Estado Plano de Tensões
Propaganda
Estado Plano de Tensões Nota de aula 9 - Estado Plano de Tensões Resistência dos Materiais II Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo) MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF 2o. semestre de 2010 Flávia Bastos RESMAT II 1/16 Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr Informações sobre este documento: Estes slides servem para auxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas de resistência dos materiais II ministradas pela professora Flávia Bastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo. Flávia Bastos RESMAT II 2/16 Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr Círculo de Mohr O par (σn , τn ) das tensões normal e tangencial em um plano qualquer, num estado plano de tensões gera uma figura no plano de coordenadas σ, τ que é conhecida como círculo de Mohr. Temos que σn e τn podem ser determinados por: σ −σ σ +σ σn = xx 2 yy + xx 2 yy cos2α + τxy sen2α (1) σ −σ τn = − xx 2 yy sen2α + τxy cos2α σ +σ Chamando σm = xx 2 yy temos: σxx −σyy σn − σm = cos2α + τxy sen2α 2 σxx −σyy τn = − 2 sen2α + τxy cos2α Flávia Bastos RESMAT II 3/16 (2) Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr Círculo de Mohr Elevando cada um dos termos das igualdades anteriores ao quadrado e somando-os obtém-se: σxx − σyy 2 2 + τxy (σn − σm ) + = 2 r σxx −σyy 2 2 , Chamando σn = σ; τn = τ e R = + τxy 2 2 τn2 (3) chegamos a: (σ − σm )2 + τ 2 = R2 (4) que é a equação de uma circunferência no plano (σ, τ ) com σ +σ centro sobre o eixo σ no ponto σ = σm = xx 2 yy e cujo raio é o valor de R acima descrito. Flávia Bastos RESMAT II 4/16 Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr Círculo de Mohr M -> Ponto que representa as tensões em torno de P na direção α. Da figura constatamos novamente que a máxima tensão tangencial vale: τmax = R = Flávia Bastos RESMAT II 5/16 σξ − ση 2 (5) Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr Expressão do círculo de Mohr a partir das tensões principais Considerando como ponto de partida as expressões de σn e τn obtidas em função de σ1 e σ3 temos: ( σn = τn = σ −σ σξ +ση + ξ 2 η cos2θ 2 σξ −ση − 2 sen2θ (6) A figura ao lado esclarece o significado dessas expressões. Flávia Bastos Estas expressões são obtidas das expressões anteriormente vistas para σn e τn nas quais fez-se σxx = σξ , σyy = ση , τx,y = 0 e usamos θ no lugar de α. RESMAT II 6/16 Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr Expressão do círculo de Mohr a partir das tensões principais σ +σ Chamando σm = ξ 2 η , σn = σ, τn = τ e elevando ambas as expressões ao quadrado e somando-as resulta em: 2 2 (σ − σm ) + τ = ou σξ + ση σ− 2 2 2 σξ − ση 2 +τ = 2 σξ − ση 2 (7) 2 (8) que descreve o mesmo círculo desenvolvido anteriormente já que: σξ + ση σxx + σyy = r (9) σxx −σyy 2 η 2 =R σξ −σ = + τxy 2 2 Flávia Bastos RESMAT II 7/16 Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr Casos Particulares i) Estado de tração simples Todas as tensões normais em torno do ponto (em qualquer direção) são de tração. Neste caso: σ τmax = 2ξ já que ση = 0! Flávia Bastos RESMAT II 8/16 Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr Casos Particulares ii) Estado de compressão simples Todas as tensões normais em torno do ponto (em qualquer direção) são de compressão. Neste caso: σ τmax = 2η já que σξ = 0! Flávia Bastos RESMAT II 9/16 Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr Casos Particulares iii) Estado de cisalhamento simples Todas as tensões principais são iguais e de sinal contrário. τmax = |ση | = σξ . Flávia Bastos RESMAT II 10/16 Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr Casos Particulares iv) Estado de tensão uniforme ou hidrostático Neste caso σξ = ση = σ e τ = τmax = 0. Flávia Bastos RESMAT II 11/16 Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr Decomposição do tensor de tensão Dado um tensor de tensão σ , é possivel decompô-lo do e e seguinte modo: (10) σ = σh + σD e e f f f f onde σh → Tensor de tensão hidrostático; f fD → Tensor de tensão desviador. σ f f Definindo-se σD como um tensor tal que trσD = 0 e, como já f f f sistema de eixos): f visto (em qualquer p 0 0 σh = 0 p 0 f 0 0 p f Flávia Bastos RESMAT II (11) 12/16 Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr Decomposição do tensor de tensão - Determinação das componentes σh e σD : f f fσ para sua descrição f de Se escolhemos as direções principais temos: σ1 0 0 σ = 0 σ2 0 e e 0 0 σ3 (12) Logo podemos escrever: σ1 0 0 1 0 0 σ1 − p 0 0 0 σ2 − p 0 σ = 0 σ2 0 = p 0 1 0 + e e 0 0 σ3 0 0 1 0 0 σ3 − p (13) Flávia Bastos RESMAT II 13/16 Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr Decomposição do tensor de tensão Verificação: pela invariância da soma da diagonal principal do tensor de tensão temos que: σ1 + σ2 + σ3 = 3p + (σ1 − p) + (σ2 − p) + (σ3 − p) (14) Escolhendo para σD tensor com traço nulo (soma da diagonal f f principal), temos que: σ1 + σ2 + σ3 = 3p (15) σ1 + σ2 + σ3 3 (16) e que p= Flávia Bastos RESMAT II 14/16 Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr Decomposição do tensor de tensão Ficamos com (para qualquer sistema de eixos!): p 0 0 σh = 0 p 0 f 0 0 p f e (17) σD = σ − σh (18) e f f e f f Obs: A parcela σh é responsável pela variação de volume e a parcela σD , chamada de tensor desviador, é responsável pela mudança de forma como se verá no estudo das deformações. Flávia Bastos RESMAT II 15/16 Estado Plano de Tensões Círculo de Mohr Decomposição do tensor de tensão σxx τxy τxz Concluindo, podemos afirmar que, se σ = τyx σyy τyz , e e τzx τzy σzz então: 1 0 0 σxx + σyy + σzz 0 1 0 (19) σh = 3 f 0 0 1 f e: σxx − p τxy τxz σxx + σyy + σzz σyy − p τyz com p = σD = τyx 3 f τzx τzy σzz − p f (20) Flávia Bastos RESMAT II 16/16
