α - OBT/INPE

CAPÍTULO 2
PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES APLICADAS AOS DADOS SAR
A seguir serão apresentadas algumas notações, definições e as distribuições aplicáveis
aos dados SAR que serão abordadas nesta dissertação.
2.1 - NOTAÇÕES E DEFINIÇÕES
As variáveis aleatórias serão denotadas com letras maiúsculas e suas ocorrências em
letras minúsculas.
Os vetores e matrizes serão denotados em negrito e maiúsculos.
O conjunto dos números reais, (-∞, +∞), será denotado por ℜ .
O conjunto dos números reais positivos, (0, +∞), será denotado por ℜ + .
O conjunto amostral será denotado por Ω .
A probabilidade será denotada por Ρr .
2.1.1 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Seja Ω um espaço amostral genérico, Β uma classe sobre a qual está definida a variável
aleatória, Ρr uma medida. A função real X que associa um valor X (ω ) em Β para
cada resultado ω de Ω , sendo X : Ω → ℜ , é uma variável aleatória real.
A função FX ( x) , definida por:
FX ( x ) = Ρr ( X ≤ x ) ; x ∈ ℜ ,
onde ℜ é o conjunto dos números reais, é denominada função distribuição da variável
aleatória X, e é comumente chamada de função de distribuição acumulada de X.
27
A função densidade de probabilidade f (x ) , se existir, se relaciona com a função de
distribuição acumulada através da relação (James, 1991):
FX ( x ) =
e vale que f ( x ) ≥ 0, ∀x e que
∫
+∞
−∞
∫
x
−∞
f (x ) dx ,
f (x ) dx = 1 .
2.1.2 - ESPERANÇA
A esperança de uma variável aleatória contínua X cuja densidade é f ( x ) , é denotada
por E[ X ] e definida por (James, 1991):
∞
E[ X ] = ∫ xf ( x )dx ,
−∞
desde que a integral acima exista. Algumas propriedades da esperança podem ser
encontradas em DeGroot (1975).
2.1.3 - VARIÂNCIA
Suponha que X é uma variável aleatória com média µ = E [ X ] . A variância de X
denotada por VAR[ X ] é definida por (DeGroot, 1975):
[
]
Var [ X ] = E ( X − µ ) , ou
2
Var [X ] = ∫ ( x − µ )2 f ( x )dx ,
∞
−∞
desde que a integral acima exista. Algumas propriedades da variância podem ser
encontradas em DeGroot (1975).
2.1.4 - MOMENTO
O momento de ordem r ( r ∈ ℜ ) de uma variável aleatória X, caso exista, é definido por
(DeGroot, 1975):
28
E ( X r ) = ∫ x r f ( x )dx
ℜ
e, segundo Yanasse et al. (1995), o coeficiente de variação é dado por:
1
Var 2 ( X )
Cv =
.
E( X )
2.2 - DISTRIBUIÇÕES APLICÁVEIS AOS DADOS SAR
Nesta seção serão apresentadas as distribuições aplicáveis aos dados SAR que serão
abordadas nesta dissertação, incluindo suas respectivas funções de densidade de
probabilidade, esperança e variância.
2.2.1 - DISTRIBUIÇÃO CONSTANTE
Diz-se que uma variável aleatória X possui distribuição Constante igual ao valor k ,
denotada por X ~ C ( k ) , se a sua função de distribuição acumulada é dada, para todo
x ∈ ℜ , por (Yanasse et al., 1995):
FX ( x ) = 1Ι[ k , ∞ ) ( x ) ,
onde 1Ι A ( x ) é a função indicadora de um conjunto A , denotada por 1Ι: A → {0,1} e
dada por (James, 1991):
1, se x ∈ A
.
1Ι A ( x) = 
0, se x ∉ A
2.2.2 - DISTRIBUIÇÃO GAMA
Diz-se que a variável aleatória X possui uma distribuição Gama com parâmetros α e λ
∈ ℜ + , denotada por X ~ Γ(α, λ ) , se sua densidade, para todo x ∈ ℜ , é dada por
(Frery, 1993; Sant’Anna, 1995; Yanasse et al., 1993; Yanasse et al., 1995):
29
λα α −1
f X ( x;α , λ ) =
x exp (− λx ) .
Γ(α )
Tem-se que E[ X ] = αλ−1 e Var[ X ] = αλ−2 . Considerando uma distribuição Gama com
E[ X ] = 1 , ou seja, α = λ , a sua densidade será dada por:
α −1
(
αx )
f X ( x;α , α ) = −1
exp (− αx ) .
α Γ (α )
2.2.3 - DISTRIBUIÇÃO RAIZ DE GAMA
A variável aleatória X possui uma distribuição Raiz de Gama com parâmetros α e λ ∈
ℜ + , denotada por X ~ Γ 2 (α , λ ) , se sua densidade, para todo x ∈ℜ+ , é dada por
1
(Frery, 1993; Yanasse et al., 1993; Yanasse et al., 1995):
f X ( x; α , λ ) =
2λα 2α −1
x
exp ( − λx 2 ) .
Γ (α )
A média é dada por:
E[X ] =
Γ(α + 0,5)
1
λ 2 Γ(α )
(2.1).
A variância é dada por:
 Γ(α + 0,5) 
1
VAR[X ] = α − 

