A lógica proposicional do `quase sempre` em tableaux

A lógica proposicional do ‘quase sempre’ em tableaux
Felipe Augusto Aureliano, Hércules de Araujo Feitosa
Campus de Bauru – Faculdade de Ciências – Licenciatura em Matemática –
[email protected] – FAPESP
Palavras Chave: tableaux, lógica proposicional do ‘quase sempre’.
Introdução
A lógica proposicional do ‘quase sempre’,
introduzida por Rodrigues (2011), é uma extensão
da lógica proposicional clássica (LPC) pelo
acréscimo de um novo operador na linguagem da
LPC, o qual tem por objetivo capturar a noção de
‘quase sempre’. Naturalmente também são
acrescidos novos axiomas e uma nova regra de
inferência para o novo operador.
O método dos tableaux analíticos, conhecido
também como método das árvores de refutação, é
um procedimento que nos permite mostrar a
validade ou invalidade de uma fórmula em um
sistema lógico, ou determinar se alguma fórmula é
consequência lógica, ou não, de algum conjunto de
fórmulas.
Objetivos
O objetivo central deste trabalho foi introduzir
um sistema de tableaux para a lógica proposicional
do ‘quase sempre’. Para alcançar tal objetivo, o
principal trabalho foi encontrar regras de tableau
para o operador do ‘quase sempre’.
Material e Métodos
Para o desenvolvimento deste trabalho, fez-se
necessário apenas o estudo de referenciais teóricos
e reuniões com o orientador.
Demonstração: Ver Aureliano e Feitosa (p.38,
2013).
⊢
Teorema 5.13: Г ⊩ φ ⇒ Г φ.
Demonstração: Ver Aureliano e Feitosa (p.41, 2013).
Corolário 5.14: Γ ⊩ φ ⇔ Γ ⊢ φ.
Demonstração:
Segue
imediatamente
Teoremas 5.12 e 5.13.
dos
Do Corolário 5.14, concluímos que a lógica
proposicional do ‘quase sempre’ L(☼) e o sistema
de tableaux T☼ são equivalentes.
Conclusões
O resultado mais importante deste trabalho foi
o teorema que estabelece a equivalência entre os
sistemas L(☼) e T☼. Este resultado garante que
todas as deduções obtidas em L(☼) também podem
ser obtidas através do sistema de tableaux T☼ e
vice-versa. Tal fato é bastante interessante, pois
para se mostrar que uma fórmula da lógica
proposicional do ‘quase sempre’ é um teorema,
basta mostrarmos que existe um tableau fechado
para a negação da fórmula em questão. E, como já
visto, o método dos tableaux é bastante eficiente e
fácil de ser manipulado.
Agradecimentos
Resultados e Discussão
Agradecemos a FAPESP pelo apoio financeiro.
Definição 5.2: As regras de expansão de T☼ para
o operador ☼ são as seguintes:
1
Feitosa, H. A.; Paulovich, L. Um prelúdio à lógica. São Paulo:
Editora UNESP, 2005.
☼φ
☼ψ
☼(φ ∧ ψ)
(R☼1):
2
Golzio, A. C. J. Elementos algébricos para noção de ‘poucos’ e sua
formalização em sistemas lógicos dedutivos. Dissertação de Mestrado
(Mestrado em Filosofia da Mente, Epistemologia e Lógica) – Faculdade
de Filosofia e Ciências, Universidade Estadual Paulista, Marília, 2011.
(R☼2): ¬☼φ
☼¬φ
(R☼3):
(R☼ ):
4
3
Rodrigues, A. P. Sobre quantificadores: uma formalização do
quantificador ‘quase sempre’. Dissertação de Mestrado (Mestrado em
Filosofia) – Faculdade de Filosofia e Ciências, Universidade Estadual
Paulista, Marília, 2011.
⊥
⊥
☼
4
Sette, A. M., Carnielli, W. A., Veloso, P. An alternative view of
default reasoning and its logic. In: HAUESLER, E. H., PEREIRA, L. C.
(Eds.) Pratica: Proofs, types and categories. Rio de Janeiro: PUC,
1999. p. 127-158.
☼φ
¬☼ψ
¬(φ → ψ)
Teorema 5.12: Г
⊢ φ⇒Г⊩
φ.
XXV Congresso de Iniciação Científica
5
Smullyan, R. M. First-order logic. New York: Springer-Verlag /
Dover Publication, 1968.