = B(xn0 ; 12 ) (bola aberta com centro em
xn0 e raio 12 ), obtemos que B é vizinhana de x tal que B \ A = fxg e, portanto, x 2
= A0 .
No segundo caso, é possível encontrar uma vizinhança B de x tal que B \ A = ? e,
consequentemente, também ocorre x 2
= A0 . Fica provado que R2 R2 A0 . Tomando
0
complementares, obtemos A = ?. Segue que A = A: Além disso, A é saturado com
respeito a g. Por outro lado g (A) não é fechado em Z, uma vez que
g (A) =
zn =
1 1
;
n n2
; n 2 Z+
e este conjunto tem a origem como sendo um ponto de acumalação. Segue da Proposição
3.1.7 que g não é aplicação quociente e, portanto, do item (a) do Corolário 3.4.12
concluímos que f não é homeomor…smo.
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Referências Bibliográ…cas
[1] GONÇALVES, A. - Introdução à álgebra, 5.ed., Projeto Euclides, Rio de Janeiro:
IMPA, 2007
[2] GUIDORIZZI, H. L. - Um curso de cáculo, vol. 2, Rio de Janeiro: LTC, 2008
[3] GUIDORIZZI, H. L. - Um curso de cáculo, vol. 3, Rio de Janeiro: LTC, 2008
[4] HATCHER. A. - Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2001
[5] LAGES. E, - Elementos de Topologia Geral, Rio de Janeiro: Editora SBM, 2009
[6] LAGES. E - Curso de Análise, Vol. 1. 11. ed., Coleção Projeto Euclides, 2006
[7] LAGES. E - Curso de Análise, Vol. 2. 9. ed., Coleção Projeto Euclides, 2006
[8] MUNKRES, J. R. - Topology, Second Edition. Prentice-Hall, Upper Saddle River,
2000
[9] PELLEGRINO, D. M. - Notas de Aula: Topologia Geral. Departamento de
Matemática, UFPB, 2007
[10] SIMMONS, G. - Introduction to Topology and Modern Analysis. McGraw-Hill, 1963
[11] WILLARD, S. - General Topology. Addison-Wesley Publishing Company, 1970
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