1. FUNÇÕES 1.1 CONCEITO DE FUNÇÃO Definição: Sejam A e B dois conjuntos numéricos. Uma função de A em B (notada por f : A B, lido como “f de A em B”), é uma lei que associa a cada elemento x pertencente ao conjunto A um único elemento y pertencente ao conjunto B. O elemento y é denominado imagem de x pela função f e se denota por f(x) (lê-se “f de x”). Isto é, y = f(x). A notação y = f(x) tem um significado claro: para um dado x de A, a função f, que é a lei de associação, produz um único y de B. O elemento x é chamado de variável independente da função, pois assume qualquer valor em A. O elemento y, por sua vez, é também chamado de variável dependende, pois seu valor depende de x e da lei de associação f e, assim, pode não assumir todos os valores de B. Exercício resolvido: Seja f : R R, em que R é o conjunto dos números reais, tal que f(x) = x2 para todo x pertencente a R. Qual o valor de f(2) ? Resolução: Note que, se dizemos f : R R (lê-se “f de R em R”), então a função toma um valor x de R e o associa a um valor y = f(x) também de R. Se temos de obter f(2), então devemos determinar o valor f(x) de R para x = 2. Como f(x) = x2, então f(2) = 22 = 4. Logo, f(2) = 4. Exercício resolvido: Seja f : R R tal que f(x) = x2. Determine f(–6), f( 3 ) e f(a + b). Resolução: Como f(x) = x2, então f(–6) = (–6)2 = 36 f( 3 ) = ( 3 )2 = 3 . 3 = 3 f(a + b) = (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 É importante frisar que se uma lei de associação produzir dois ou mais y de B para o mesmo x de A, a lei não é uma função. A função produz apenas um y para o mesmo x. Exemplo: A lei y2 = 2 – x2 associa valores de x a valores de y. No entanto, para um único x haverá dois y. Note, por exemplo, que (1)2 = 2 – (1)2 e (–1)2 = 2 – (1)2. Ou seja, para x = 1, tanto y = 1 e quanto y = –1 satisfazem a lei. Portanto a lei não é uma função. Definição: Para uma função f : A B, o conjunto A é chamado domínio de f e o conjunto B é chamado contradomínio de f. O conjunto de imagens y de x pela função f é (também) chamado de imagem. A imagem de uma função é sempre um subconjunto do contradomínio e eventualmente é igual a ele. Exercício resolvido: Para f : R R, determine o domínio das funções f(x) = g(x) = 1/(1 – 2x). 1− x 2 e Resolução: O conjunto domínio é composto por todos valores que a variável independente x pode assumir. A imagem da função deve ser um número real, isto é, tanto f(x) quanto g(x) devem produzir números reais. Para f(x) ser real, o radicando da raiz deve ser maior ou igual a zero, pois para raízes de índices pares (raiz quadrada tem índice 2), radicandos negativos levam a números complexos, e não reais puros. Assim, devemos impor que o radicando 1 – x2 ≥ 0. Isolando x temos: 1 ≥ x2, ou x2 ≤ 1 Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da desigualdade (note que x 2 = | x | para qualquer x real) chegamos a –1 ≤ x ≤ 1, que é a resposta . Isto é, o domínio de f(x) é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a – 1 e menores ou iguais a 1. Para g(x), devemos notar que a função não está definida para denominador igual a zero. Assim, devemos impor 1 – 2x ≠ 0. Isolando x nesta expressão obtemos x ≠ ½. Isto é, o domínio da função são todos os valores reais diferentes de ½. 1.2 ALGUMAS FUNÇÕES IMPORTANTES DE UMA VARIÁVEL REAL (a) Função Linear: f(x) = ax, com a ≠ 0, a constante O gráfico da função linear é uma reta inclinada passando pela origem do sistema de coordenadas . Seu domínio é R. (b) Função Linear Afim ou de 1o. Grau: f(x) = ax + b, com a ≠ 0, a e b constantes O gráfico da função de 1o. grau é uma reta inclinada. Seu domínio é R. (c) Função de 2o. Grau: f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, a, b e c constantes O gráfico da função de 2o. grau é uma parábola. Seu domínio é R. A função f(x) = x 2, também chamada de função quadrática, é um caso particular de função de 2o. Grau. Funções lineares e de 1o. e 2o. graus são casos particulares de funções polinomiais (ver logo abaixo). (d) Função Potência: f(x) = xa, a ≠ 0, a constante e real Assim denominada pois a variável x está na base de uma potência. Seu domínio é R. (e) Função Polinomial São compostas pela soma de produtos de constantes por potências de uma variável com expoentes inteiros positivos. Exemplos de funções polinomiais: f(x) = 2 f(x) = 3x f(x) = x2 + 4x f(x) = x5 – 16x + ½ (f) Função Exponencial: f(x) = ax, a > 0, a constante e real Assim denominada pois a variável x está no expoente de uma potência. Seu domínio é R. (g) Função logarítmica: f(x) = loga x, a > 1 e real Seu domínio é x > 0. Exercício resolvido: Identifique as funções f(x) = 2x e g(x) = x2. Resolução: Na função f(x) temos uma potência na qual a variável está no expoente e na função g(x) temos uma potência na qual a variável está na base. Logo, f(x) é uma função exponencial e g(x) é uma função potência. 1.3 TIPOS DE FUNÇÕES Funções podem ser classificadas por diversos critérios. Quanto à paridade, pode ser pares ou ímpares; podem ser crescentes ou descrescentes; podem ser limitadas superior ou inferiormente, ou ambas. Aqui vamos nos limitar a aprender o conceito de função biunívoca. Definição: Função biunívoca é aquela para a qual ocorrem simultaneamente: (a) para x1 diferente de x2 , temos f(x1) diferente de f(x2). Isto é, se para todo o domínio de uma função, valores diferentes de x levarem a valores diferentes de y; e (b) a imagem da função equivale ao contradomínio. Exercício resolvido: Demonstre que a função f(x) = x2 não é biunívoca. Resolução: Note que f(–a) = (–a)2 = a2 e f(a) = a2, sendo a um valor qualquer, isto é, f(–a) = f(a). Portanto, para pelo menos dois valores diferentes de x (no caso, x = a e x = –a) temos um mesmo y = a2. A função, contudo, deveria produzir dois y diferentes como condição necessária para ser biunívoca.