Lista 9: Problemas de Otimização - Cálculo Diferencial e Integral I

Lista 9: Problemas de Otimização - Cálculo Diferencial e Integral I - Turma D
Professora: Elisandra Bär de Figueiredo
1. Quer-se construir uma sala retangular que tenha 236 m2 de área. Quais devem ser as dimensões
para que seu perímetro seja o menor possível?
2. Tem-se um terreno retangular de 4328 m2 de área. Pretende-se murá-lo e sabe-se que o vizinho
de um dos lados paga a metade do muro que faz limite com sua propriedade. Para tanto, quais
devem ser as dimensões deste terreno para que se gaste o mínimo possível ao murá-lo?
3. Dentre todos os retângulos de área 49 cm2 , qual tem perímetro mínimo?
4. Um fazendeiro tem 24 m de cerca para construir três galpões retangulares adjacentes (de mesma
área), conforme a gura a seguir. Quais devem ser as dimensões totais dos galpões de modo a
maximizar sua área total ?
5. Um sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto de altura h e raio r uma semiesfera também de raio r. Deseja-se que a área da superfície do sólido seja de 5π cm2 . Determine
os valores de r e h para que o sólido tenha volume máximo.
6. Um arame de comprimento 12m é cortado em dois pedaços, sendo que um pedaço é dobrado em
forma de quadrado cujo lado é l, e o outro pedaço é dobrado em forma de círculo cujo raio é
R. Como devemos cortar o arame para que a soma das áreas englobadas pelos dois pedaços seja
máxima?
7. Há várias semanas o Departamento de Estradas vem registrando velocidade do tráfego uindo
numa rodovia após uma saída. Os dados sugerem que a velocidade do tráfego na saída é aproximadamente f (t) = t3 − 10, 5t2 + 30t + 20 km/h, onde t é o número de horas após o meio dia.
A que horas entre 15 e 18 horas, o tráfego se move mais rápido e a que horas ele se move mais
lentamente?
8. Considere três números positivos tais que sua soma é 15. Sabendo-se que o dobro do primeiro
mais três vezes o segundo, mais quatro vezes o terceiro é 45, determine então esses números de
modo que o produto dos três seja o maior possível.
9. Considere o retângulo, da gura a seguir, cujo perímetro é 16cm. Determine os lados do retângulo
para que a área do trângulo ABC seja a maior possível.
10. Determine, se existir, um número positivo tal que a soma de seu cubo com 4 vezes o inverso de
seu quadrado seja o menor possível.
11. Considere um semicírculo de raio 2. Determine:
1
(a) as dimensões do retângulo com máxima área que seja inscrito neste semicírculo;
(b) a área deste retângulo.
12. Um recipiente com a forma de um paralelepípedo de base quadrada tem um volume de 2.000 cm3 .
Sabendo-se que o custo da base e da tampa é o triplo do custo dos lados, determine as dimensões
do recipiente de menor custo possível.
13. Duas cidades estão localizadas ao sul de um rio conforme a gura a seguir. Uma estação bombeadora de água será instalada para servir as duas cidades. A tubulação seguirá as retas que
ligam cada cidade à estação. Dena o ponto onde a estação bombeadora deve ser instalada para
minimizar o custo da tubulação.
10km
2km
Estação
5km
A
B
14. Determine as dimensões de um cilindro reto inscrito em uma esfera de raio R para que este tenha
o maior volume possível.
15. Uma pista de atletismo com comprimento total 400m, consiste em 2 semicírculos e dois segmentos
retos, conforme a gura a seguir. Determine as dimensões da pista de tal forma que a área
retangular, demarcada na gura, seja máxima.
16. Uma folha de papelão quadrada com 16 cm2 é usada para fazer uma caixa aberta, retirando
quadrados do mesmo tamanho dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos
quadrados que resulta na caixa com o maior volume possível?
17. Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio, de 900m de largura,
até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3000m rio abaixo. O custo para estender um cabo
pelo rio é de R$5, 00 por metro, enquanto que para estendê-lo por terra custa R$4, 00 o metro.
Qual é o percurso mais econômico para o cabo?
18. Considere um trapézio isósceles de área 50cm2 . Sabendo que α = 30◦ é um dos ângulos da base,
determine a medida da lateral l para que o perímetro seja mínimo.
19. Uma bateria de voltagem xa V e resistência interna xa r está ligada a um circuito de resistência
variável R. Pela Lei de Ohm, a corrente I no circuito é I =
P = I 2 R, mostre que a potência máxima ocorre quando R = r.
V
. Se a potência é dada por
R+r
20. No projeto de aviões, uma característica importante é o chamado "fator de arraste", isto é, a força
de freagem exercida pelo ar sobre o avião. Um modelo mede o arraste por uma função da forma
B
, onde A e B são constantes positivas. Descobre-se experimentalmente que o
v2
B
arraste é minimizado quando v = 160 mph. Use esta informação para encontrar a razão .
A
F (v) = Av 2 +
2
21. A carga transmitida através de um circuito varia de acordo com a equação q = t4 − 4t3 coulombs.
Determine o instante t quando a corrente i =
dq
atinge um mínimo.
dt
22. O trabalho realizado por um solenóide ao mover um induzido varia de acordo com W = 2t3 − 3t4
joules. Determine a maior potência desenvolvida. (Potência: P =
dW
.)
dt
23. Determine a maior corrente num capacitor com capacitância C igual a
voltagem aplicada for dada por V = 250t2 − 200t3 volts (i = C
dV
).
dt
4
× 10−6 farads, se a
3
24. Um gerador produz uma tensão Vin = 110 Volt para alimentar uma carga resistiva R. A linha de
transmissão de energia possui uma resistência r0 = 0, 8kΩ/km e 5000km de extensão entre a fonte
e a carga. Sabendo que a potência sobre uma carga é dada por P = V 2
de R para que a potência transmitida pelo gerador seja máxima.
R
, calcule o valor
(R + r)2
1
25. Um circuito RLC paralelo sobreamortecido com o capacitor de capacitância C = 23, 81mF = F,
42
inicialmente descarregado, e o indutor de indutância L = 7H, inicialmente carregado com corrente
de -10A, gera uma tensão de saída no resistor de resistência R = 6Ω regida pela Equação 1. Calcule
o tempo para que a corrente que passa pelo resistor seja máxima. Calcule também o valor da
tensão e da corrente no resistor nesse instante e esboce o gráco da tensão de saída do circuito.
Dados:
C
L
R
V = −K1 es1 t + K2 es2 t
V = RI
ˆ K1 = K2 = 84V
√
ˆ s1 = −α − α2 − ω02
√
ˆ s2 = −α + α2 − ω02
1
ˆ α=
2RC
1
ˆ ω0 = √
LC
Respostas:
√
1. x = y = 2 59m
2. Aproximadamente 76m por 57m.
3. O quadrado de lado 7cm.
4. 2m e 3m.
3
+
V
-
(1)
(2)
5. r = h = 1cm
6. R =
6
12
e l=
4+π
4+π
7. Mais rápido 15h, mais lento às 17h.
8. x = y = z = 5
9. x = y = 4cm
√
8
3
√
√
11. (a) 2 × 2 2;
10.
5
√
(b) 4u.a.
20
12
12. 5 3 144cm e √
3
20
m após o ponto N.
7
√
√
2 3R
6R
e
14.
3
3
13.
15. 10m e
16.
100
m
π
2
m
3
17. 1200m pelo rio e 1800m por terra.
18. l = 10cm
19.
20.
B
= (160)4
A
21. t = 2s
22. 0, 125W
23. i =
25 × 10−4
A
18
24. R = 4M Ω
25. t =
ln 6
70
35
s; V = √
V; I = √
A
5
5
6
356
4