λ 
 Γ(α ) 
2

.

Pode-se demonstrar (Yanasse et al., 1995) que a variável aleatória formada pelo produto
de duas variáveis aleatórias independentes com distribuições C ( β ) e Γ
(
)
respectivamente, possui uma distribuição Γ 2 n, nβ −1 .
1
30
1
2
(n, n)
2.2.4 - DISTRIBUIÇÃO RECÍPROCA DA RAIZ DE GAMA
A variável aleatória X possui uma distribuição Recíproca da Raiz de Gama com
parâmetros − α e λ ∈ ℜ + , denotada por X ~ Γ
−1
2
(α , λ ) , se sua densidade, para todo
x ∈ℜ+ , é dada por (Frery, 1997):
f X ( x; α , λ ) =
( )
2
x 2α −1 exp - λ 2 .
x
λ Γ ( −α )
α
2.2.5 - DISTRIBUIÇÃO RAIZ DE GAUSSIANA INVERSA GENERALIZADA
Diz-se que a variável aleatória X possui uma distribuição Raiz de Gaussiana Inversa
Generalizada, com parâmetros α , γ e λ , denotada por X ~ N −1 2 (α , γ , λ ) , se a sua
densidade, para todo x ∈ℜ+ , for dada por (Frery et al., 1995a):
f X ( x;α , γ , λ ) =
(λ γ )α 2
 γ

x 2α −1 exp − 2 − λx 2  ,
Kα 2 λγ
 x

(
)
Onde Kα denota a função modificada de Bessel de terceiro tipo e ordem α , e o domínio
dos parâmetros é dado por (Frery et al., 1995a):
γ > 0, λ ≥ 0, se α < 0

γ > 0, λ > 0, se α = 0

γ ≥ 0, λ > 0, se α > 0
(2.2).
O momento de ordem r ∈ ℜ é dado por (Frery et al., 1995a):
( )
E Xr =
(
)
K α + r 2 2 γλ  γ  r 4
  .
K α 2 γλ  λ 
(
)
As distribuições Raiz de Gama e Recíproca da Raiz de Gama são casos particulares da
distribuição Raiz de Gaussiana Inversa Generalizada. O esquema abaixo mostra a relação
entre estas distribuições.
31
D
 →
Γ1 / 2 (α , λ )

 γ →0
 α, λ > 0


−1
N 2 (α , γ , λ )
 D
−1 / 2
 → Γ (α , γ )
 λ→0
- α , γ > 0


Pr
→
(
C β1
1/ 2
)
α, λ → ∞
α λ → β1
Pr
→
(
C β2
− α,γ → ∞
−1 / 2
)
,
− α γ → β2
D
Pr
onde “ →
” e “ →
” denotam as convergências em distribuição e probabilidade,
respectivamente, das seqüências de variáveis aleatórias associadas.
2.2.6 - DISTRIBUIÇÃO K-AMPLITUDE
Diz-se que a variável aleatória X possui distribuição K-Amplitude ( KA ) com parâmetros
α , λ , n ∈ ℜ + , denotada por X ~ KA(α , λ , n ) , se sua densidade, para cada x ∈ ℜ , é
dada por (Frery, 1993; Yanasse et al., 1993):
4αnx
f X ( x;α , λ , n) =
λΓ(α )Γ(n)
 αnx 2

