Estado Plano de Tensões

Estado Plano de Tensões
Nota de aula 9 - Estado
Plano de Tensões Resistência dos Materiais
II
Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo)
MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF
2o. semestre de 2010
Flávia Bastos
RESMAT II
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Estado Plano de Tensões
Círculo de Mohr
Informações sobre este documento: Estes slides servem para
auxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas de
resistência dos materiais II ministradas pela professora Flávia
Bastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo.
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Estado Plano de Tensões
Círculo de Mohr
Círculo de Mohr
O par (σn , τn ) das tensões normal e tangencial em um plano
qualquer, num estado plano de tensões gera uma figura no
plano de coordenadas σ, τ que é conhecida como círculo de
Mohr. Temos que σn e τn podem ser determinados por:
σ −σ
σ +σ
σn = xx 2 yy + xx 2 yy cos2α + τxy sen2α
(1)
σ −σ
τn =
− xx 2 yy sen2α + τxy cos2α
σ
+σ
Chamando σm = xx 2 yy temos:
σxx −σyy
σn − σm =
cos2α + τxy sen2α
2
σxx −σyy
τn
= − 2 sen2α + τxy cos2α
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(2)
Estado Plano de Tensões
Círculo de Mohr
Círculo de Mohr
Elevando cada um dos termos das igualdades anteriores ao
quadrado e somando-os obtém-se:
σxx − σyy 2
2
+ τxy
(σn − σm ) + =
2
r
σxx −σyy 2
2 ,
Chamando σn = σ; τn = τ e R =
+ τxy
2
2
τn2
(3)
chegamos a:
(σ − σm )2 + τ 2 = R2
(4)
que é a equação de uma circunferência no plano (σ, τ ) com
σ +σ
centro sobre o eixo σ no ponto σ = σm = xx 2 yy e cujo raio é o
valor de R acima descrito.
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Círculo de Mohr
Círculo de Mohr
M -> Ponto que representa as tensões em
torno de P na direção
α.
Da figura constatamos novamente que
a máxima tensão tangencial vale:
τmax = R =
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σξ − ση
2
(5)
Estado Plano de Tensões
Círculo de Mohr
Expressão do círculo de Mohr a partir
das tensões principais
Considerando como ponto de
partida as expressões de σn e
τn obtidas em função de σ1 e σ3
temos:
(
σn =
τn =
σ −σ
σξ +ση
+ ξ 2 η cos2θ
2
σξ −ση
− 2 sen2θ
(6)
A figura ao lado esclarece o significado dessas expressões.
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Estas expressões são obtidas das expressões anteriormente vistas para σn e τn
nas quais fez-se σxx = σξ ,
σyy = ση , τx,y = 0 e usamos
θ no lugar de α.
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Círculo de Mohr
Expressão do círculo de Mohr a partir
das tensões principais
σ +σ
Chamando σm = ξ 2 η , σn = σ, τn = τ e elevando ambas as
expressões ao quadrado e somando-as resulta em:
2
2
(σ − σm ) + τ =
ou
σξ + ση
σ−
2
2
2
σξ − ση
2
+τ =
2
σξ − ση
2
(7)
2
(8)
que descreve o mesmo círculo desenvolvido anteriormente já
que:

σξ + ση
 σxx + σyy = r
(9)
σxx −σyy 2
η
2 =R
 σξ −σ
=
+ τxy
2
2
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Círculo de Mohr
Casos Particulares
i) Estado de tração simples
Todas as tensões normais em torno do ponto (em qualquer
direção) são de tração. Neste caso:
σ
τmax = 2ξ já que ση = 0!
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Círculo de Mohr
Casos Particulares
ii) Estado de compressão simples
Todas as tensões normais em torno do ponto (em qualquer
direção) são de compressão. Neste caso:
σ
τmax = 2η já que σξ = 0!
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Círculo de Mohr
Casos Particulares
iii) Estado de cisalhamento simples
Todas as tensões principais são iguais e de sinal contrário.
τmax = |ση | = σξ .
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Círculo de Mohr
Casos Particulares
iv) Estado de tensão uniforme ou hidrostático
Neste caso σξ = ση = σ e
τ = τmax = 0.
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Círculo de Mohr
Decomposição do tensor de tensão
Dado um tensor de tensão σ , é possivel decompô-lo do
e
e
seguinte modo:
(10)
σ = σh + σD
e
e f
f
f f
onde
σh → Tensor de tensão hidrostático;
f
fD → Tensor de tensão desviador.
σ
f
f
Definindo-se
σD como um tensor tal que trσD = 0 e, como já
f
f
f sistema de eixos):
f
visto (em qualquer


p 0 0
σh =  0 p 0 
f
0 0 p
f
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(11)
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Círculo de Mohr
Decomposição do tensor de tensão
- Determinação das componentes σh e σD :
f
f
fσ para sua descrição
f de
Se escolhemos as direções principais
temos:


σ1 0 0
σ =  0 σ2 0 
e
e
0 0 σ3
(12)
Logo podemos escrever:



 

σ1 0 0
1 0 0
σ1 − p
0
0

0
σ2 − p
0
σ =  0 σ2 0  = p  0 1 0 +
e
e
0 0 σ3
0 0 1
0
0
σ3 − p
(13)
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Círculo de Mohr
Decomposição do tensor de tensão
Verificação: pela invariância da soma da diagonal principal do
tensor de tensão temos que:
σ1 + σ2 + σ3 = 3p + (σ1 − p) + (σ2 − p) + (σ3 − p)
(14)
Escolhendo para σD tensor com traço nulo (soma da diagonal
f
f
principal), temos que:
σ1 + σ2 + σ3 = 3p
(15)
σ1 + σ2 + σ3
3
(16)
e que
p=
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Círculo de Mohr
Decomposição do tensor de tensão
Ficamos com (para qualquer sistema de eixos!):


p 0 0
σh =  0 p 0 
f
0 0 p
f
e
(17)
σD = σ − σh
(18)
e
f
f
e
f
f
Obs: A parcela σh é responsável pela variação de volume e a
parcela σD , chamada de tensor desviador, é responsável pela
mudança de forma como se verá no estudo das deformações.
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Círculo de Mohr
Decomposição do tensor de tensão


σxx τxy τxz
Concluindo, podemos afirmar que, se σ =  τyx σyy τyz ,
e
e
τzx τzy σzz
então:


1 0 0
σxx + σyy + σzz 
0 1 0 
(19)
σh =
3
f
0 0 1
f
e:


σxx − p
τxy
τxz
σxx + σyy + σzz
σyy − p
τyz  com p =
σD =  τyx
3
f
τzx
τzy
σzz − p
f
(20)
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