 λ



(α + n − 2 )

αn 
K α − n  2 x
 .
λ


O momento de ordem r ∈ ℜ é dado por (Frery, 1993; Yanasse et al., 1993):
( )
E X
r
 λ  Γ(r 2 + α )Γ(r 2 + n )
=  
.
Γ(α )Γ(n )
 αn 
r
A média é dada por:
E[X ] =
λ Γ(1 2 + α ) Γ(1 2 + n )
.
αn
Γ (α ) Γ(n )
32
(2.3).
Pode-se demonstrar (Yanasse et al., 1995) que a variável aleatória formada pelo produto
de duas variáveis aleatórias independentes com distribuições Γ 2 (α, β ) e Γ
1
1
2
(n, n)
respectivamente, possui uma distribuição KA(α , λ , n) , onde λ = αβ −1 .
2.2.7 - DISTRIBUIÇÃO G-AMPLITUDE
A variável aleatória X possui uma distribuição G-Amplitude (GA ), com parâmetros α ,
γ , λ e n , denotada por X ~ GA(α , γ , λ , n) se sua densidade, para todo x ∈ ℜ , é dada
por (Frery et al., 1995):
α
2
(α − n )
2n  λ 
2
2
γ

2 n −1  γ + nx 

f X ( x;α , γ , λ , n) =
x 
K α − n 2 λ γ + nx 2
Γ(n) K α 2 λγ
 λ 
(
n
(
)
(
)) ,
e o domínio dos parâmetros dado em (2.2).
O momento de ordem r ∈ ℜ é dado por (Frery et al., 1995):
( )
E X
r
(
)
K α + r 2 2 γλ Γ (n + r 2 )  γ  r 4
=
 2  .
K α 2 γλ Γ(n )
n λ
(
)
2.2.8 - DISTRIBUIÇÃO G-AMPLITUDE ZERO
Diz-se que a variável aleatória X possui uma distribuição G-Amplitude Zero, com
parâmetros α ,γ , e n , denotada por X ~ GA0 (α , γ , n ) , supondo-se α < 0 e γ , n > 0 , se
a sua densidade, para todo x ∈ ℜ , for dada por (Frery et al., 1995b):
f X ( x;α , γ , n) =
2n n Γ(n − α )x 2 n −1
(
γ α Γ (n )Γ(− α ) γ + nx 2
)
O momento de ordem r ∈ ℜ é dado por (Frery et al., 1995b):
33
n −α
.
( )
E Xr
 Γ(− α − r 2 )Γ(n + r 2 )  γ  r 2
  ,

se r < −2α

(
)
(
)
α
n
Γ
−
Γ
n
.
=


,
em caso contrário
∞
A média é dada por:
E[X ] =
Γ(− α − 1 2 )Γ(n + 1 2 )  γ 
 
Γ(− α )Γ(n )
n
12
(2.4).
Pode-se demonstrar (Frery et al., 1997) que a variável aleatória formada pelo produto de
duas variáveis aleatórias independentes com distribuições Γ
−1
2
(α,γ )
e Γ
1
2
(n, n)
respectivamente, possui uma distribuição G A0 (α , γ , n ) .
As distribuições Γ1 / 2 , KA e G A0 são casos particulares da distribuição GA . O esquema
abaixo mostra a relação entre estas distribuições.
D
 →
KA(α , λ , n )

 γ →0
 α, λ > 0


GA(α , γ , λ , n )
 D
0
 → G A (α , γ , n )
 λ →0
- α , γ > 0


Pr
→
Γ1 / 2 (n, n β 1 )
α, λ → ∞
α λ → β1
,
→
Pr
Γ
1/ 2
(n, nβ 2 )
− α,γ → ∞
− α γ → β2
D
Pr
onde “ →
” e “ →
” denotam as convergências em distribuição e probabilidade,
respectivamente, das seqüências de variáveis aleatórias associadas.
34